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[摘 要] 课堂例题质量的高低直接影响着课堂教学效益，科学选择例题是高效课堂的基本保证. 文章就一次市性公开课中的例题的两个争议（有人认为该题答案解法有问题，有人认为这道例题的选材不当）进行梳理和反思.
[关键词] 例题选择；课堂效益；回归分析；争议；反思
课堂例题质量的高低直接影响着课堂教学效益，科学选择例题是高效课堂的基本保证.在一次课题为《回归分析》的市性公开课中，主讲教师采用2016年安徽省“江南十校”高三联考文科数学试题中的一道回归分析作为本堂课的例题.不少教师听后，对这道例题产生怀疑，有教师认为该题答案解法有问题，也有教师觉得这道试题的选材不当.本文就这道回归分析例题的两个争议进行梳理与反思，仅供大家参考.
例题：（2016年安徽省“江南十校”高三联考文科数学试题）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行. 下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）
（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅱ）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间x变化的数据：
（ⅰ）由图可以看出，金牌数之和y与时间x之间存在线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程；
几乎所有学生的解法与参考答案一样，很多教师对答案的解法表示赞同，但有教师认为这种解法不妥，用这个结果去预测第31届夏季奥运会中国代表团获得的金牌数不科学、不合理. 理由是：根据所求的回归方程求出第31届中国代表团获得的金牌数之和的预报值为199.9枚，为什么要直接减去前五届中国代表团获得的金牌数之和的实际值，如果前五届某一届由于受外界干扰因素比较大，那么这一届的数据就直接影响着第31届的预测数据的科学性与准确性. 这样简单用31届中国代表团获得的金牌数之和的预报值直接减去前五届中国代表团获得的金牌数之和的实际值所得结果来预测2016年中国代表团获得的金牌数说服力就很低，他们给出第二种解法.
[?] 试题争议
有教师认为时间x（届）与金牌数之和y（枚）没有任何直接的相关联的两个量，用时间x（届）与金牌数之和y（枚）的关系进行预测第31届奥运会中国的金牌数所得结果令人质疑，对这种做法觉得不妥. 他们认为该题与“用某个人的祖父的身高、父亲的身高、他本人的身高、他儿子的身高预测这个人的孙子的身高”，“用气温与奶茶店销售量的关系对奶茶店某一天的销售量进行预测”等有着质的不同，认为命题者在选材时欠缺思考. 也有教师提出质疑，为什么要对近五届奥运会中国代表团获得的金牌数进行求和？完全可以直接根据近五届奥运会中国代表团获得的金牌数进行求平均数然后进行预测第31届奥运会中国的金牌数，没必要采用线性回归进行预测，如果只是为了讲线性回归而分析选择此题就有点牵强. 也有人认为，如果对这道题进行改进，由于近五届奥运会中国代表团获得的金牌数中的第29届北京奥运会在自己的国家举行有很多的有利因素而第31奥运会不在自己的祖国举办而是在巴西举行，故认为直接处理掉第29届北京奥运会中国代表团获得金牌数这个数据，这样既体现数据处理，所预测的结果也更有说服力.
[?] 问题反思
教师们所言不无道理，首先作为市性公开课在选题上尽量不要选择有争议的试题，避免偏离主题和出现不必要的麻烦，最好选择教材试题或高考原题.
对于第一个争议，两种解法哪一种解法的预测结果更加科学、合理，笔者认为第二种解法所预测的结果比较合理，即预测今年中国代表团获得的金牌数为38枚比较合理.认为第一种解法缺乏对线性回归方程[y] =x 中的斜率的估计值本质内涵的全面理解，如本题经计算得金牌数之和y关于时间x的线性回归方程为[y] =38.1x-981.2，其中斜率的估计值=38.1，也就是说解释变量x每增加一个单位预报变量[y] 增加38.1个单位，又由于y表示近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和，所以估计第31届中国代表团获得的金牌数之和将增加38.1枚，所增加的38.1即为今年中国代表团获得的金牌数的估计值，故预测今年中国代表团获得的金牌数为38.1≈38枚. 故认为第二种解法是正确的，所预测的结果也比较科学合理.
