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摘 要：为了摆脱“题海战术”的困扰，有效提高学生的解题能力，根据学生的认知规律，合理有效地设计一组数学问题，且这组数学问题又有一定的内在逻辑联系，层层递进，由浅入深，循序渐进，有利于学生对问题本质的深刻理解，进而掌握解题规律，突破教学中的难点，有利于学生巩固知识技能和提高学生的数学能力.
关键词：题组教学；例题；数学能力；思维水平
著名心理学家和教育学家布卢姆说：“有效的教学始于准确地知道需要达到的目标是什么. ”因此教学目标是课堂教学的灵魂. 题组教学通过题目的设置和顺序的编排，使得课堂教学始终围绕着教学目标进行. 题组之间的题目由易到难，由单一到综合，围绕教学目标，使基础知识、基本技能、基本方法和基本思想，在题组中重复出现，又向提高和深化推进，让学生形成一种强化印象，易于学生掌握. 教师又可以根据学生完成题组情况准确及时了解学生知识掌握情况和目标达成情况.
[?] 运用题组教学，正确理解概念
概念教学是数学教学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，也是学好数学最重要的一环. 数学概念的教学不仅要使学生学会、学懂概念中的内涵和外延，还要使学生领悟蕴藏在数学概念中的数学思想方法与基本解题技能，要通过概念教学促进学生思维品质乃至数学素养的提高，培养学生自主学习的能力.
例1 试观察下列从集合A到集合B的对应法则：
（1）A={-1，-2，-3，1，2，3}，B={1，4，9}，对应法则f：求平方；
（2），A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}对应法则f：乘以2；
（3）A={xx∈Z且x≠0}，B=Q，对应法则f：x→；
（4）A={xx∈Z}，B=Q，对应法则f：x→；
（5）A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1， 2，3}，对应法则f：开平方.
通过观察（1）—（3）并思考，教师可提问学生上述从集合A到集合B的对应法则有何共同点，让学生去归纳总结. 学生可以归纳得出：对于集合A中的每一个元素a，在对应法则f下，集合B中都有唯一确定的元素b与a对应. 这样，学生的认识就上了一个层次，然后给出映射的定义，明确从集合A到集合B的一个映射是：集合A中的任一元素在集合B中都必须有唯一确定的元素和它对应. 在得出映射的定义后再举一些反例，请学生判断（4）—（5）是不是映射？如果集合A中的部分元素在集合B中没有元素和它对应或者有多个元素和它相对应，那么这个对应法则就不是A到B的映射. 这样，学生对映射的定义就理解到位了.
[?] 运用题组教学，探求解题规律
许多数学问题都是有规律的，在数学教学中应激发学生去发现规律，从而掌握规律. 这些规律由教师讲解还是由学生发现，教学效果是不同的，在教学中可以通过题组的设置来培养学生发现和掌握规律，运用规律解决问题，培养学生思维的广阔性.
例2 （1）求值：
cos60°cos15° sin60°sin15°；
（2）求值：cos15° sin15°；
（3）求值：cos15° sin15°；
（4）求函数y=cosα sinα，α∈
0，
的值域；
（5）求函数y=sinαcosα sin2α，α∈
0，
的值域；
（6）设函数f（x）=a·b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），若f（x）=1-且x∈
-，
，求x.
在题组（1）—（3）中，题目从两角和与差的余弦公式的逆用，慢慢过渡到辅助角公式asinα bcosα=sin（α φ）·
tanφ=
的提炼，整个过程非常自然顺畅. （4）—（6）三题是将辅助角公式与两倍角公式和向量结合在一起，让学生充分理解和掌握公式的应用. 题组教学有利于学生发现规律并掌握规律，减少解题的盲目性，使学生感到许多数学问题是很有趣的，有利于培养学生数学学习的兴趣.
[?] 运用题组教学，强化教学重点
在讲授函数的单调性之后，对于“求二次函数在闭区间上的最大（小）值”这一课题，可以选用下面的题组：
例3 （1）设f（x）=x2-2x-2，x∈[-2，2]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）设f（x）=x2-2x-2，若f（x）在区间[-2，t]上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式；
（3）设f（x）=x2-2x-2，若f（x）在区间[t，t 1]上的最小值记为g（t），求g（t）的表达式；
（4）设f（x）=x2-2ax-2，若f（x）在区间[-2，1]上的最小值记为g（x），求g（x）的表达式.
