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[摘 要]在“理性化”的数学学习中，学生通常需要一个理解数学知识的支点，这个支点可以是数学知识的“生活原型”，包括蕴涵数学知识的生活背景、生活经验、生活事例、生活表达等。以“圆的认识”教学为例，适时去到生活的源头处，找寻数学与生活的关联，找到数学知识的生活原型，让知识进入学生的生活，帮助学生理解抽象化的数学知识，从而使学生的数学学习更显本真。
[关键词]支点;生活原型;圆的认识
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）26-0018-03
“圆的认识”一课，很多名师都有过精彩的演绎与诠释，如张齐华老师就有前后五次不同的演绎与重建，从历史人文视野下的丰沛厚重，到洗练纯粹至只剩下线条的文字的干净素朴，从“大问题”整合下课堂的开放，到“先学后教”背景下对学生主体学习的彻底回归……由外而内、 由物及人、由师转生的一次次否定与超越，见证着张齐华老师对数学课堂“另一种可能”的不断探寻与发现。正如他的座右铭：“永不重复别人，更不重复自己！”受此影响，我对“圆的认识”一课教学有了“另一种可能”的探索与尝试。
古希腊著名的数学家阿基米德有一句名言：“给我一个支点，我将撬起整 个地球。”在“理性化”的数学学习中，学生同样需要一个理解数学知识的支点，在本课中，这个支点就是数学知识的“生活原型”，这个原型可以是蕴涵数学知识的生活背景、生活经验、生活事例、生活表达等。教学中，找到与数学知识适切的生活原型，既可以让学生深刻体会到数学与生活的密切联系，更可以促进学生感悟和深刻认知数学知识，并在感悟和认知的过程中进行数学分析、数学归纳、数学演绎、数学比较等，从而使学生的数学学习更显本真、更深刻。
【教学片段】
（课前玩“你说我猜”的游戏：描述图形独一无二的特征，看谁猜得又快又准）
师：学校举行趣味运动会，进行投球比赛，同学们围成这三种队形（如图1）向中心的球筐投球，比谁投中的次数多。你认为哪种队形比赛才公平？
生（齐）：圆形队形。
师：为什么围成圆形队形比赛才公平？
生1：圆形队形中的每个人离球筐的距离是一样的。
师（出示图2）：如果用这些点表示队形中的同学，只有圆才具有一个独一无二的特征，那就是圆上（不是圆内，也不是圆外）每个点到中心的距离都相等，对吗？
师：凭我们的生活经验，感觉的确如此。但数学不能仅凭感觉，需要验证。你有什么办法来证明圆的这些线段都一样长吗？请大家拿出身边的圆片，自己标一标、画一画，证明一下。
（学生通过量或折的办法验证线段相等）
师：圆是怎样的一个图形？如果现在再来玩“你说我猜”的游戏，你打算怎样描述圆？
生2：边上点到中心都一样长的图形。
师：同学们说的都非常棒，说清了圆独一无二的特征！我国古代伟大的思想家墨子，是这样来描述圆的——圆，一中同长也。你理解这句话的意思吗？墨子说的“一中”是什么意思？“同长”是什么意思？
生3：“一中”指圆中心的这一点。
师：圆中心的这一个点就叫圆的圆心，用字母“O”表示。那“同长”呢？
生4：每个点到中心距离相等。
生5：这些线段都一样长。
师：是的，圆边上每个点到圆心的距离都相等，无数个这样到圆心距离相等的点连起来就得到了这个圆。（课件出示“连点成圆”的动画）
师：这些相等的线段就是圆内第一种重要的线段，叫半径，用字母“r”表示。能说说你对“半径”的认识吗？
生6：一个圆里有无数条半径。
生7：而且它们都一样长。
师：是的，一个圆里的无数条半径都相等。这就是墨子说的“同长”。
生8：半径是一条从圆边上到圆心的线段。
师：是的，你说的就是半径的概念。
