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摘 要：高中数学中的函数部分无疑是代数中的重中之重，其中对函数的结构认识应放在第一位。仅靠七个基本初等函数来认识和研究函数是远远不够的，因为更多的函数结构和复合函数息息相关，因此复合函数在高中数学中占有非常重要的地位。但是复合函数本身又有很多限制，几十年来高考复习中也出现了很多错误的认识，加强对复合函数的正确认识和研究显得尤为重要，文章即针对复合函数的地位和认识问题进行了相关探讨。
关键词：中学数学；复合函数；高考试题
一、寻源
恢复高考后且在2000年前，高考数学理科试题出现了以下与复合函数有关的试题。
1985年全国高考数学试题（理科）第3题是：
在下面给出的函数中哪一个函数既是区间0，上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ）
A. y=x2（x∈R） B. y=sin x（x∈R）
C. y=cos2x（x∈R） D. y=esin2x（x∈R）
1987年全国高考数学试题（理科）第5题是：
在区间-∞，0上为增函数的是（ ）
A. y=-log（-x） B. y=
C. y=-（x+1）2 D. y=1+x2
1989年全国高考数学试题（理科）第11题是：
已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）（ ）
A. 在区间（-1，0）上是减函数
B. 在区间（0，1）上是减函数
C. 在区间（-2，0）上是增函数
D. 在区间（0，2）上是增函数
1995年全国高考数学试题（理科）第11题是：
已知y=logɑ（2-ɑx）在[0，1]上是x的减函数，则ɑ的取值范围是（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （0，2） D. [2，+∞）
1998年全国高考数学试题（文史类）第2题是：
函数y=a|x|（a>1）的图像是（ ）
五次出现复合函数试题，其考察的形式多样，1985、1987、1989年试题研究的是单调性问题；1995年试题虽然也是研究单调性问题，但和前面三次不同，在单调性下求范围问题应属综合应用；1998年是有关复合函数的图像问题。
二、提出问题
在高一学习函数时，以及高三第一轮复习函数的性质时，都会遇到以下问题组。
问题一：
（1）已知函数f（x）的定义域为（-1，1），求函数f（x-1）+f（1-2x）的定义域。
（2）已知函数f（x-1）的定义域为（-1，2），求函数f（x）的定义域。
（3）已知函数f（x+1）的定义域为（-2，0），求函数f（1-3x）的定义域。
显然以上三个问题中的函数，既不是具体背景的函数，也不是给出解析式的函数，解决这三个问题的定义域问题的知识基础是什么？从函数结构上来看，它们都是复合函数，对于复合函数而言，有以下认识：已知函数f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域等价于求g（x）的值域，基本上全国99%的老师们都是这样理解且讲给学生听的，可是这样的认识存在严重的逻辑问题。设f（x）的定义域为D，g（x）的值域为E，只要ED即可。也就是说，g（x）的值域只是映射f作用于原象取值（定义域）的子集就可以了，从逻辑上看，根本无法确定f（x）的定义域。
三、解决问题
既然有以上那么多的复合函数的认识问题，那什么时候适合引入复合函数，关注复合函数哪些方面的应用呢？
（一）复合函数的引入思考一
现在的问题是，要不要引入复合函数呢？答案是肯定的，因为在人教A版选修2-2中，让学生思考如何求函数y=ln（x+2）的导数。我们无法用现成的方法求函数y=ln（x+2）的导数，于是，我们先分析这个函数的结构特点：
若设u=x+2（x>-2），则y=lnu，从而y=ln（x+2）可以看成是由y=lnu和u=x+2（x>-2）经过“复合”得到的。即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数。如果把y与u的关系记作y=lnu，u和x的关系记作u=g（x），那么这个“复合”过程可表示为：y=f（u）=f（g（x））=ln（x+2）。我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的。例如，函数y=（2x+3）2由y=u2和u=2x+3“复合”而成，等等。
（二）复合函数的引入思考二
复合函数的单调性问题。
