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摘 要：金融波动的学术研究已经取得了突破性的进展，并且成为金融计量学中相对独立、颇具特色和最为活跃的研究领域之一。首先介绍了变结构金融波动模型研究取得的新进展，Copula函数在金融波动分析中的应用，Copula函数在金融波动相关性分析和金融传染分析中取得的新进展，以及基于高频数据的金融波动研究近年来取得的新进展，最后对金融波动研究领域中未来值得研究的方向进行了展望。
关键词：金融波动；变结构；Copula函数；(超)高频数据
中图分类号：F830
文献标识码：A
文章编号：1009－9107(2007)05－0049－07
Theory on Financial Volatility：New Development and Prospects
HUO Guang-yao1，GUO Ming-yuan2
(1.Tianjin Institute of Urban Construction,Tianjin 300384；2.School of Management,Tianjin University,Tianjin 300072，China)
Abstract：Study on financial volatility has become an independent and active research field in econometrics.Firstly, this paper reviews the new developments in structural change volatility models.Secondly,it introduces the new developments of copula which is applied to study on financial volatility,mainly the application of copula in analysis of correlations of financial volatility and spillovers of financial volatility.Thirdly,it introduces the study on financial volatility based on high frequency data. In addition,this paper prospects the new research field in the study on financial volatility.
Key words：financial volatility;structural change;copula;high frequency data
金融风险是一个关键的金融变量，它的影响面广，而且具有突发性，造成的后果也比较严重。各种对金融风险和金融资产定价进行定量化研究的模型和理论都与金融波动有着不可分割的联系。因此正确认识金融波动，对它进行分析、建模和预测，就成为金融计量学日益重视的研究课题。关于金融波动的学术研究目前已经取得了突破性的进展，并且成为金融计量学中相对独立、颇具特色和最为活跃的研究领域之一。本文将从变结构金融波动模型研究、Copula函数在金融波动分析中的应用和基于高频数据的金融波动研究这三个方面来回顾近年来金融波动理论研究的新进展，并对未来值得研究的领域进行展望。
一、变结构金融波动模型研究的新进展
在低频金融数据领域，采用自回归条件异方差(ARCH)模型和随机波动(SV)模型对金融波动进行建模和预测已经取得巨大的成功。这两类模型的隐含假设是拟合期数据与预测期数据基于同一模型，金融市场在拟合期和预测期不存在波动结构的变化。然而金融市场总在不断的变化，特别是我国金融市场仍处于不断调整和转轨中，经济规律不断变化，金融市场的金融波动结构变化是实际存在的。因此，对金融波动采用变结构的波动模型建模十分必要，变结构金融波动模型的研究也就成为了波动模型研究中的热点。近年来，在这方面的研究也取得了新的进展。
(一)分阶段波动模型研究方面取得的进展
在变结构的波动模型研究中，取得的进展之一就是分阶段波动模型在金融波动分析中的应用。所谓的分阶段波动模型，就是按照一定的准则先将金融时间序列化分为不同的波动时段，然后分别对各个时段的时间序列建立波动模型，模型的参数或者模型形式本身在不同的波动状态下有不同的值。