【评析】胡塞尔说：“生活世界是自然科学被遗忘的基础。”在数学知识远离学生生活时，我们需要去到生活的源头处，找寻数学与生活的关联，帮助学生理解抽象化的数学知识。“一中同长”是圆的本质特征，圆内的重要概念“圆心”“半径”“直径”及其特征，以及画圆的原理都基于此特征。因此，对这一特征的认识深度就决定了对“圆”认识的高度，但这一特征对学生而言又比较抽象和难懂。
课始，通过投球比赛的生活情境，学生寻找到了“一中同长”的生活原型：“球筐位置”即“圆心”，“同学到球筐的距离”即“半径的长度”，要使比赛公平，“每个同学到球筐的距离都相等”也就是“半径都相等”。因此，通过“围成怎样的队形向中心球筐投球比赛才公平”问题的思考、讨论，激活了学生的生活经验，再结合量、折等操作验证，帮助学生从生活原型中抽取出 “一中同长”的内涵。有了特征内涵的理解，随后的“圆心”“半径”概念的教学其实只是赋予名称，在“一中”指什么和“同长”指什么的追问思索中，明晰“一中”就是指圆的中心即“圆心”，“同长”（边上每个点到中心距离都相等）指的就是圆有无数条“半径”，长度都相等。
【教学片段】
师：刚才我们一起认识了圆“一中同长”的独一无二的本质特征，你会根据这样的特征画一个圆吗？
师：这里有两支铅笔、一枚硬币，试着画一画。
（学生描述画法）
师：大家都很聪明！不过这样画圆有什么缺点？
生1：只能画和硬币一样大小的圆。
师：若只用这两支铅笔，能不能画？（教师展示用两支铅笔画出大小不同的两个圆）这样画圆有什么优点？
生2：这样画圆可以画出大小不同的圆。 师：试着用两支铅笔画圆，看谁画得又快又好。
师：用两支铅笔画圆有什么感受，要注意什么？
生3：铅笔容易滑，不容易固定。
生4：两支铅笔不容易控制。
生5：要使一支鉛笔固定不动。
师：是的，要画得“圆”，就得符合圆“一中同长”的特征，要做到“一中”，第一支铅笔就不能移动位置;要做到“同长”，两支铅笔的间距就不能随意改变。
师（出示图3）：聪明的人类，为了做到以上两点，用针代替了第一支铅笔，便于固定位置，又用特殊的机械装置，使这两支笔既能自由调整间距又能相对固定，这就是现在人们常用的专业的画圆工具——圆规。
【评析】“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”教师应该而且必须让学生获得深刻的数学体验，让学生“以身体之、以心验之”。在画圆的教学中，教师没有直接出示圆规，而是找到了圆规的“生活原型”——两支铅笔，让学生在自己动手用两支铅笔画圆的活动中，体验这样画圆的优点与缺点，在“为什么画不圆”的反思中体会到“要画得圆，必须要做到‘一中同长’”，然后通过“如何做到‘一中’”“如何做到‘同长’”的思考讨论，用针尖替换第一支铅笔，用特殊装置固定两支铅笔的间距。这样，通过原型启发、改进，带领学生经历画圆工具的再创造，既加深了学生对“一中同长”特征的认识，也使学生在获取知识、形成技能的同时，真切体验数学学习带来的思维愉悦，体现出数学“作为一门课程与文化”对学习个体应有的课程意义与教育价值之所在。
【教学片段】
师：圆在生活中无处不在，有人说，圆是世界上最美的图形，但生活中有些地方的圆不仅仅是为了美。（出示下水道的窨井盖图）你知道窨井盖为什么一般都是圆形的？（学生猜测）
师（出示一长方体与圆柱体分别模拟方形窨井与圆形窨井，演示方形盖子易掉进井里，圆形盖子无论怎么放都掉不下去）你现在有答案了吗？
生1：方形井口有的地方更宽。
生2：圆形井口都是一样宽的。
师：的确如此，在图4中，圆形窨井的最宽处在哪？
生3：中间那条线段。
师：最宽处还能画吗？要怎么画？
生4：能画，只要两端在圆上，并且通过圆心。
师：可以画出多少条？
生5：无数条。
师：圆形具有一个特征——通过圆心画出来的都是圆的最宽处，而且是处处一样宽。
师（出示图5）：正方形具有这样的特征么？通过正方形的中心画几条线段，有长有短，所以盖子就有可能从长的地方掉下去了。
师：这无数条圆内最长的线段，其实就是圆内第二种特别重要的线段，叫“直径”，用字母“d”表示。现在能说说直径是一条怎样的线段吗？