复合函数的单调性法则是：同增异减。因为学完导数后对这样的问题进行求导面临着简单问题复杂化的问题，而复合函数的研究就是一种很好的途径，并且其理论使用是没有问题的。
基于以上认识，在引入复合函数时要慎重，对复合函数的问题最好做到：能回避的尽量回避，需要研究的还需认真研究。这样道理会讲得清楚些。
（三）复合函数的应用
通过以上题组的分析，复合函数适用于研究其结构形式下的复杂多变的函数，对解决复合函数的结构方面的问题十分有用，具体应用突出在单调性、值域这些方面。
此题的求解可以从复合函数的生成、复合函数的背景、复合函数的求导三个维度去思考，能够产生三种求解方法，这无疑反映了复合函数的强大背景及功能。
四、反思问题
（一）教材的引入
基本初等函数只有七类，要对函数有深入的认识就必须引入复合函数，建议在函数的单调性一节抛出复合函数的概念及有关单调性的结论，使得学生清楚地认识到复合不仅可以生成无数多个函数，还可以有函数性质方面的研究，在接触相关问题时就有章可循了。
（二）数学的严谨性
一直以来，数学的严谨性是数学思维的重要方面之一，教师更要对数学概念有一个全方位的认识，不盲从一些教材或资料，要从数学的本质上去认识和思考问题，特别是现在提到的六大数学核心素养，其中的“数学推理”无疑是最能体现严谨性的了。
（三）教学的处理
因学生思维发展的延续性等方面的问题，高中有很多数学概念是模糊的，教师在处理这些方面的问题时，一方面要明确什么时间引入合适，有时不一定要按教材的顺序，只要学生认知方面没问题就可以考虑引入；另一方面要处理好认识和应用的关系，认识不一定是深层次的，比如导数的引入，高中阶段没有涉及极限就引入导数了，因为教材在这方面的处理是：关于导数应用方面的内容，大学可以完成理论的构建和进一步认识。因此，教师不应钻牛角尖，不应把不必要的问题（极限方面）夸大化。教学是一门艺术，需要教师精心研究教材与教法，才能从一定高度上去做好教学的合适处理。
（四）函數的定义域
定义域是函数概念的有机组成部分，既要引导学生通过运算求解，又要让学生知道它们的意义。其实在研讨事物之本质中用到的集合，往往是由符合某种给定性质的元素所组成的。任何一种严谨的讨论，都不是漫无边际的。改用集合的观点来看，即一个严谨的讨论中，所涉及的元素其实是具有明确范畴的。这也是强调函数定义域的意义之一。对于函数的定义域的意义，教学中要通过合适的例子向学生解释清楚，绝不能产生错误的解读和造成错误的认识。
复合函数的地位是重要的，通过以上问题的分析，对于复合函数，引入要适宜，使用要慎重，只有这样才能传递给学生科学的认识。
关键词：中学数学；复合函数；高考试题
一、寻源
恢复高考后且在2000年前，高考数学理科试题出现了以下与复合函数有关的试题。
1985年全国高考数学试题（理科）第3题是：
在下面给出的函数中哪一个函数既是区间0，上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ）
A. y=x2（x∈R） B. y=sin x（x∈R）
C. y=cos2x（x∈R） D. y=esin2x（x∈R）
1987年全国高考数学试题（理科）第5题是：
在区间-∞，0上为增函数的是（ ）
A. y=-log（-x） B. y=
C. y=-（x+1）2 D. y=1+x2
1989年全国高考数学试题（理科）第11题是：
已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）（ ）
A. 在区间（-1，0）上是减函数
B. 在区间（0，1）上是减函数
C. 在区间（-2，0）上是增函数
D. 在区间（0，2）上是增函数
1995年全国高考数学试题（理科）第11题是：
已知y=logɑ（2-ɑx）在[0，1]上是x的减函数，则ɑ的取值范围是（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （0，2） D. [2，+∞）
1998年全国高考数学试题（文史类）第2题是：
函数y=a|x|（a>1）的图像是（ ）
五次出现复合函数试题，其考察的形式多样，1985、1987、1989年试题研究的是单调性问题；1995年试题虽然也是研究单调性问题，但和前面三次不同，在单调性下求范围问题应属综合应用；1998年是有关复合函数的图像问题。
二、提出问题
在高一学习函数时，以及高三第一轮复习函数的性质时，都会遇到以下问题组。
问题一：
（1）已知函数f（x）的定义域为（-1，1），求函数f（x-1）+f（1-2x）的定义域。
