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摘 要： 本文利用广义极分解，拓展了性质1.2，得到了关于迹的新的不等式，作为应用，得到另外两个新结论，并用广义极分解进行证明.
关键词： 广义极分解 迹不等式 应用
矩阵的广义极分解在许多领域都扮演着非常重要的角色，如数值分析，矩阵逼近，矩阵理论的研究等方面.自1989年孙和陈在[1]中研究了广义极分解在限制条件下分解唯一性并将Frobenius范数下的逼近定理推广至任何酉不变范数情形后，许多学者对广义极分解和其扰动问题做了大量的研究工作并给出了一些很好的结果.例如，2008年王和卫在[6]中利用次酉极因子的新的表达式得到了酉不变范数下新的扰动界；2013年袁晖坪等在[5]中给出了酉对称矩阵的极分解和广义逆的公式，它们可极大地减少行（列）酉对称矩阵的极分解的计算量与存储量.本文主要是在性质1.2的基础上得到了迹的新的不等式，并用广义极分解对两个新的结论进行证明.
本文中，C表示秩为r的m×n复矩阵的集合；U表示所有n×n酉矩阵的全体；A表示矩阵A的转置；A表示矩阵A的逆；A和A分别表示矩阵A的共轭转置和Moore-Penrose逆；λ（A），σ（A）分别表示矩阵A的特征值和奇异值的全体；R（A）表示矩阵A的列空间；N（A）表示矩阵A的零空间；trA表示矩阵A的迹，即所有对角元素的和；|| ||表示向量的Euclid范数和矩阵的谱范数.
定义1.1若Q∈C满足
QQ=I
则称Q为m×n的酉矩阵.若Q∈C满足
||Qx||=||x||，？坌x∈R（Q）
则称Q为m×n次酉矩阵.
显然||Qx||=||x||？圳||Qx-Qy||=||x-y||，？坌x，y∈R（Q）=N（Q）.
定义1.2[1]设A∈C有分解
A=QH（1）
其中Q∈C是酉矩阵，H∈C为半正定阵，则这一分解叫做A的极分解.若Q∈C是次酉矩阵，H∈C为半正定阵，则这一分解叫做A的广义极分解.
由于m×n标准正交矩阵必为次酉矩阵，因此极分解必为广义极分解，但广义极分解远比极分解要复杂.当r=n时，A的广义极分解与极分解相同，但是，当r 设A∈C，其奇异值分解为：
A=U∑ OO OV（2）
其中m≥n≥r，U=（U，U）∈C，和V=（V，V）∈C是酉阵，∑=diag（σ，...，σ），σ≥σ≥...≥σ>0.若令
Q=UV，H=V∑V，（3）
则A=QH是A的广义极分解.
特别地，当A∈C时，有V=V，则矩阵A的广义极分解为A=U∑OV，其中U=（U，U）∈C和V∈C是酉阵，则（3）式为Q=UV，H=V∑V.
矩阵的广义极分解不唯一，给问题的研究及实际应用带来了困难.有了下面定理的限制条件，可使广义极分解唯一.
定理1.1设A∈C，则在
R（Q）=R（H）（4）
的限制下，A的广义极因子Q，H唯一确定，并由（3）给出.
本文以下都假设满足唯一性条件，因此广义极分解总可以由（3）确定.显然（3）中的广义极因子H与极分解中H是相同的，即
H=（AA）（5）
下面我们给出广义极分解另外一种分解方式：设0≠A∈C，则A=GE，这里E∈C是次酉矩阵，G∈C，这一分解也是A的广义极分解.且E，G由R（E）=R（G）唯一确定.在此情况下，矩阵A奇异值分解有A=U∑V，则G=AA，E=UV.
下面给出证明.设矩阵A的奇异值分解A=U∑V，？坌k使得r≤k≤min{m，n}.记∑=diag（σ，...，σ），U=（U，...，U）∈C，V=（V，...，V）∈C，则A=（U *）∑ OO OV*=（U∑ O）∑O=U∑V.
令G=U∑U，E=UV，则A=GE.当r 若G，E满足R（E）=R（G），则
AA=GE（GE）=GEEG=GPG=GPG=G，
即G=唯一.
E=EEE=PE=PE=GCE=（GG）E=GGE=GGE=GA.
所以，E唯一.
G=AA=U∑VV∑U=U∑U.
则G=U∑U，G=U∑U，
所以，E=GA=U∑UU=∑V=UV.
定理1.2[1]设A∈C有分解Q=QH，其中Q∈C是次酉矩阵，H∈C为半正定阵，则（a）与（b）等价
（a）R（Q）=R（H），
（b）rank（A）=rank（Q），σ（A）=λ（H）.