生6：直径是圆内最长的线段。
生7：直径是从圆上一点通过圆心到达对面另一点的线段。
生8：圆里有无数条直径，而且都一样长。
生9：直径其实就是由两条半径连起来的。
【评析】数学不仅仅是“纸笔数学”，更是“猜想数学”“验证数学”“实验数学”。在数学实验中，学生能主动经历数学观察、数学猜想、数学操作、数学推理与交流等诸多数学活动。基于直径与半径的联系，直径及其特征的教学完全可以在半径及其特征的教学基础上相机出示或让学生看书自学。而本课教学更多地体现了数学知识的教育价值与文化意义，引导学生带着数学的眼光去看待现实生活，寻找直径的生活原型，发现其中的数学内涵。
微软有一个著名的面试问题：为什么下水道的井盖是圆的？而这一个问题可以看作是直径及其特征的原型。正因为圆有无数条直径且都相等，即最宽处处处相等，所以圆形盖子无论怎么放都掉不下去。教学中，教师首先提出问题“为什么窨井盖是圆的？”然后让学生带着问题进行实验，在演示、观察、思辨、比较等活动中发现圆具有一个特征“过中同长”——通过圆心两端在圆上的线段有无数条且等长，而正方形等其他平面图形不具备这样的特征（当然，“过中同长”的特征本质上还是圆的“一中同长”）。在探索这一特征的过程中，直径及其特征在学生讨论交流“最宽处在哪”“还能怎么画”“能画多少条”等问题的答案的过程中自然生成。
在本课中，半径、直径、圆心是三个基本概念，是典型的陈述性知识，是告诉我们“是什么”的知识。但这些概念都是认识、描述圆的特征所需的要素，所以教师没有选择用“告诉”“自学”等方式来揭示，而是在“生活原型”支点的帮助下，引导学生先理解特征内涵再自然赋予名称。只有这样，半径、直径、圆心才不再是构成“圆”这一整体机器的小零件，而成为“圆之所以为圆”“圆之所以具备这样那样诸多外部特征”的真正内在机理和“幕后操纵者”。
数学课堂上，教师只有利用种种“生活原型”促进学生理解数学，才能培养学生从生活的“感性认识”上升为数学的“理性认识”，才能真正引导学生在课堂上经历知识、方法与智力的探险，使数学课堂呈现出磨砺思维、提升智慧的本来面目。
（责编 金 铃）
[关键词]支点;生活原型;圆的认识
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）26-0018-03
“圆的认识”一课，很多名师都有过精彩的演绎与诠释，如张齐华老师就有前后五次不同的演绎与重建，从历史人文视野下的丰沛厚重，到洗练纯粹至只剩下线条的文字的干净素朴，从“大问题”整合下课堂的开放，到“先学后教”背景下对学生主体学习的彻底回归……由外而内、 由物及人、由师转生的一次次否定与超越，见证着张齐华老师对数学课堂“另一种可能”的不断探寻与发现。正如他的座右铭：“永不重复别人，更不重复自己！”受此影响，我对“圆的认识”一课教学有了“另一种可能”的探索与尝试。
古希腊著名的数学家阿基米德有一句名言：“给我一个支点，我将撬起整 个地球。”在“理性化”的数学学习中，学生同样需要一个理解数学知识的支点，在本课中，这个支点就是数学知识的“生活原型”，这个原型可以是蕴涵数学知识的生活背景、生活经验、生活事例、生活表达等。教学中，找到与数学知识适切的生活原型，既可以让学生深刻体会到数学与生活的密切联系，更可以促进学生感悟和深刻认知数学知识，并在感悟和认知的过程中进行数学分析、数学归纳、数学演绎、数学比较等，从而使学生的数学学习更显本真、更深刻。
一、在“生活原型”的经验还原中理解数学本质
【教学片段】
（课前玩“你说我猜”的游戏：描述图形独一无二的特征，看谁猜得又快又准）
师：学校举行趣味运动会，进行投球比赛，同学们围成这三种队形（如图1）向中心的球筐投球，比谁投中的次数多。你认为哪种队形比赛才公平？
生（齐）：圆形队形。
师：为什么围成圆形队形比赛才公平？
生1：圆形队形中的每个人离球筐的距离是一样的。