研究学者在划分波动时段时，主要采用两大类方法：定性的方法和定量的方法。定性的方法是按事件划分波动时段，也就是主观地确定会对金融时间序列的波动状态产生影响的事件，然后以事件发生的时间为分水岭划分波动时段，分段建立波动模型。如：Chen,Kwok和Rui认为1994年中国实行通货紧缩政策和颁布《公司法》对投资者行为产生了深刻影响，因而以1994年作为划分波动时段的分水岭；定量的方法划分波动时段不是凭主观确定金融时间序列的变结构点，而是采用诸如变结构点贝叶斯诊断方法等客观的方法来找出收益序列中使波动结构产生变化的点。[1]在研究亚洲金融危机之后汇率波动中的变结构问题时就是采用贝叶斯诊断方法来确定汇率波动的变结构点，然后分段建立波动模型。[2]
(二)具有马尔可夫结构转换机制的波动模型方面的进展
在变结构的波动模型研究中，近年来取得的最重要的突破性进展就是具有马尔可夫结构转换机制的波动模型在金融波动分析中的应用。所谓具有马尔可夫结构转换机制的波动模型，就是在波动模型中引入了一个波动状态变量，并且波动状态之间的转移服从一个不可观测的离散时间、离散状态的Markov过程。
在这方面做出了开创性研究的是Hamiton和Susmel，他们在1994年将马尔可夫结构转换机制与ARCH模型结合起来，建立了具有马尔可夫结构转换机制的ARCH模型(markov regime switching ARCH model，MRS-ARCH模型)。[3]Hamiton,Susmel利用纽约股市数据进行实证，结果表明MRS-ARCH模型可以有效辨识出股市波动状态的周期特征。当然，MRS-ARCH模型也有它的缺陷，如：MRS-ARCH(q)模型的参数太多，而且在实际应用中为了得到较好的拟合效果，常需要很大的阶数，这不仅增大了待估参数的个数，还会引发诸如解释变量多重共线等其他问题。
此后，Hamilton,Susmel和Cai等学者将一阶马尔可夫结构转换机制同GARCH模型结合起来，建立了具有马尔可夫结构转换机制的GARCH模型(markov regime switching GARCH model，MRS-GARCH模型)。MRS-GARCH模型相对于MRS-ARCH(q)模型在拟合效果和参数估计方面有了很大改进。[4，5]因此，MRS-GARCH模型在金融波动分析中取得了更加广泛的应用。
另外，So,Lam,Li和Smith把马尔可夫结构转换机制引入到SV模型中，得到具有马尔可夫结构转换机制的随机波动模型(MRS-SV模型)。[6，7]Kalimipalli,Susmel提出了与So,Lam,Li不同的马尔可夫结构转换随机波动模型来刻画短期利率的水平和波动。他认为采用不考虑结构变化的随机波动模型来刻画短期利率的条件方差，会使其波动存在高持续性。[8]采用马尔可夫结构转换随机波动模型能更有效地刻画短期利率的水平和波动。
二、Copula函数在金融波动分析中的应用
Copula理论在实际应用中有许多优点：(1)由于不限制边缘分布的选择，可运用Copula理论构造灵活的多元分布。(2)运用Copula理论建立金融模型时，可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究，其中它们的相关结构可由一个Copula函数来描述，这使建模问题大大简化，同时也有助于对很多金融问题的分析和理解。它的提出要追述到1959年，Sklar指出可以将一个联合分布分解为它的k个边缘分布和一个copula函数，其中copula函数描述变量间的相关结构。随着计算机技术、信息技术的迅猛发展和边缘分布建模问题的不断发展并日趋完善，Copula理论在90年代后期得以迅速发展并运用到金融领域。Copula理论已经在金融领域有着广泛的应用，这种方法的特点在于它不仅可以有效地描述随机变量之间的相关程度，并且能够反映它们之间的相关模式，对于它们的联合分布函数有一个描述。
(一)基于Copula的多变量金融时间序列的相关性分析与建模研究
对金融时间序列的相关性分析与建模研究一直是金融学中一个长期研究的问题。向量GARCH模型、向量SV模型可用于金融市场间的相关性分析，但它在理论上还存在许多有待解决的问题，特别是参数估计问题；另外极值理论也可以用于相关性分析，但它只集中讨论分布的尾部，因此它们在应用上都存在一定的局限性。此外以往的研究通常都集中在对相关程度的分析上，而忽略了对金融市场间的相关结构或模式的研究。事实上，具有相同相关程度的两对随机变量，可能会有不同的相关模式，因此仅用相关程度或相关模式来描述随机变量间的相关关系都是不全面的。作为一种近年来新兴的统计方法，Copula理论被广泛的应用于非参数统计领域，特别是用来研究随机变量间的相关关系。[9]