∈[0.75，1]就認为这两个变量具有很强的线性相关关系，此时就可以算它们的回归方程从而用所求回归方程进行预测. 从这个角度上说，这堂课上的这道例题是合理的. 但从实际上看时间x与金牌数之和y关联度的确不明显，即解释变量x没直接影响预报变量y，因此有很多人觉得此题不妥也是有一定道理的.
所以建议在命有关统计试题时在选材时首先要保证所研究的问题本身是一个统计问题，否则会影响学生对统计的认识. 我们要知道统计要考什么，主要考查统计思想，即局部（样本）推断整体（总体），具体地讲，就是通过搜集数据、整理数据、分析数据和预测（或决策）这个过程，来考查统计思想. 现在高考主要采取建立统计模型（回归分析模型和独立检验模型）解决实际问题，来体现考生对上述过程的认识，从而考查利用统计思想和统计模型解决实际问题的方法.另外，由于针对随机现象的考查，所以一般都会与概率结合，因为概率和统计都是以随机现象作为研究对象，而且都是研究随机现象规律的学科，只不过概率是对随机现象统计规律演绎的研究，而统计则是对随机现象统计规律归纳的研究，所以两者是具有联系的. 概率是统计的理论和方法的依据，统计则是概率的应用. 高考解答题则重点围绕统计进行考查，并通过随机现象联系概率，在概率基础上进一步考查应用，并重点对样本随机发生的频率进行考查.切记，只考查计算，而计算并非是统计的主要内容，只是获取数据或得到模型而采取的一种手段而已.
独立性检验是研究随机现象中分类变量之间的关系，如果具有相关性，就可以进一步进行回归分析. 独立性检验的过程是这样的：从实际问题出发，先通过条形图主要等高图直观的观察分类变量之间是否存在明显的差异，从而初步判断变量间的关系，在此基础上，对有明显差异的情况，再通过列联表计算K2的值，然后由K2分布得到所求概率，并根据所求概率进行变量关系的判断. 因此在命题选材时一定注意问题的背景以及可能产生的争议，尽量回避产生争议的试题素材，把大家的关注点放在试题所涉及的问题上，问题的分析与求解尽可能体现应用已学知识解决实际问题，提高学生的分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学核心素养.
[关键词] 例题选择；课堂效益；回归分析；争议；反思
课堂例题质量的高低直接影响着课堂教学效益，科学选择例题是高效课堂的基本保证.在一次课题为《回归分析》的市性公开课中，主讲教师采用2016年安徽省“江南十校”高三联考文科数学试题中的一道回归分析作为本堂课的例题.不少教师听后，对这道例题产生怀疑，有教师认为该题答案解法有问题，也有教师觉得这道试题的选材不当.本文就这道回归分析例题的两个争议进行梳理与反思，仅供大家参考.
例题：（2016年安徽省“江南十校”高三联考文科数学试题）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行. 下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）
（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅱ）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间x变化的数据：
（ⅰ）由图可以看出，金牌数之和y与时间x之间存在线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程；
几乎所有学生的解法与参考答案一样，很多教师对答案的解法表示赞同，但有教师认为这种解法不妥，用这个结果去预测第31届夏季奥运会中国代表团获得的金牌数不科学、不合理. 理由是：根据所求的回归方程求出第31届中国代表团获得的金牌数之和的预报值为199.9枚，为什么要直接减去前五届中国代表团获得的金牌数之和的实际值，如果前五届某一届由于受外界干扰因素比较大，那么这一届的数据就直接影响着第31届的预测数据的科学性与准确性. 这样简单用31届中国代表团获得的金牌数之和的预报值直接减去前五届中国代表团获得的金牌数之和的实际值所得结果来预测2016年中国代表团获得的金牌数说服力就很低，他们给出第二种解法.
