论文部分内容阅读
前言
人们在不断应用数形结合思想的过程中，普遍认识到加强数学思想方法教学的重要性.因为数学思想方法不像解题方法那样具体和便于操作，但对数学知识和数学基本方法却有绝对的指导作用，是对数学知识更高层次的概括和提炼，也是培养学生能力的重要环节[1].数形结合作为一种数学思维方法的应用大致又可分为两种情况：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性；或借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系.数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数促形”，而第二种情形是“借形辅数”.
数形结合思想的由来、形成和发展
早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了.在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系描述成代数关系.17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过坐标系建立了数与形之间的联系，创立了解析几何学.后来，几何学中许多长期不得解决的问题，如尺规作图“三大不能”问题等，最终也是借助于代数方法得到圆满解决.说明了“数形结合”思想有着悠久的历史.在小学数学教学中，我们虽还用不到这种高深的数学知识，却也在低年级“数的认识”中就接触到了数形结合这个思想.以形助数——借助形的生动和直观来阐明数与数之间的联系，以形为手段，数为目的。
十七世纪初期，由于资本主义生产的发展，相应地提出了许多数学问题，在天文学方面，开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行；在力学方面，伽利略发现抛射体沿抛物线轨迹运动；科学和技术的发展所产生的许多问题都需要人们对曲线进行研究和计算.只用初等数学的方法，已无能为力，要求突破常量数学的范围和方法，而提供用以描述和研究物体运动变化过程所需的新的数学工具：变量数学，从而导致数形结合思想的产生和发展.
利用数形结合思想解答中学数学中的几类常见问题
集合问题
利用韦恩图法解决集合之间的关系问题[2].
一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题.
例1有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化小组的人数分别为28，25，15同时参加数、理小组的8人，同时参加数、化小组的6人，同时参加理、化小组的7人，问：同时参加数、理、化小组的有多少人？
分析 我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：n（A） n（B） n（C）-n（AB）-n（AC）-n（BC） n（ABC）=48 ，即：
28 25 15-8-6-7 n（ABC）=48，∴n（ABC）=1，
即同时参加数理化小组的有1人．
图1
不等式问题：
不等式是中学教学中极为重要的基础知识，不等式是等式的扩展，这就决定了解不等式和证明不等式实质上是解方程和证明恒等式的扩展,不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值对培养学生能力，发展学生思维提出了较高的教学要求,具体说，它所涉及的不等式性质常附有特定的前提条件和技能要求，结合图形研究，可以避免复杂的讨论，化繁为简[4].
如果不等式两边的表达式有明显的几何意义或通过某种方式可以与图形建立联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决[5].通过观察等式两边的表达式发现有明显的几何意义或者通过某种方式可以与图形建立联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决，灵活运用了数形结合的思想，巧妙的运用了三角形的几何意义[5].
函数问题：
三角函数问题：
近几年高考加强了对三角函数的图像与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练地运用数重要内容，是学习高考数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具.在复习时要充分运用数形结合的的思想，把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得出函数形结合的思想方法.
例2 解不等式|cosx|>|sinx|，x∈[0，2π].
分析 从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数 在[0，2π]上做出它们的图像,得到四个不同的交点,横坐标分别为:
，而当 在区间 内时， 的图像都在 的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：
.
二次函数求最值问题
例3求函数 的最小值．
分析 考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为
,
令 ， ， ，则问题转化为在 轴上求一点 ，
使 有最小值．如下图所示，由于 在 轴同侧，故取 关于 轴的对
称点 ，故 .
复数问题
高考中的复数题，重点考察的是概念与运算.解这类问题，若不加分析就设出复数的代数形式或三角形式，联立方程组去求解，往往运算繁琐，影响到解题的速度和正确性.如果认真研究其结构特征，充分利用复数的几何意义，利用数形结合思想求解，则化难为易，简化解题过程.
例4设 ， ,，求 的值．
分析 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解．
解 如图，设 、 ＝ 后，则 ＝ 、 ＝ 如图所示
yA
D
O Bx
C
由圖可知，| |， ，由余弦定理得：
,
∴( ±)＝ ± .
另解 设 、 如图所示．则| |，且
， ，
∴＝±，即.
运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼． 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解．一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解．
本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设 ，
则 ，
∴ , ，
．
本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由 得：
,
所以 ,再同除以得，设，解得．
几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别．
几何问题
几何证明（或求解）不仅需要逻辑推理，同时也常常需要计算．对于有些几何问题，代数运算（包括三角运算）在其中起着十分重要的作用，计算的结果往往就是证明（或求解）的终结．一般情况下我们通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的．
例5（ 海南卷，理 ）已知点 在抛物线 上，那么点 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 的坐标为
.． ． ． ．
分析 点 到点 的距离与点 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时, 点 到点 的距离与点 到抛物线的准线的距离之和也取得最小值,这样就可以把点 到抛物线的焦点的距离转为到准线的距离求出．
解 点 在抛物线 的内部,要使点 到
点 的距离与点 到抛物线焦点的距离之和
取得最小值,根据抛物线的定义知,须使点 到
点 的距离与点 到抛物线准线距离之和
取得最小,即 时最小．则 故选 ．
答案: .