这个题组是有关一元二次函数的最值问题. 解决这类问题的关键是要让学生结合一元二次函数的图象，弄清楚函数的对称轴与给定区间之间的相对位置关系. 第1题是一道具体的一元二次函数在确定区间上的最值问题，结合函数的图象，学生比较容易解决. 第2题是一道“定对称轴、动区间（定一个端点，动一个端点）”的二次函数的最值问题，显然f（x）在区间[-2，t]上的最小值与t有关，需讨论二次函数的图象在顶点处的横坐标x=1与区间[-2，t]的关系，分三种情形：①t≤1；②14来讨论，从而求出g（t）的表达式. 第3题是一道“定对称轴、动区间（两个端点都在变化，但区间长度是一个定值）” 的二次函数的最值问题，需讨论二次函数的图象在顶点处的横坐标x=1与区间[t，t 1]的关系，分三种情形：①t 1≤1；②t<11来讨论，从而求出g（x）的表达式. 通过前面4个例题的讲授， 让学生较全面地掌握如何求二次函数在闭区间上的最值问题.
[?] 运用题组教学，突破教学难点
对于一些扑朔迷离的问题，学生常因抓不住问题的本质，而死搬硬套一些方法导致错误现象时有发生.
例4 （1）求函数y=log2x的单调增区间；
（2）求函数y=x2-6x 8的单调增区间；
（3）求函数y=log2（x2-6x 8）的单调增区间；
（4）已知函数y=loga（2-ax）在区间[0，1]上单调递减，求a的取值范围.
题（1）—（2）是两个初等函数单调区间问题，结合函数的图象，学生很容易解决，但题（3）—（4）是两个复合函数单调区间的问题，怎样对学生讲清这两个问题一直是函数这一章节困扰大家的一个课题.
略解（3）：设y=log2t，
t（x）=x2-6x 8，
其中t（x）=x2-6x 8>0.
因为外函数y=log2t在（0， ∞）上单调递增，
所以要求函数y=log2（x2-6x 8）的单调递增区间，
就是求内函数t（x）=x2-6x 8的单调递增区间，只要结合一元二次函数t（x）=x2-6x 8的图象就可以解决了，但在画图时一定要注意考虑外函数定义域t>0，就是说找单调区间时要在x轴上方的图象中找.
（4）设y=logat，
t（x）=2-ax，其中t（x）=2-ax>0，
易知a>0，所以内函数t=2-ax在区间[0，1]上单调递减.
因为函数y=loga（2-ax）在区间[0，1]上单调递减，所以外函数y=logat在区间[0，1]上单调递增，所以a>1. 因为t（x）=2-ax>0在[0，1]上恒成立，
所以t（x）min=t（1）=2-a>0，从而1 如果把题目中的区间[0，1]改成（0，1），则结果如何？前面的部分都是一样的，但t（x）min>t（1）=2-a≥0，从而1 在研究复合函数的单调性时，往往从下面四个方面来考虑：①分解（就是将复合函数分解成几个基本初等函数）；②考虑定义域；③分析内外函数的单调性；④根据函数的图象去写单调区间. 这一题组将学生求函数单调区间时存在的问题（忽视基本初等函数、不考虑定义域、不考虑指定范围、参数处理不当等）一一列举出来，不但纠正了学生求函数单调区间时易犯的错误和忽略的问题，同时对函数单调区间概念的本质有了更进一步的昭示.
[?] 运用题组教学，提高思维水平
衡量一个学生的思维水平的高低是多方面的，但最重要的是思维的发散性和严密性，即对于任何事物要大胆设想、敢于质疑，同时，又要以科学的态度认真推理、严密论证，题组教学有利于学生思维水平的提高.
例5 （1）三角形的三边长是否能组成等比数列？若不能，说明理由；若能，求出公比q的取值范围. （2）直角三角形的各边是否能组成等差数列？若不能，说明理由；若能，写出该数列. （3） 如果三角形的三个内角成等差数列，对应的三边成等比数列，试判断该三角形的形状.
略解：（1）令三边为a，aq，aq2（a>0，q>0），
则当q≥1时， 最大边为aq2，所以a aq≥aq2；
当0 解出1≤q<或 所以当 （2）假设直角三角形的三边成等差数列， 其三边为a-d，a，a d，公差为d（d>0），则有（a-d）2 a2=（a d）2，解得d=，
所以边长分别为，a的直角三角形的三边能成等差数列.
（3）因为三角形的三个内角成等差数列，可设三个角分别为α-β，α，α β，
所以（α-β） α （α β）=π，解得α=.