（2）已知函数f（x-1）的定义域为（-1，2），求函数f（x）的定义域。
（3）已知函数f（x+1）的定义域为（-2，0），求函数f（1-3x）的定义域。
显然以上三个问题中的函数，既不是具体背景的函数，也不是给出解析式的函数，解决这三个问题的定义域问题的知识基础是什么？从函数结构上来看，它们都是复合函数，对于复合函数而言，有以下认识：已知函数f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域等价于求g（x）的值域，基本上全国99%的老师们都是这样理解且讲给学生听的，可是这样的认识存在严重的逻辑问题。设f（x）的定义域为D，g（x）的值域为E，只要ED即可。也就是说，g（x）的值域只是映射f作用于原象取值（定义域）的子集就可以了，从逻辑上看，根本无法确定f（x）的定义域。
三、解决问题
既然有以上那么多的复合函数的认识问题，那什么时候适合引入复合函数，关注复合函数哪些方面的应用呢？
（一）复合函数的引入思考一
现在的问题是，要不要引入复合函数呢？答案是肯定的，因为在人教A版选修2-2中，让学生思考如何求函数y=ln（x+2）的导数。我们无法用现成的方法求函数y=ln（x+2）的导数，于是，我们先分析这个函数的结构特点：
若设u=x+2（x>-2），则y=lnu，从而y=ln（x+2）可以看成是由y=lnu和u=x+2（x>-2）经过“复合”得到的。即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数。如果把y与u的关系记作y=lnu，u和x的关系记作u=g（x），那么这个“复合”过程可表示为：y=f（u）=f（g（x））=ln（x+2）。我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的。例如，函数y=（2x+3）2由y=u2和u=2x+3“复合”而成，等等。
（二）复合函数的引入思考二
复合函数的单调性问题。
复合函数的单调性法则是：同增异减。因为学完导数后对这样的问题进行求导面临着简单问题复杂化的问题，而复合函数的研究就是一种很好的途径，并且其理论使用是没有问题的。
基于以上认识，在引入复合函数时要慎重，对复合函数的问题最好做到：能回避的尽量回避，需要研究的还需认真研究。这样道理会讲得清楚些。
（三）复合函数的应用
通过以上题组的分析，复合函数适用于研究其结构形式下的复杂多变的函数，对解决复合函数的结构方面的问题十分有用，具体应用突出在单调性、值域这些方面。
此题的求解可以从复合函数的生成、复合函数的背景、复合函数的求导三个维度去思考，能够产生三种求解方法，这无疑反映了复合函数的强大背景及功能。
四、反思问题
（一）教材的引入
基本初等函数只有七类，要对函数有深入的认识就必须引入复合函数，建议在函数的单调性一节抛出复合函数的概念及有关单调性的结论，使得学生清楚地认识到复合不仅可以生成无数多个函数，还可以有函数性质方面的研究，在接触相关问题时就有章可循了。
（二）数学的严谨性
一直以来，数学的严谨性是数学思维的重要方面之一，教师更要对数学概念有一个全方位的认识，不盲从一些教材或资料，要从数学的本质上去认识和思考问题，特别是现在提到的六大数学核心素养，其中的“数学推理”无疑是最能体现严谨性的了。
（三）教学的处理
因学生思维发展的延续性等方面的问题，高中有很多数学概念是模糊的，教师在处理这些方面的问题时，一方面要明确什么时间引入合适，有时不一定要按教材的顺序，只要学生认知方面没问题就可以考虑引入；另一方面要处理好认识和应用的关系，认识不一定是深层次的，比如导数的引入，高中阶段没有涉及极限就引入导数了，因为教材在这方面的处理是：关于导数应用方面的内容，大学可以完成理论的构建和进一步认识。因此，教师不应钻牛角尖，不应把不必要的问题（极限方面）夸大化。教学是一门艺术，需要教师精心研究教材与教法，才能从一定高度上去做好教学的合适处理。
（四）函數的定义域
定义域是函数概念的有机组成部分，既要引导学生通过运算求解，又要让学生知道它们的意义。其实在研讨事物之本质中用到的集合，往往是由符合某种给定性质的元素所组成的。任何一种严谨的讨论，都不是漫无边际的。改用集合的观点来看，即一个严谨的讨论中，所涉及的元素其实是具有明确范畴的。这也是强调函数定义域的意义之一。对于函数的定义域的意义，教学中要通过合适的例子向学生解释清楚，绝不能产生错误的解读和造成错误的认识。
复合函数的地位是重要的，通过以上问题的分析，对于复合函数，引入要适宜，使用要慎重，只有这样才能传递给学生科学的认识。