应用Copula理论，可以将相关程度和相关模式的研究有机地结合在一起。作为连接随机变量边缘分布的函数，Copula函数不仅可以反映随机变量间的相关程度，而且可以较好的描述随机变量间的相关模式，因此可以用不同的Copula函数来描述不同的相关模式。Copula理论很容易推广到条件Copula的情形，因此可与具有条件异方差特性的金融波动模型相结合，构建多变量金融时间序列模型。在国外，很多学者都通过结合Copula理论和GARCH模型的方法来研究多变量金融问题并取得了很大的进展。
Rockinger和Jondeau提出可以运用copula理论来建立多变量时间序列模型以替代向量GARCH模型，用以描述随机变量间的时变的条件相关关系。[10]运用copula理论建立模型的关键是确定边缘分布和定义一个能很好的描述边缘分布的相关结构的copula函数。Patton构造了马克－美元和日元－美元汇率的对数收益的二元Copula模型，并与相应的BEKK模型做了比较，结果表明Copula模型可以更好地描述金融市场间的相关关系[11]；Hu在Frank，Gumbel 和Clayton Copula 函数的基础上，引入一种新的Copula函数——M-Copula即混合Copula函数[12]，它是以上三种Copula函数的线性组合，其中的相关参数可以度量变量间的相关程度，而线性组合的系数，即权重参数则反映了变量间的相关模式，这样就可以用一个Copula函数来描述具有各种相关模式的多个金融市场间的相关关系了。国内的一些学者如朱国庆，张尧庭、史道济和关静、杜本峰和郭兴义、韦艳华和张世英等也简要介绍了Copula技术及其在相关性和金融风险分析上的一些应用。[13-20]
(二)Copula模型在金融传染分析上的应用
一般认为，若两个资本市场在金融危机时期和非危机时期的相关性显著不同，即危机的发生破坏了市场间的相关关系，并使市场间的相关性显著增强，则可以认为这两个资本市场存在危机传染。[17-18]体现在股市上即为若一国股市发生大的波动，则跨国市场间的联系显著增强。
事实上在一般情况下，金融市场间的相关关系都会随金融市场的波动而变化，不同的波动水平下，金融市场间的相关关系一般也不相同。而与低波动水平相比，在高波动水平下金融市场间趋向于具有更强的相关关系。因此可以通过研究金融波动对金融市场间相关关系的影响来研究金融市场的传染。运用Copula模型，容易捕捉到金融市场间非线性、非对称相关关系的变化，而通过Markov过程则可以捕捉到波动水平的变化，为此Rodriguez提出可以用具有Markov结构转换的Copula模型来研究金融危机的传染。[21]运用具有Markov结构转换的Copula模型，容易捕捉到不同波动水平下金融市场间非线性、非对称相关关系的变化，进而分析出金融市场间是否存在传染，或者当被认为是传染源的金融市场发生金融危机或出现大的波动时，是否会使它与其他金融市场的相关关系增强或者说会将危机传染到其他金融市场。
三、基于(超)高频数据的金融波动理论研究
近年计算工具和计算方法的发展，极大地降低了数据记录和存储的成本，使得对大规模数据库的分析成为可能。所以，许多科学领域的数据都开始以越来越精细的时间刻度来收集，这也使得对更高频率的金融数据进行研究成为可能。在金融市场中，高频率采集的数据可以分为两类：高频数据和超高频数据。高频数据是指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。而超高频数据则是指交易过程中实时采集的数据。
从金融高频数据和超高频数据产生至今，对金融高频数据和超高频数据的分析一直是金融研究领域一个备受关注的焦点。尽管对金融高频数据和超高频数据的分析研究的历史并不长，但是目前的发展状况却着实令人鼓舞。众多研究者对此都表现出了极大的兴趣，分别从不同的角度对金融高频数据和超高频数据进行了探索和研究。在此分别以对金融高频数据的研究和对金融超高频数据的研究这两个分支为脉络，有所侧重地阐述一些具有代表性的研究内容。
(一)基于高频数据的金融波动研究
1.金融波动统计特征的研究。在讨论金融高频数据如何应用时，对数据本身的统计特征也不能忽视。因为统计特征不仅是认识数据的基本依据，也是正确使用数据的首要前提。Andersen和Bollerslev采用高频数据对美国股票市场和外汇市场的日内波动性和长记忆性进行了研究，证明了在这些市场中存在着波动的长记忆性。[22]Andersen和Bollerslev利用高频数据对日本股票市场进行了研究，通过滤波的方法证明了波动长记忆性的存在。[23]
2.金融波动的“日历效应”研究。“日历效应”是指波动在日内、周内、月内表现出稳定的和周期性的运动模式。日内模式主要是指日内“U”型走势，简单的说，就是两头高、中间低的模式；周内模式是由周末闭市所引起的。大部分的金融市场都是在周五下午闭市、周一早上开市，这就会引起周一早上和周五下午具有不同于其它时间的规律特性。