因为三角形的三条边成等差数列，可设三条边分别为a-d，a，a d，
由余弦定理得：cosα=，所以=，得出d=0.
所以三角形是等边三角形.
当然，除了直角三角形和等边三角形，我们还会联想到等腰三角形和等腰直角三角形的情形；除了三边成等比，我们还应该想到三内角成等比的情况. 只有不断学习、不断探索，才能不断提高学生的思维水平.
总之，题组教学符合现代主体教育思想，即符合以学生为主体、学生主体参与、教师为辅的教育思想. 学生在题组教学中通过自主参与、探索，既获得了知识又发展了能力，同时也培养了思维. 因此，教学中教师要重视题组教学，要善于挖掘、认真编写题组，利用题组教学灵活多变的特点和题组教学的功能，充分发挥它在解题教学中的作用，使数学解题教学达到一个更高的境地.
关键词：题组教学；例题；数学能力；思维水平
著名心理学家和教育学家布卢姆说：“有效的教学始于准确地知道需要达到的目标是什么. ”因此教学目标是课堂教学的灵魂. 题组教学通过题目的设置和顺序的编排，使得课堂教学始终围绕着教学目标进行. 题组之间的题目由易到难，由单一到综合，围绕教学目标，使基础知识、基本技能、基本方法和基本思想，在题组中重复出现，又向提高和深化推进，让学生形成一种强化印象，易于学生掌握. 教师又可以根据学生完成题组情况准确及时了解学生知识掌握情况和目标达成情况.
[?] 运用题组教学，正确理解概念
概念教学是数学教学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，也是学好数学最重要的一环. 数学概念的教学不仅要使学生学会、学懂概念中的内涵和外延，还要使学生领悟蕴藏在数学概念中的数学思想方法与基本解题技能，要通过概念教学促进学生思维品质乃至数学素养的提高，培养学生自主学习的能力.
例1 试观察下列从集合A到集合B的对应法则：
（1）A={-1，-2，-3，1，2，3}，B={1，4，9}，对应法则f：求平方；
（2），A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}对应法则f：乘以2；
（3）A={xx∈Z且x≠0}，B=Q，对应法则f：x→；
（4）A={xx∈Z}，B=Q，对应法则f：x→；
（5）A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1， 2，3}，对应法则f：开平方.
通过观察（1）—（3）并思考，教师可提问学生上述从集合A到集合B的对应法则有何共同点，让学生去归纳总结. 学生可以归纳得出：对于集合A中的每一个元素a，在对应法则f下，集合B中都有唯一确定的元素b与a对应. 这样，学生的认识就上了一个层次，然后给出映射的定义，明确从集合A到集合B的一个映射是：集合A中的任一元素在集合B中都必须有唯一确定的元素和它对应. 在得出映射的定义后再举一些反例，请学生判断（4）—（5）是不是映射？如果集合A中的部分元素在集合B中没有元素和它对应或者有多个元素和它相对应，那么这个对应法则就不是A到B的映射. 这样，学生对映射的定义就理解到位了.
[?] 运用题组教学，探求解题规律
许多数学问题都是有规律的，在数学教学中应激发学生去发现规律，从而掌握规律. 这些规律由教师讲解还是由学生发现，教学效果是不同的，在教学中可以通过题组的设置来培养学生发现和掌握规律，运用规律解决问题，培养学生思维的广阔性.
例2 （1）求值：
cos60°cos15° sin60°sin15°；
（2）求值：cos15° sin15°；
（3）求值：cos15° sin15°；
（4）求函数y=cosα sinα，α∈
0，
的值域；
（5）求函数y=sinαcosα sin2α，α∈
0，
的值域；
（6）设函数f（x）=a·b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），若f（x）=1-且x∈
-，
，求x.
在题组（1）—（3）中，题目从两角和与差的余弦公式的逆用，慢慢过渡到辅助角公式asinα bcosα=sin（α φ）·
tanφ=
的提炼，整个过程非常自然顺畅. （4）—（6）三题是将辅助角公式与两倍角公式和向量结合在一起，让学生充分理解和掌握公式的应用. 题组教学有利于学生发现规律并掌握规律，减少解题的盲目性，使学生感到许多数学问题是很有趣的，有利于培养学生数学学习的兴趣.
