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由于正态分布在自然现象、生产和生活实际中广泛存在，以及在概率和统计中的重要地位，高考中关于正态分布的考查逐渐成为热点，主要题型和考查方式如下：
一、对正态密度曲线的理解
例1 设随机变量[X]服从正态分布[N（μ，σ2）]，且[P（x≤c）=2P（x>c）=p]，则[p=] .
分析 由正态分布的定义知，[P（x≤c）]和[P（x>c）]是正态曲线和[x]轴所围成的平面图形被直线[x=c]分成的两部分的面积且两部分面积之和为1.
解 因为[P（x≤c）][=2P（x>c）=p]，
又[P（x≤c）+P（x>c）=1，]
∴[32p=1]，故[p=23].
点拨 从理解正态密度曲线的角度去分析给出的条件，抓住了问题的实质，这样可以少走弯路.
二、正态曲线的性质
例2 已知三个正态分布密度函数[φi（x）=12πσie-（x-μi）22σ2i]（[x∈R]，[i=1，2，3]）的图象如图所示，则（ ）
A.[μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2>σ3]
B.[μ1>μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3]
C.[μ1=μ2<μ3]，[σ1<σ2=σ3]
D.[μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3]
分析 根据正态分布密度函数中参数[μ，σ]对图象的影响，结合曲线的特征来分析参数的大小关系.
解 根据正态分布[N（μ，σ2）]图象的特点：曲线是单峰的，它关于直线[x=μ]对称，在[x=μ]处取得最大值.
当[μ]相同时曲线的形状由[σ]决定，[σ]越大，曲线越“矮胖”，[σ]越小，曲线越“瘦高”.
于是由图可知[μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3].
答案 D
点拨 正态分布的概念以及正态曲线的性质我们应该从[μ，σ]两方面来理解，尤其是曲线的对称性、最高点以及变化趋势，同时能熟练应用.
三、服从正态分布的概率计算
例3 设[X～N（1，22）]，试求：
（1）[P（-1 （2）[P（3 （3）[P（X≥5）].
分析 将所求概率转化到[（μ-σ，μ+σ]]，[（μ-2σ，μ+2σ]]或[[μ-3σ，μ+3σ]]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解.
解 ∵[X～N（1，22）]，∴[μ=1，σ=2].
（1）[P（-1 [=P（μ-σ （2）∵[P（3 ∴[P（3 =[12[P（1-4 =[12[P（μ-2σ =[12×（0.9544-0.6826）=0.1359].
（3）∵[P（X≥5）=P（X≤-3）]，
∴[P（X≥5）=12[1-P（-3 =[12[1-P（1-4 =[12[1-P（μ-2σ =[12×（1-0.9544）=0.0228].
点拨 求服从正态分布的随机变量在某个区间上取值的概率，只需借助正态曲线的性质，将所求问题转化到已知概率的三个区间上.
四、正态分布的应用
例4 某厂生产的圆柱形零件的外直径[ξ]服从正态分布[N（4，0.52）]，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机地检查1件，测得外直径为[5.7]cm，问该厂生产的这批零件是否合格？
分析 正态变量的取值几乎都在距离对称轴[x=μ]三倍标准差之内，因此零件的外直径在[（4-3×0.5，4+3×0.5）]之外的话就是不合格的.
解 ∵[ξ]服从正态分布[N（4，0.52）]，
∴正态分布[N（4，0.52）]在[（4-3×0.5，4+3×0.5）]之外取值的概率只有0.003，
而[5.7?（2.5，5.5）]，这说明在一次试验中出现了几乎不可能发生的小概率事件，
因此认为该批零件是不合格的.
点拨 本题是利用[3σ]原则进行假设检验，依据是正态总体[N（μ，σ2）]在区间[（μ-3σ，μ+3σ）]之外取值的概率很小，大约只有0.3%，所以认为不可能发生.这种假设检验思想在实际生活、生产中有着广泛的应用.
例5 2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布[N（8，σ2）]，已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车约有 辆.
分析 根据正态密度曲线的对称性求解.
解 由题意可知[ξ～N（8，σ2）]，正态分布曲线以[μ=8]为对称轴，
又因为[P（7≤ξ≤9）=0.7]，
故[P（7≤ξ≤9）=2P（8≤ξ≤9）=0.7]，
所以[P（8≤ξ≤9）=0.35]，而[P（ξ≥8）=0.5]，
所以[P（ξ>9）=0.15]，
故耗油量大于9升的汽车约有1200×0.15=180辆.