“日历效应”是对金融高频数据的研究中最重要的发现。McInish和Wood利用分钟数据发现日内波动具有“U”型模式[24]； Brock和Kleidon给出了日内“U”型模式的理论解释[25]，Hedvall对它们进行了比较[26]；Andersen和Bollerslev系统的分析了“日历效应”，并解释了它产生的原因，通过德国马克对美元的汇率数据拟合了“日历效应”。[27]Andersen，Bollerslev，Cai利用弹性傅立叶形式回归对日本股票市场进行了分析，发现由于日本市场有不同于美国市场的午间休市的交易制度，日本股票市场波动呈现日内双“U”型模式。[28]
3.基于金融高频数据的“已实现”波动的研究。对利用高频数据计算波动率作出贡献最大要数Andersen与Bollerslev两人近年来的工作。特别引人注目的，Andersen和Bollerslev提出了一种叫已实现波动的测量方法。已实现波动是把一段时间内收益率的平方和作为波动率的估计，这种估计方法不同于ARCH类模型和SV类模型，它没有模型，不需要进行复杂地参数估计。在一定的条件下，“已实现”波动是没有测量误差的无偏估计量。
在这一领域中，还有Areal与Taylor研究了FTSE-100指数期货价格的已实现波动；Blair和Poon等研究了已实现波动的预测问题[30]；Barndorff-Nielsen和Shephard研究了已实现波动的渐近分布特性。[31]Oomen考虑高频数据收益率序列相关的情形下已实现波动的特性和建模问题。[32，33]
在已实现波动的应用方面，有如下一些研究：积分波动在Hull-White随机波动率期权定价的研究中有直接的应用，Andersen和Bollerslev等在特征函数SV模型(eigenfunction SV)框架下，推导了用已实现波动对积分波动的预测的解析式，并进行了实证分析[35]；Andersen和Bollerslev等对已实现波动进行了预测研究，并应用于在险价值(VaR)的计算。[36]
根据Andersen和Bollerslev等对西方发达国家金融市场的高频金融时间序列的研究表明：“已实现”波动取对数后的无条件分布是正态分布，具有显著的分数维单整的性质。对于对数“已实现”波动所具有的分数维单整特性，通常采用分整自回归移动平均模型ARFIMA(p,d,q)(autoregressive fractionally integrated moving average model, 简称ARFIMA模型)来很好地刻画。
(二)基于(超)高频数据的波动模型研究
随着金融高频数据的不断增加，如何使用模型来恰当地描述这些数据就成为一个重要问题。然而，在低频数据建模中颇受欢迎的ARCH类模型和SV类模型并不能直接用于高频数据。关于高频数据的计量模型，目前还没有一个被大家普遍认可的模型框架，可以见到的文献也不多，但是理论界还是存在一些比较活跃的高频数据模型。这些模型基本是在ARCH类模型的基础上扩展出来的，主要包括：
1.弱GARCH模型。弱GARCH模型是由Drost和Nijman在1993年第一次提出。弱GARCH模型可以用于不同频率的数据，并且不管它是流量变量，还是存量变量，估计出的弱GARCH模型的参数之间都满足一定的解析关系，即通常所说的在时间聚合下是封闭的。弱GARCH模型建立了低频时间序列和高频时间序列之间的解析关系，其关于参数的封闭性的结论的一个重要应用是作为评价模型是否适合的一个标准。
2.HARCH模型。HARCH模型是由Müller和Dacorogna等提出的，主要是针对高频数据的两个基本特征：波动的长记忆性和波动的非对称性。[38]
为了刻画波动的记忆性, Müller和Dacorogna等(1997)在HARCH模型的基础上进一步发展了EMA-HARCH模型(exponential moving average HARCH模型)，并进行了实证分析。
3.ACD-GARCH模型。为了刻画超高频金融数据的波动性，Ghysels和Jasiak运用了GARCH过程的时间聚合思想，在ACD模型的框架下，引入了GARCH效应，提出了ACD-GARCH模型。[39]Ghysels和Jasiak(1998)采用超高频数据进行了实证研究，发现在交易间隔时间序列与收益波动时间序列之间存在因果关系，尤其是日内交易间隔会对收益波动中的意外事件有所反应。
4.UHF-GARCH模型。传统的ARCH类模型和SV类模型实际上是针对相等时间间隔的波动进行建模的。与此相类似，对于超高频金融数据，可以考虑对单位时间间隔上的波动建模。Engle指出只需用交易间隔去调整超高频收益率，就可以在传统的GARCH模型的框架下对超高频数据建模，并且提出了UHF-GARCH模型(ultra-high-frequency GARCH model)。[40]