定理1.3设A∈C，矩阵A有（2）式的奇异值分解A=U∑V≠0，记U=（u，u...，u），V=（v，v...，v）分别为U，V前r列构成的矩阵，则
（1）UU=P，UU=I.
VV=P，VV=I.
（2）E=UV则为次酉矩阵，且EE=P，EE=P.
引理1[2]设A∈C，则λ（）≤σ（A）.
性质1.1[3]设A∈C，|λ（A）|≥...≥|λ（A）|，σ（A）≥...≥σ（A），则|λ（A）|≤σ（A）.
性质1.2[4]设H∈C，U为n阶酉矩阵.若H=H，则？坌W∈U，有trH≥R{tr（HW）}，其中R（X）表示X的实部.
定理2.1设A∈C，并设W表示秩为l的m×n复矩阵集C中次酉矩阵类，这里l=min{m，n}.那么，存在W∈W，使得AW是Hermite半正定矩阵，且
R{tr（AW）}=tr（AW）=σ（A）. 这里σ（A）（i=1，...r）为A的奇异值.
证明：不失一般性，假定m≤n.设A=GE为A的广义极分解，其中次酉矩阵E∈W为行满秩.那么，对于任意次酉矩阵W∈W，
tr（AW）=tr（GEW）=tr{G OO OEE（W W）}（6）
这里所取的E，W使得EE与（W W）为酉矩阵.
这样，由于EE（W W）仍为酉矩阵，并注意G OO O是半正定阵，因此，一方面由性质1.2的结论，我们有
R{tr（AW）}≤trG OO O=trG=σ（A）.
另一方面，取W=E，构造酉矩阵（W，W）=（E（E）），则
（EE）（W，W）=I.
且AW=GEW=GEE=G（E为次酉行满秩阵，所以EE=I）.
又由（6）式可得，tr（AW）=trG=σ（A）.
综上即得所证.
定理2.2设A∈C，A=GE为A的广义极分解，并满足R（E）=R（G），则A是正规矩阵的充要条件是GE=EG.
证明：由于R（E）=R（G），则A=GE分解唯一.若A的奇异值分解A=U∑V，其中∑=diag（σ，...，σ），σ≥...≥σ>0.有E=UV，G=UEU，且r（E）=r（G）=r=r（A）.
当GE=EG时，由EG=GE，有
r（E）=r=r（A）=r（（GE））=r（EG）=r（（EG））=r（GE）=r（G）.
所以，R（E）=R（EG）=R（GE）=R（G）.
故，AA=GEEG=GPG=GP=G，
AA=EGGE=GEEG=GPG=GPG=G.
即AA=AA.
反之，若AA=AA.则
v∑UU∑V=U∑VV∑V，即V∑V=U∑V.
可以推出∑VU=VU∑，进而有∑VU=VU∑.
由于P=UU=UU，P=VV=VV，
R（V）=R（V∑V）=R（U∑U）=R（U），
因此，EG=UVU∑U=U∑VUU=U∑VP=U∑VP
=U∑VVV=U∑V=U∑UUV=GE.
当GE=EG时，由上面证明得
EE=UVVU=UU=P=P=VV=VUUV=EE.
定理2.3设A∈W，A=GE是A的广义极分解，并满足R（E）=R（G），则A是次酉矩阵的充要条件是G是正交投影.
证明：设G=G=G幂等，则AA=GEEG=GPG=GPG=G=G，
所以，AAA=GGE=GE=GE=A，故A是次酉矩阵.
反之，设A是次酉矩阵，A=GE，其中R（E）=R（G），
则A的广义极分解唯一，且AA=G，所以，G=AAAA=AA=G，注意G=G≥0，所以，G=G.即G幂等.
从而G为正交投影阵.
参考文献：
[1]孙继广，陈春晖.广义极分解[J].计算数学，1989，（11）：262-273.
[2]戴华.矩阵论[M].北京：科学出版社，2001.
[3]王伯英.控制不等式基础[M].北京：北京师范大学出版社，1990.
[4]A.Ben Israel，T.N.E.Greville.Generalized Inverses：Theory and Application（II）[M].New York：Springer Verlag，2003.
[5]袁晖坪，郭伟，万波.酉对称矩阵的极分解[J].系统科学与数学，2013，（33）：740-750.
[6]王卫国，刘新国.关于极分解和广义极分解的一些新结果[J].计算数学，2008，（30）：147-156.
