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[摘要]“以任务探索生成问题，以问题思考形成知识，以文化渗透丰富內涵”的课堂教学模式，体现以学生发展为本的现代教育理念，可极大提高课堂教学效率。
[关键词]任务，问题，文化，曲线与方程
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）11-0005-03
广西普通高中学科基地建设柳州高级中学数学课程基地自建成以来，以探索适合学生发展的、有数学味的高效课堂为建设目标，形成了以“以任务探索生成问题，以问题思考形成知识，文化渗透丰富内涵”的课堂教学模式（如图1）。
2019年11月20日，我校高路老师参加柳州市青年教师赛教课，课题是《曲线与方程》，教学设计采用“基于问题和任务”的教学模式，得到评委及听课教师的一致好评，获得了柳州市青赛课一等奖，以下是本节课的课堂实录，希望通过实录这种形式，能更加直观地让一线教师了解此教学模式的基本步骤和实施路径。
[课堂实录]
一、创设情境，丰富内涵
师：人类对曲线与方程的认识经历了一个漫长的过程，下面请同学们观看视频，看看费马和笛卡尔研究曲线的方法，与阿波罗尼奥斯有什么不同。
（学生观看视频）解析几何的发展史，
1.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法，得到了圆、椭圆、双曲线、抛物线，并从纯几何的观点研究了圆锥曲线的性质，后人几乎无法突破。
2.费马，17世纪法国数学家，通过引进坐标，从方程出发研究几何曲线的轨迹。
3.几乎同一时期，法国另一位数学家笛卡尔，引入坐标法，从轨迹开始建立方程。
虽然费马的研究是从数到形，笛卡爾是从形到数，但他们都建立了坐标系，引入坐标，将方程与曲线联系起来，创立了解析几何。
设计意图：将数学史融入课堂，链接了章导言，既激发了学生的学习热情，又让学生了解数学家研究曲线的方法，使课堂的文化味更浓。
二、自主探究，生成概念
任务活动一：请在平面直角坐标系中，画出方程2x2-y=0（x≠0）对应的曲线，并思考：
问题1：你用了什么方法画曲线？
问题2：曲线上的点坐标从何而来？
生：问题l是采用描点法，
生：问题2是从方程的解中选取，
师：刚才有些同学没有在曲线中挖掉原点，为什么要挖掉原点？
生：因为题设要求x≠0.
师：若不挖掉原点，从图形直观来看，以方程的解为坐标的点与曲线上的点相比，谁多谁少？
生：点多解少。
师：我们只是选取了几个点描出曲线的大致图形，是否可以认为以这个方程的所有解为坐标的点都在对应曲线上，这样的猜想合理吗？
生：我们作图都用描点法，这当然是对的，
为了验证猜想，学生给出方程的任一组解，教师用几何画板演示以这些解为坐标的点都在曲线上，
师（追问）：若以方程的解为坐标的点都在曲线上，则谁的点的个数有可能多？
生：曲线上的点有可能多。
师：此时，若把方程的解集和曲线上的点集分别用集合A、B表示，A、B有什么关系？
生：A是B的子集。
设计意图：让学生经历描点法作图，能更直观地体会以方程的解为坐标的点都在曲线上，实现从数到形的转化，为学生理解方程的曲线这一概念提供实例。
任务活动二：求如图2所示的曲线对应的方程，并思考：
问题3：你是用什么方法求方程的？
生：直线过（-2，0）和（0.2），我是将两点代人斜截式求出直线方程x-y 2=0（x≠1）的，
师：你能否保证直线上所有点的坐标都满足你选用的这两点所求的方程？
生（迟疑后）：应该是吧。
教师操作几何画板，在曲线上任取一点，度量其坐标，让学生充分感知，不管点如何移动，点坐标始终满足所求方程。
师：如果所求方程没有限制x≠-1.显然，方程的解比曲线上的点多，若曲线上的点坐标都是方程的解，则谁的个数有可能多？
生：解有可能多。
师（追问）：此时，若把方程的解集和曲线上的点集分别用集合A、B表示，A、B有什么关系？
生：B是A的子集。
设计意图：让学生经历求直线方程的过程，学生能更直观地体会曲线上的点坐标都满足方程，实现从形到数的转化，为学生理解曲线的方程这一概念提供实例。