点拨 服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和[x]轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当[P（ξ>x1）=P（ξ
一、对正态密度曲线的理解
例1 设随机变量[X]服从正态分布[N（μ，σ2）]，且[P（x≤c）=2P（x>c）=p]，则[p=] .
分析 由正态分布的定义知，[P（x≤c）]和[P（x>c）]是正态曲线和[x]轴所围成的平面图形被直线[x=c]分成的两部分的面积且两部分面积之和为1.
解 因为[P（x≤c）][=2P（x>c）=p]，
又[P（x≤c）+P（x>c）=1，]
∴[32p=1]，故[p=23].
点拨 从理解正态密度曲线的角度去分析给出的条件，抓住了问题的实质，这样可以少走弯路.
二、正态曲线的性质
例2 已知三个正态分布密度函数[φi（x）=12πσie-（x-μi）22σ2i]（[x∈R]，[i=1，2，3]）的图象如图所示，则（ ）
A.[μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2>σ3]
B.[μ1>μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3]
C.[μ1=μ2<μ3]，[σ1<σ2=σ3]
D.[μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3]
分析 根据正态分布密度函数中参数[μ，σ]对图象的影响，结合曲线的特征来分析参数的大小关系.
解 根据正态分布[N（μ，σ2）]图象的特点：曲线是单峰的，它关于直线[x=μ]对称，在[x=μ]处取得最大值.
当[μ]相同时曲线的形状由[σ]决定，[σ]越大，曲线越“矮胖”，[σ]越小，曲线越“瘦高”.
于是由图可知[μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3].
答案 D
点拨 正态分布的概念以及正态曲线的性质我们应该从[μ，σ]两方面来理解，尤其是曲线的对称性、最高点以及变化趋势，同时能熟练应用.
三、服从正态分布的概率计算
例3 设[X～N（1，22）]，试求：
（1）[P（-1
分析 将所求概率转化到[（μ-σ，μ+σ]]，[（μ-2σ，μ+2σ]]或[[μ-3σ，μ+3σ]]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解.
解 ∵[X～N（1，22）]，∴[μ=1，σ=2].
（1）[P（-1
（3）∵[P（X≥5）=P（X≤-3）]，
∴[P（X≥5）=12[1-P（-3
点拨 求服从正态分布的随机变量在某个区间上取值的概率，只需借助正态曲线的性质，将所求问题转化到已知概率的三个区间上.
四、正态分布的应用
例4 某厂生产的圆柱形零件的外直径[ξ]服从正态分布[N（4，0.52）]，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机地检查1件，测得外直径为[5.7]cm，问该厂生产的这批零件是否合格？
分析 正态变量的取值几乎都在距离对称轴[x=μ]三倍标准差之内，因此零件的外直径在[（4-3×0.5，4+3×0.5）]之外的话就是不合格的.
解 ∵[ξ]服从正态分布[N（4，0.52）]，
∴正态分布[N（4，0.52）]在[（4-3×0.5，4+3×0.5）]之外取值的概率只有0.003，
而[5.7?（2.5，5.5）]，这说明在一次试验中出现了几乎不可能发生的小概率事件，
因此认为该批零件是不合格的.
点拨 本题是利用[3σ]原则进行假设检验，依据是正态总体[N（μ，σ2）]在区间[（μ-3σ，μ+3σ）]之外取值的概率很小，大约只有0.3%，所以认为不可能发生.这种假设检验思想在实际生活、生产中有着广泛的应用.
例5 2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布[N（8，σ2）]，已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车约有 辆.
分析 根据正态密度曲线的对称性求解.
解 由题意可知[ξ～N（8，σ2）]，正态分布曲线以[μ=8]为对称轴，
又因为[P（7≤ξ≤9）=0.7]，
故[P（7≤ξ≤9）=2P（8≤ξ≤9）=0.7]，
所以[P（8≤ξ≤9）=0.35]，而[P（ξ≥8）=0.5]，
所以[P（ξ>9）=0.15]，
故耗油量大于9升的汽车约有1200×0.15=180辆.
点拨 服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和[x]轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当[P（ξ>x1）=P（ξ