对称问题
例6 曲线 ： 上存在关于直线 : 对称两点 、 ，求 的取值范围[10]．
解 设 、 ， 中点 ，则有
- - ，
- - ，
得，
由题意知
人们在不断应用数形结合思想的过程中，普遍认识到加强数学思想方法教学的重要性.因为数学思想方法不像解题方法那样具体和便于操作，但对数学知识和数学基本方法却有绝对的指导作用，是对数学知识更高层次的概括和提炼，也是培养学生能力的重要环节[1].数形结合作为一种数学思维方法的应用大致又可分为两种情况：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性；或借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系.数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数促形”，而第二种情形是“借形辅数”.
数形结合思想的由来、形成和发展
早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了.在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系描述成代数关系.17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过坐标系建立了数与形之间的联系，创立了解析几何学.后来，几何学中许多长期不得解决的问题，如尺规作图“三大不能”问题等，最终也是借助于代数方法得到圆满解决.说明了“数形结合”思想有着悠久的历史.在小学数学教学中，我们虽还用不到这种高深的数学知识，却也在低年级“数的认识”中就接触到了数形结合这个思想.以形助数——借助形的生动和直观来阐明数与数之间的联系，以形为手段，数为目的。
十七世纪初期，由于资本主义生产的发展，相应地提出了许多数学问题，在天文学方面，开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行；在力学方面，伽利略发现抛射体沿抛物线轨迹运动；科学和技术的发展所产生的许多问题都需要人们对曲线进行研究和计算.只用初等数学的方法，已无能为力，要求突破常量数学的范围和方法，而提供用以描述和研究物体运动变化过程所需的新的数学工具：变量数学，从而导致数形结合思想的产生和发展.
利用数形结合思想解答中学数学中的几类常见问题
集合问题
利用韦恩图法解决集合之间的关系问题[2].
一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题.
例1有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化小组的人数分别为28，25，15同时参加数、理小组的8人，同时参加数、化小组的6人，同时参加理、化小组的7人，问：同时参加数、理、化小组的有多少人？
分析 我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：n（A） n（B） n（C）-n（AB）-n（AC）-n（BC） n（ABC）=48 ，即：
28 25 15-8-6-7 n（ABC）=48，∴n（ABC）=1，
即同时参加数理化小组的有1人．
图1
不等式问题：
不等式是中学教学中极为重要的基础知识，不等式是等式的扩展，这就决定了解不等式和证明不等式实质上是解方程和证明恒等式的扩展,不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值对培养学生能力，发展学生思维提出了较高的教学要求,具体说，它所涉及的不等式性质常附有特定的前提条件和技能要求，结合图形研究，可以避免复杂的讨论，化繁为简[4].
如果不等式两边的表达式有明显的几何意义或通过某种方式可以与图形建立联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决[5].通过观察等式两边的表达式发现有明显的几何意义或者通过某种方式可以与图形建立联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决，灵活运用了数形结合的思想，巧妙的运用了三角形的几何意义[5].
函数问题：
三角函数问题：
近几年高考加强了对三角函数的图像与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练地运用数重要内容，是学习高考数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具.在复习时要充分运用数形结合的的思想，把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得出函数形结合的思想方法.
例2 解不等式|cosx|>|sinx|，x∈[0，2π].
分析 从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数 在[0，2π]上做出它们的图像,得到四个不同的交点,横坐标分别为:
，而当 在区间 内时， 的图像都在 的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：
.
二次函数求最值问题
例3求函数 的最小值．
分析 考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为
,
令 ， ， ，则问题转化为在 轴上求一点 ，
使 有最小值．如下图所示，由于 在 轴同侧，故取 关于 轴的对
称点 ，故 .
复数问题
高考中的复数题，重点考察的是概念与运算.解这类问题，若不加分析就设出复数的代数形式或三角形式，联立方程组去求解，往往运算繁琐，影响到解题的速度和正确性.如果认真研究其结构特征，充分利用复数的几何意义，利用数形结合思想求解，则化难为易，简化解题过程.
例4设 ， ,，求 的值．
分析 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解．
解 如图，设 、 ＝ 后，则 ＝ 、 ＝ 如图所示
yA
D
O Bx
C
由圖可知，| |， ，由余弦定理得：
,
∴( ±)＝ ± .
另解 设 、 如图所示．则| |，且
， ，
∴＝±，即.
运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼． 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解．一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解．
本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设 ，
则 ，
∴ , ，
．
本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由 得：
,
所以 ,再同除以得，设，解得．
几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别．
几何问题
几何证明（或求解）不仅需要逻辑推理，同时也常常需要计算．对于有些几何问题，代数运算（包括三角运算）在其中起着十分重要的作用，计算的结果往往就是证明（或求解）的终结．一般情况下我们通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的．
例5（ 海南卷，理 ）已知点 在抛物线 上，那么点 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 的坐标为
.． ． ． ．
分析 点 到点 的距离与点 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时, 点 到点 的距离与点 到抛物线的准线的距离之和也取得最小值,这样就可以把点 到抛物线的焦点的距离转为到准线的距离求出．
解 点 在抛物线 的内部,要使点 到
点 的距离与点 到抛物线焦点的距离之和
取得最小值,根据抛物线的定义知,须使点 到
点 的距离与点 到抛物线准线距离之和
取得最小,即 时最小．则 故选 ．
答案: .
对称问题
例6 曲线 ： 上存在关于直线 : 对称两点 、 ，求 的取值范围[10]．
解 设 、 ， 中点 ，则有
- - ，
- - ，
得，
由题意知