[7]N.J.Higham.Computing the Polar Decomposition with Applications[J].SIAM Journal Sci.Stat.Comput，1986，（7）：1160-1174.
关键词： 广义极分解 迹不等式 应用
矩阵的广义极分解在许多领域都扮演着非常重要的角色，如数值分析，矩阵逼近，矩阵理论的研究等方面.自1989年孙和陈在[1]中研究了广义极分解在限制条件下分解唯一性并将Frobenius范数下的逼近定理推广至任何酉不变范数情形后，许多学者对广义极分解和其扰动问题做了大量的研究工作并给出了一些很好的结果.例如，2008年王和卫在[6]中利用次酉极因子的新的表达式得到了酉不变范数下新的扰动界；2013年袁晖坪等在[5]中给出了酉对称矩阵的极分解和广义逆的公式，它们可极大地减少行（列）酉对称矩阵的极分解的计算量与存储量.本文主要是在性质1.2的基础上得到了迹的新的不等式，并用广义极分解对两个新的结论进行证明.
本文中，C表示秩为r的m×n复矩阵的集合；U表示所有n×n酉矩阵的全体；A表示矩阵A的转置；A表示矩阵A的逆；A和A分别表示矩阵A的共轭转置和Moore-Penrose逆；λ（A），σ（A）分别表示矩阵A的特征值和奇异值的全体；R（A）表示矩阵A的列空间；N（A）表示矩阵A的零空间；trA表示矩阵A的迹，即所有对角元素的和；|| ||表示向量的Euclid范数和矩阵的谱范数.
定义1.1若Q∈C满足
QQ=I
则称Q为m×n的酉矩阵.若Q∈C满足
||Qx||=||x||，？坌x∈R（Q）
则称Q为m×n次酉矩阵.
显然||Qx||=||x||？圳||Qx-Qy||=||x-y||，？坌x，y∈R（Q）=N（Q）.
定义1.2[1]设A∈C有分解
A=QH（1）
其中Q∈C是酉矩阵，H∈C为半正定阵，则这一分解叫做A的极分解.若Q∈C是次酉矩阵，H∈C为半正定阵，则这一分解叫做A的广义极分解.
由于m×n标准正交矩阵必为次酉矩阵，因此极分解必为广义极分解，但广义极分解远比极分解要复杂.当r=n时，A的广义极分解与极分解相同，但是，当r
A=U∑ OO OV（2）
其中m≥n≥r，U=（U，U）∈C，和V=（V，V）∈C是酉阵，∑=diag（σ，...，σ），σ≥σ≥...≥σ>0.若令
Q=UV，H=V∑V，（3）
则A=QH是A的广义极分解.
特别地，当A∈C时，有V=V，则矩阵A的广义极分解为A=U∑OV，其中U=（U，U）∈C和V∈C是酉阵，则（3）式为Q=UV，H=V∑V.
矩阵的广义极分解不唯一，给问题的研究及实际应用带来了困难.有了下面定理的限制条件，可使广义极分解唯一.
定理1.1设A∈C，则在
R（Q）=R（H）（4）
的限制下，A的广义极因子Q，H唯一确定，并由（3）给出.
本文以下都假设满足唯一性条件，因此广义极分解总可以由（3）确定.显然（3）中的广义极因子H与极分解中H是相同的，即
H=（AA）（5）
下面我们给出广义极分解另外一种分解方式：设0≠A∈C，则A=GE，这里E∈C是次酉矩阵，G∈C，这一分解也是A的广义极分解.且E，G由R（E）=R（G）唯一确定.在此情况下，矩阵A奇异值分解有A=U∑V，则G=AA，E=UV.
下面给出证明.设矩阵A的奇异值分解A=U∑V，？坌k使得r≤k≤min{m，n}.记∑=diag（σ，...，σ），U=（U，...，U）∈C，V=（V，...，V）∈C，则A=（U *）∑ OO OV*=（U∑ O）∑O=U∑V.
令G=U∑U，E=UV，则A=GE.当r
AA=GE（GE）=GEEG=GPG=GPG=G，
即G=唯一.
E=EEE=PE=PE=GCE=（GG）E=GGE=GGE=GA.
所以，E唯一.
G=AA=U∑VV∑U=U∑U.
则G=U∑U，G=U∑U，
所以，E=GA=U∑UU=∑V=UV.
定理1.2[1]设A∈C有分解Q=QH，其中Q∈C是次酉矩阵，H∈C为半正定阵，则（a）与（b）等价
（a）R（Q）=R（H），
（b）rank（A）=rank（Q），σ（A）=λ（H）.