[?] 试题争议
有教师认为时间x（届）与金牌数之和y（枚）没有任何直接的相关联的两个量，用时间x（届）与金牌数之和y（枚）的关系进行预测第31届奥运会中国的金牌数所得结果令人质疑，对这种做法觉得不妥. 他们认为该题与“用某个人的祖父的身高、父亲的身高、他本人的身高、他儿子的身高预测这个人的孙子的身高”，“用气温与奶茶店销售量的关系对奶茶店某一天的销售量进行预测”等有着质的不同，认为命题者在选材时欠缺思考. 也有教师提出质疑，为什么要对近五届奥运会中国代表团获得的金牌数进行求和？完全可以直接根据近五届奥运会中国代表团获得的金牌数进行求平均数然后进行预测第31届奥运会中国的金牌数，没必要采用线性回归进行预测，如果只是为了讲线性回归而分析选择此题就有点牵强. 也有人认为，如果对这道题进行改进，由于近五届奥运会中国代表团获得的金牌数中的第29届北京奥运会在自己的国家举行有很多的有利因素而第31奥运会不在自己的祖国举办而是在巴西举行，故认为直接处理掉第29届北京奥运会中国代表团获得金牌数这个数据，这样既体现数据处理，所预测的结果也更有说服力.
[?] 问题反思
教师们所言不无道理，首先作为市性公开课在选题上尽量不要选择有争议的试题，避免偏离主题和出现不必要的麻烦，最好选择教材试题或高考原题.
对于第一个争议，两种解法哪一种解法的预测结果更加科学、合理，笔者认为第二种解法所预测的结果比较合理，即预测今年中国代表团获得的金牌数为38枚比较合理.认为第一种解法缺乏对线性回归方程[y] =x 中的斜率的估计值本质内涵的全面理解，如本题经计算得金牌数之和y关于时间x的线性回归方程为[y] =38.1x-981.2，其中斜率的估计值=38.1，也就是说解释变量x每增加一个单位预报变量[y] 增加38.1个单位，又由于y表示近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和，所以估计第31届中国代表团获得的金牌数之和将增加38.1枚，所增加的38.1即为今年中国代表团获得的金牌数的估计值，故预测今年中国代表团获得的金牌数为38.1≈38枚. 故认为第二种解法是正确的，所预测的结果也比较科学合理.
∈[0.75，1]就認为这两个变量具有很强的线性相关关系，此时就可以算它们的回归方程从而用所求回归方程进行预测. 从这个角度上说，这堂课上的这道例题是合理的. 但从实际上看时间x与金牌数之和y关联度的确不明显，即解释变量x没直接影响预报变量y，因此有很多人觉得此题不妥也是有一定道理的.
所以建议在命有关统计试题时在选材时首先要保证所研究的问题本身是一个统计问题，否则会影响学生对统计的认识. 我们要知道统计要考什么，主要考查统计思想，即局部（样本）推断整体（总体），具体地讲，就是通过搜集数据、整理数据、分析数据和预测（或决策）这个过程，来考查统计思想. 现在高考主要采取建立统计模型（回归分析模型和独立检验模型）解决实际问题，来体现考生对上述过程的认识，从而考查利用统计思想和统计模型解决实际问题的方法.另外，由于针对随机现象的考查，所以一般都会与概率结合，因为概率和统计都是以随机现象作为研究对象，而且都是研究随机现象规律的学科，只不过概率是对随机现象统计规律演绎的研究，而统计则是对随机现象统计规律归纳的研究，所以两者是具有联系的. 概率是统计的理论和方法的依据，统计则是概率的应用. 高考解答题则重点围绕统计进行考查，并通过随机现象联系概率，在概率基础上进一步考查应用，并重点对样本随机发生的频率进行考查.切记，只考查计算，而计算并非是统计的主要内容，只是获取数据或得到模型而采取的一种手段而已.
独立性检验是研究随机现象中分类变量之间的关系，如果具有相关性，就可以进一步进行回归分析. 独立性检验的过程是这样的：从实际问题出发，先通过条形图主要等高图直观的观察分类变量之间是否存在明显的差异，从而初步判断变量间的关系，在此基础上，对有明显差异的情况，再通过列联表计算K2的值，然后由K2分布得到所求概率，并根据所求概率进行变量关系的判断. 因此在命题选材时一定注意问题的背景以及可能产生的争议，尽量回避产生争议的试题素材，把大家的关注点放在试题所涉及的问题上，问题的分析与求解尽可能体现应用已学知识解决实际问题，提高学生的分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学核心素养.