师（出示图2）：如果用这些点表示队形中的同学，只有圆才具有一个独一无二的特征，那就是圆上（不是圆内，也不是圆外）每个点到中心的距离都相等，对吗？
师：凭我们的生活经验，感觉的确如此。但数学不能仅凭感觉，需要验证。你有什么办法来证明圆的这些线段都一样长吗？请大家拿出身边的圆片，自己标一标、画一画，证明一下。
（学生通过量或折的办法验证线段相等）
师：圆是怎样的一个图形？如果现在再来玩“你说我猜”的游戏，你打算怎样描述圆？
生2：边上点到中心都一样长的图形。
师：同学们说的都非常棒，说清了圆独一无二的特征！我国古代伟大的思想家墨子，是这样来描述圆的——圆，一中同长也。你理解这句话的意思吗？墨子说的“一中”是什么意思？“同长”是什么意思？
生3：“一中”指圆中心的这一点。
师：圆中心的这一个点就叫圆的圆心，用字母“O”表示。那“同长”呢？
生4：每个点到中心距离相等。
生5：这些线段都一样长。
师：是的，圆边上每个点到圆心的距离都相等，无数个这样到圆心距离相等的点连起来就得到了这个圆。（课件出示“连点成圆”的动画）
师：这些相等的线段就是圆内第一种重要的线段，叫半径，用字母“r”表示。能说说你对“半径”的认识吗？
生6：一个圆里有无数条半径。
生7：而且它们都一样长。
师：是的，一个圆里的无数条半径都相等。这就是墨子说的“同长”。
生8：半径是一条从圆边上到圆心的线段。
师：是的，你说的就是半径的概念。
【评析】胡塞尔说：“生活世界是自然科学被遗忘的基础。”在数学知识远离学生生活时，我们需要去到生活的源头处，找寻数学与生活的关联，帮助学生理解抽象化的数学知识。“一中同长”是圆的本质特征，圆内的重要概念“圆心”“半径”“直径”及其特征，以及画圆的原理都基于此特征。因此，对这一特征的认识深度就决定了对“圆”认识的高度，但这一特征对学生而言又比较抽象和难懂。
课始，通过投球比赛的生活情境，学生寻找到了“一中同长”的生活原型：“球筐位置”即“圆心”，“同学到球筐的距离”即“半径的长度”，要使比赛公平，“每个同学到球筐的距离都相等”也就是“半径都相等”。因此，通过“围成怎样的队形向中心球筐投球比赛才公平”问题的思考、讨论，激活了学生的生活经验，再结合量、折等操作验证，帮助学生从生活原型中抽取出 “一中同长”的内涵。有了特征内涵的理解，随后的“圆心”“半径”概念的教学其实只是赋予名称，在“一中”指什么和“同长”指什么的追问思索中，明晰“一中”就是指圆的中心即“圆心”，“同长”（边上每个点到中心距离都相等）指的就是圆有无数条“半径”，长度都相等。
二、在“生活原型”的經验改造中进行数学创造
【教学片段】
师：刚才我们一起认识了圆“一中同长”的独一无二的本质特征，你会根据这样的特征画一个圆吗？
师：这里有两支铅笔、一枚硬币，试着画一画。
（学生描述画法）
师：大家都很聪明！不过这样画圆有什么缺点？
生1：只能画和硬币一样大小的圆。
师：若只用这两支铅笔，能不能画？（教师展示用两支铅笔画出大小不同的两个圆）这样画圆有什么优点？
生2：这样画圆可以画出大小不同的圆。 师：试着用两支铅笔画圆，看谁画得又快又好。
师：用两支铅笔画圆有什么感受，要注意什么？
生3：铅笔容易滑，不容易固定。
生4：两支铅笔不容易控制。
生5：要使一支鉛笔固定不动。
师：是的，要画得“圆”，就得符合圆“一中同长”的特征，要做到“一中”，第一支铅笔就不能移动位置;要做到“同长”，两支铅笔的间距就不能随意改变。
师（出示图3）：聪明的人类，为了做到以上两点，用针代替了第一支铅笔，便于固定位置，又用特殊的机械装置，使这两支笔既能自由调整间距又能相对固定，这就是现在人们常用的专业的画圆工具——圆规。