任务活动三：请分别画出曲线C：到坐标原点距离为1的圆在y轴右侧部分，和方程f（x，y）=O：x2 y2=1（y
[关键词]任务，问题，文化，曲线与方程
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）11-0005-03
广西普通高中学科基地建设柳州高级中学数学课程基地自建成以来，以探索适合学生发展的、有数学味的高效课堂为建设目标，形成了以“以任务探索生成问题，以问题思考形成知识，文化渗透丰富内涵”的课堂教学模式（如图1）。
2019年11月20日，我校高路老师参加柳州市青年教师赛教课，课题是《曲线与方程》，教学设计采用“基于问题和任务”的教学模式，得到评委及听课教师的一致好评，获得了柳州市青赛课一等奖，以下是本节课的课堂实录，希望通过实录这种形式，能更加直观地让一线教师了解此教学模式的基本步骤和实施路径。
[课堂实录]
一、创设情境，丰富内涵
师：人类对曲线与方程的认识经历了一个漫长的过程，下面请同学们观看视频，看看费马和笛卡尔研究曲线的方法，与阿波罗尼奥斯有什么不同。
（学生观看视频）解析几何的发展史，
1.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法，得到了圆、椭圆、双曲线、抛物线，并从纯几何的观点研究了圆锥曲线的性质，后人几乎无法突破。
2.费马，17世纪法国数学家，通过引进坐标，从方程出发研究几何曲线的轨迹。
3.几乎同一时期，法国另一位数学家笛卡尔，引入坐标法，从轨迹开始建立方程。
虽然费马的研究是从数到形，笛卡爾是从形到数，但他们都建立了坐标系，引入坐标，将方程与曲线联系起来，创立了解析几何。
设计意图：将数学史融入课堂，链接了章导言，既激发了学生的学习热情，又让学生了解数学家研究曲线的方法，使课堂的文化味更浓。
二、自主探究，生成概念
任务活动一：请在平面直角坐标系中，画出方程2x2-y=0（x≠0）对应的曲线，并思考：
问题1：你用了什么方法画曲线？
问题2：曲线上的点坐标从何而来？
生：问题l是采用描点法，
生：问题2是从方程的解中选取，
师：刚才有些同学没有在曲线中挖掉原点，为什么要挖掉原点？
生：因为题设要求x≠0.
师：若不挖掉原点，从图形直观来看，以方程的解为坐标的点与曲线上的点相比，谁多谁少？
生：点多解少。
师：我们只是选取了几个点描出曲线的大致图形，是否可以认为以这个方程的所有解为坐标的点都在对应曲线上，这样的猜想合理吗？
生：我们作图都用描点法，这当然是对的，
为了验证猜想，学生给出方程的任一组解，教师用几何画板演示以这些解为坐标的点都在曲线上，
师（追问）：若以方程的解为坐标的点都在曲线上，则谁的点的个数有可能多？
生：曲线上的点有可能多。
师：此时，若把方程的解集和曲线上的点集分别用集合A、B表示，A、B有什么关系？
生：A是B的子集。
设计意图：让学生经历描点法作图，能更直观地体会以方程的解为坐标的点都在曲线上，实现从数到形的转化，为学生理解方程的曲线这一概念提供实例。
任务活动二：求如图2所示的曲线对应的方程，并思考：
问题3：你是用什么方法求方程的？
生：直线过（-2，0）和（0.2），我是将两点代人斜截式求出直线方程x-y 2=0（x≠1）的，
师：你能否保证直线上所有点的坐标都满足你选用的这两点所求的方程？
生（迟疑后）：应该是吧。
教师操作几何画板，在曲线上任取一点，度量其坐标，让学生充分感知，不管点如何移动，点坐标始终满足所求方程。
师：如果所求方程没有限制x≠-1.显然，方程的解比曲线上的点多，若曲线上的点坐标都是方程的解，则谁的个数有可能多？
生：解有可能多。
师（追问）：此时，若把方程的解集和曲线上的点集分别用集合A、B表示，A、B有什么关系？
生：B是A的子集。
设计意图：让学生经历求直线方程的过程，学生能更直观地体会曲线上的点坐标都满足方程，实现从形到数的转化，为学生理解曲线的方程这一概念提供实例。
任务活动三：请分别画出曲线C：到坐标原点距离为1的圆在y轴右侧部分，和方程f（x，y）=O：x2 y2=1（y