[?] 运用题组教学，强化教学重点
在讲授函数的单调性之后，对于“求二次函数在闭区间上的最大（小）值”这一课题，可以选用下面的题组：
例3 （1）设f（x）=x2-2x-2，x∈[-2，2]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）设f（x）=x2-2x-2，若f（x）在区间[-2，t]上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式；
（3）设f（x）=x2-2x-2，若f（x）在区间[t，t 1]上的最小值记为g（t），求g（t）的表达式；
（4）设f（x）=x2-2ax-2，若f（x）在区间[-2，1]上的最小值记为g（x），求g（x）的表达式.
这个题组是有关一元二次函数的最值问题. 解决这类问题的关键是要让学生结合一元二次函数的图象，弄清楚函数的对称轴与给定区间之间的相对位置关系. 第1题是一道具体的一元二次函数在确定区间上的最值问题，结合函数的图象，学生比较容易解决. 第2题是一道“定对称轴、动区间（定一个端点，动一个端点）”的二次函数的最值问题，显然f（x）在区间[-2，t]上的最小值与t有关，需讨论二次函数的图象在顶点处的横坐标x=1与区间[-2，t]的关系，分三种情形：①t≤1；②1
对于一些扑朔迷离的问题，学生常因抓不住问题的本质，而死搬硬套一些方法导致错误现象时有发生.
例4 （1）求函数y=log2x的单调增区间；
（2）求函数y=x2-6x 8的单调增区间；
（3）求函数y=log2（x2-6x 8）的单调增区间；
（4）已知函数y=loga（2-ax）在区间[0，1]上单调递减，求a的取值范围.
题（1）—（2）是两个初等函数单调区间问题，结合函数的图象，学生很容易解决，但题（3）—（4）是两个复合函数单调区间的问题，怎样对学生讲清这两个问题一直是函数这一章节困扰大家的一个课题.
略解（3）：设y=log2t，
t（x）=x2-6x 8，
其中t（x）=x2-6x 8>0.
因为外函数y=log2t在（0， ∞）上单调递增，
所以要求函数y=log2（x2-6x 8）的单调递增区间，
就是求内函数t（x）=x2-6x 8的单调递增区间，只要结合一元二次函数t（x）=x2-6x 8的图象就可以解决了，但在画图时一定要注意考虑外函数定义域t>0，就是说找单调区间时要在x轴上方的图象中找.
（4）设y=logat，
t（x）=2-ax，其中t（x）=2-ax>0，
易知a>0，所以内函数t=2-ax在区间[0，1]上单调递减.
因为函数y=loga（2-ax）在区间[0，1]上单调递减，所以外函数y=logat在区间[0，1]上单调递增，所以a>1. 因为t（x）=2-ax>0在[0，1]上恒成立，
所以t（x）min=t（1）=2-a>0，从而1
[?] 运用题组教学，提高思维水平
衡量一个学生的思维水平的高低是多方面的，但最重要的是思维的发散性和严密性，即对于任何事物要大胆设想、敢于质疑，同时，又要以科学的态度认真推理、严密论证，题组教学有利于学生思维水平的提高.
例5 （1）三角形的三边长是否能组成等比数列？若不能，说明理由；若能，求出公比q的取值范围. （2）直角三角形的各边是否能组成等差数列？若不能，说明理由；若能，写出该数列. （3） 如果三角形的三个内角成等差数列，对应的三边成等比数列，试判断该三角形的形状.
略解：（1）令三边为a，aq，aq2（a>0，q>0），
则当q≥1时， 最大边为aq2，所以a aq≥aq2；
当0
所以边长分别为，a的直角三角形的三边能成等差数列.
（3）因为三角形的三个内角成等差数列，可设三个角分别为α-β，α，α β，
所以（α-β） α （α β）=π，解得α=.
因为三角形的三条边成等差数列，可设三条边分别为a-d，a，a d，
由余弦定理得：cosα=，所以=，得出d=0.
所以三角形是等边三角形.
当然，除了直角三角形和等边三角形，我们还会联想到等腰三角形和等腰直角三角形的情形；除了三边成等比，我们还应该想到三内角成等比的情况. 只有不断学习、不断探索，才能不断提高学生的思维水平.
总之，题组教学符合现代主体教育思想，即符合以学生为主体、学生主体参与、教师为辅的教育思想. 学生在题组教学中通过自主参与、探索，既获得了知识又发展了能力，同时也培养了思维. 因此，教学中教师要重视题组教学，要善于挖掘、认真编写题组，利用题组教学灵活多变的特点和题组教学的功能，充分发挥它在解题教学中的作用，使数学解题教学达到一个更高的境地.