【评析】“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”教师应该而且必须让学生获得深刻的数学体验，让学生“以身体之、以心验之”。在画圆的教学中，教师没有直接出示圆规，而是找到了圆规的“生活原型”——两支铅笔，让学生在自己动手用两支铅笔画圆的活动中，体验这样画圆的优点与缺点，在“为什么画不圆”的反思中体会到“要画得圆，必须要做到‘一中同长’”，然后通过“如何做到‘一中’”“如何做到‘同长’”的思考讨论，用针尖替换第一支铅笔，用特殊装置固定两支铅笔的间距。这样，通过原型启发、改进，带领学生经历画圆工具的再创造，既加深了学生对“一中同长”特征的认识，也使学生在获取知识、形成技能的同时，真切体验数学学习带来的思维愉悦，体现出数学“作为一门课程与文化”对学习个体应有的课程意义与教育价值之所在。
三、在“生活原型”的数学实验中探索数学文化
【教学片段】
师：圆在生活中无处不在，有人说，圆是世界上最美的图形，但生活中有些地方的圆不仅仅是为了美。（出示下水道的窨井盖图）你知道窨井盖为什么一般都是圆形的？（学生猜测）
师（出示一长方体与圆柱体分别模拟方形窨井与圆形窨井，演示方形盖子易掉进井里，圆形盖子无论怎么放都掉不下去）你现在有答案了吗？
生1：方形井口有的地方更宽。
生2：圆形井口都是一样宽的。
师：的确如此，在图4中，圆形窨井的最宽处在哪？
生3：中间那条线段。
师：最宽处还能画吗？要怎么画？
生4：能画，只要两端在圆上，并且通过圆心。
师：可以画出多少条？
生5：无数条。
师：圆形具有一个特征——通过圆心画出来的都是圆的最宽处，而且是处处一样宽。
师（出示图5）：正方形具有这样的特征么？通过正方形的中心画几条线段，有长有短，所以盖子就有可能从长的地方掉下去了。
师：这无数条圆内最长的线段，其实就是圆内第二种特别重要的线段，叫“直径”，用字母“d”表示。现在能说说直径是一条怎样的线段吗？
生6：直径是圆内最长的线段。
生7：直径是从圆上一点通过圆心到达对面另一点的线段。
生8：圆里有无数条直径，而且都一样长。
生9：直径其实就是由两条半径连起来的。
【评析】数学不仅仅是“纸笔数学”，更是“猜想数学”“验证数学”“实验数学”。在数学实验中，学生能主动经历数学观察、数学猜想、数学操作、数学推理与交流等诸多数学活动。基于直径与半径的联系，直径及其特征的教学完全可以在半径及其特征的教学基础上相机出示或让学生看书自学。而本课教学更多地体现了数学知识的教育价值与文化意义，引导学生带着数学的眼光去看待现实生活，寻找直径的生活原型，发现其中的数学内涵。
微软有一个著名的面试问题：为什么下水道的井盖是圆的？而这一个问题可以看作是直径及其特征的原型。正因为圆有无数条直径且都相等，即最宽处处处相等，所以圆形盖子无论怎么放都掉不下去。教学中，教师首先提出问题“为什么窨井盖是圆的？”然后让学生带着问题进行实验，在演示、观察、思辨、比较等活动中发现圆具有一个特征“过中同长”——通过圆心两端在圆上的线段有无数条且等长，而正方形等其他平面图形不具备这样的特征（当然，“过中同长”的特征本质上还是圆的“一中同长”）。在探索这一特征的过程中，直径及其特征在学生讨论交流“最宽处在哪”“还能怎么画”“能画多少条”等问题的答案的过程中自然生成。
在本课中，半径、直径、圆心是三个基本概念，是典型的陈述性知识，是告诉我们“是什么”的知识。但这些概念都是认识、描述圆的特征所需的要素，所以教师没有选择用“告诉”“自学”等方式来揭示，而是在“生活原型”支点的帮助下，引导学生先理解特征内涵再自然赋予名称。只有这样，半径、直径、圆心才不再是构成“圆”这一整体机器的小零件，而成为“圆之所以为圆”“圆之所以具备这样那样诸多外部特征”的真正内在机理和“幕后操纵者”。
数学课堂上，教师只有利用种种“生活原型”促进学生理解数学，才能培养学生从生活的“感性认识”上升为数学的“理性认识”，才能真正引导学生在课堂上经历知识、方法与智力的探险，使数学课堂呈现出磨砺思维、提升智慧的本来面目。
（责编 金 铃）