定理1.3设A∈C，矩阵A有（2）式的奇异值分解A=U∑V≠0，记U=（u，u...，u），V=（v，v...，v）分别为U，V前r列构成的矩阵，则
（1）UU=P，UU=I.
VV=P，VV=I.
（2）E=UV则为次酉矩阵，且EE=P，EE=P.
引理1[2]设A∈C，则λ（）≤σ（A）.
性质1.1[3]设A∈C，|λ（A）|≥...≥|λ（A）|，σ（A）≥...≥σ（A），则|λ（A）|≤σ（A）.
性质1.2[4]设H∈C，U为n阶酉矩阵.若H=H，则？坌W∈U，有trH≥R{tr（HW）}，其中R（X）表示X的实部.
定理2.1设A∈C，并设W表示秩为l的m×n复矩阵集C中次酉矩阵类，这里l=min{m，n}.那么，存在W∈W，使得AW是Hermite半正定矩阵，且
R{tr（AW）}=tr（AW）=σ（A）. 这里σ（A）（i=1，...r）为A的奇异值.
证明：不失一般性，假定m≤n.设A=GE为A的广义极分解，其中次酉矩阵E∈W为行满秩.那么，对于任意次酉矩阵W∈W，
tr（AW）=tr（GEW）=tr{G OO OEE（W W）}（6）
这里所取的E，W使得EE与（W W）为酉矩阵.
这样，由于EE（W W）仍为酉矩阵，并注意G OO O是半正定阵，因此，一方面由性质1.2的结论，我们有
R{tr（AW）}≤trG OO O=trG=σ（A）.
另一方面，取W=E，构造酉矩阵（W，W）=（E（E）），则
（EE）（W，W）=I.
且AW=GEW=GEE=G（E为次酉行满秩阵，所以EE=I）.
又由（6）式可得，tr（AW）=trG=σ（A）.
综上即得所证.
定理2.2设A∈C，A=GE为A的广义极分解，并满足R（E）=R（G），则A是正规矩阵的充要条件是GE=EG.
证明：由于R（E）=R（G），则A=GE分解唯一.若A的奇异值分解A=U∑V，其中∑=diag（σ，...，σ），σ≥...≥σ>0.有E=UV，G=UEU，且r（E）=r（G）=r=r（A）.
当GE=EG时，由EG=GE，有
r（E）=r=r（A）=r（（GE））=r（EG）=r（（EG））=r（GE）=r（G）.
所以，R（E）=R（EG）=R（GE）=R（G）.
故，AA=GEEG=GPG=GP=G，
AA=EGGE=GEEG=GPG=GPG=G.
即AA=AA.
反之，若AA=AA.则
v∑UU∑V=U∑VV∑V，即V∑V=U∑V.
可以推出∑VU=VU∑，进而有∑VU=VU∑.
由于P=UU=UU，P=VV=VV，
R（V）=R（V∑V）=R（U∑U）=R（U），
因此，EG=UVU∑U=U∑VUU=U∑VP=U∑VP
=U∑VVV=U∑V=U∑UUV=GE.
当GE=EG时，由上面证明得
EE=UVVU=UU=P=P=VV=VUUV=EE.
定理2.3设A∈W，A=GE是A的广义极分解，并满足R（E）=R（G），则A是次酉矩阵的充要条件是G是正交投影.
证明：设G=G=G幂等，则AA=GEEG=GPG=GPG=G=G，
所以，AAA=GGE=GE=GE=A，故A是次酉矩阵.
反之，设A是次酉矩阵，A=GE，其中R（E）=R（G），
则A的广义极分解唯一，且AA=G，所以，G=AAAA=AA=G，注意G=G≥0，所以，G=G.即G幂等.
从而G为正交投影阵.
参考文献：
[1]孙继广，陈春晖.广义极分解[J].计算数学，1989，（11）：262-273.
[2]戴华.矩阵论[M].北京：科学出版社，2001.
[3]王伯英.控制不等式基础[M].北京：北京师范大学出版社，1990.
[4]A.Ben Israel，T.N.E.Greville.Generalized Inverses：Theory and Application（II）[M].New York：Springer Verlag，2003.
[5]袁晖坪，郭伟，万波.酉对称矩阵的极分解[J].系统科学与数学，2013，（33）：740-750.
[6]王卫国，刘新国.关于极分解和广义极分解的一些新结果[J].计算数学，2008，（30）：147-156.
[7]N.J.Higham.Computing the Polar Decomposition with Applications[J].SIAM Journal Sci.Stat.Comput，1986，（7）：1160-1174.