四、未来研究方向展望
(一)Copula-SV模型的深入研究及其应用
与Copula-GARCH模型不同，Copula-SV模型中有两个Copula函数，其中一个Copula函数用来描述变量间的相关结构，另一个Copula函数用来描述隐含波动序列之间的相关结构，运用Copula-SV模型来研究金融波动之间的相关关系具有优越性，因为可以通过直接研究隐含波动之间的相关结构来研究波动序列间的相关结构。但在实际应用中Copula-SV模型还有许多需要解决的问题，如实证发现，一元SV模型本身较难通过边缘分布的假设检验，这可能与SV模型中随机波动仿真方法的选取有关；另外，由于包含两个Copula函数，Copula-SV模型的估计比较困难，因此Copula-SV模型的估计问题值得研究。
(二)多变量和动态Copula模型更深入的研究
在现实生活中，更实用的是三个变量以上的多变量Copula模型和动态Copula模型。现有的可以实际应用的多变量Copula函数有：正态Copula函数、t-Copula函数和阿基米德Copula函数。由此可见，我们选择的余地仍然比较有限，因此新的多元Copula函数的构造方法、原有估计和检验方法的发展和完善等问题都等待解决。另外，从总体上说，目前对动态Copula模型的研究还不多，其中还有很多问题需要完善或进一步的深入研究，如多变量Copula模型变结构点的检验及诊断、多变量动态Copula模型的构建及参数估计、检验等等。
(三)Copula的其它值得研究的领域
其他值得研究的问题还有：将长记忆波动模型与Copula理论相结合，研究分形市场假设下金融市场间的相关关系和其它金融问题；将Copula理论引入高频数据研究领域以便研究金融市场微观结构的相关性； 最后还可以研究Copula模型的一些具体应用问题，如多变量期权定价和保险定价问题。
(四)基于高频数据的波动估计量的建模研究
对于基于高频数据的波动估计量(如已实现波动和赋权已实现波动)的建模的深入研究。目前对于基于高频数据的波动估计量的建模主要采用ARFIMA模型。那么是否还存在更优的模型则是今后值得研究的方向。
(五)高频金融时间序列的高阶矩的研究
对高频金融时间序列的高阶矩的研究。目前对于金融高频时间序列的研究主要还停留在一阶矩和二阶矩的研究上，还未有文献利用高频数据对时间序列的高阶矩进行研究。
(六)基于超高频数据的变结构波动模型研究
目前，基于超高频数据的波动模型主要有ACD-GARCH模型和UHF-GARCH模型。这两个模型同样是假设拟合期数据与预测期数据基于同一模型，金融市场在拟合期和预测期不存在波动结构的变化。这显然不符合金融市场的实际情况，特别是处于不断调整和转轨中的新兴股票市场的实际情况。对基于超高频数据的金融波动采用变结构的波动模型建模是十分必要的。因此，未来的研究中可以考虑对变结构的ACD-GARCH模型和UHF-GARCH模型加以研究。
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金融风险是一个关键的金融变量，它的影响面广，而且具有突发性，造成的后果也比较严重。各种对金融风险和金融资产定价进行定量化研究的模型和理论都与金融波动有着不可分割的联系。因此正确认识金融波动，对它进行分析、建模和预测，就成为金融计量学日益重视的研究课题。关于金融波动的学术研究目前已经取得了突破性的进展，并且成为金融计量学中相对独立、颇具特色和最为活跃的研究领域之一。本文将从变结构金融波动模型研究、Copula函数在金融波动分析中的应用和基于高频数据的金融波动研究这三个方面来回顾近年来金融波动理论研究的新进展，并对未来值得研究的领域进行展望。
一、变结构金融波动模型研究的新进展
在低频金融数据领域，采用自回归条件异方差(ARCH)模型和随机波动(SV)模型对金融波动进行建模和预测已经取得巨大的成功。这两类模型的隐含假设是拟合期数据与预测期数据基于同一模型，金融市场在拟合期和预测期不存在波动结构的变化。然而金融市场总在不断的变化，特别是我国金融市场仍处于不断调整和转轨中，经济规律不断变化，金融市场的金融波动结构变化是实际存在的。因此，对金融波动采用变结构的波动模型建模十分必要，变结构金融波动模型的研究也就成为了波动模型研究中的热点。近年来，在这方面的研究也取得了新的进展。
(一)分阶段波动模型研究方面取得的进展
在变结构的波动模型研究中，取得的进展之一就是分阶段波动模型在金融波动分析中的应用。所谓的分阶段波动模型，就是按照一定的准则先将金融时间序列化分为不同的波动时段，然后分别对各个时段的时间序列建立波动模型，模型的参数或者模型形式本身在不同的波动状态下有不同的值。
研究学者在划分波动时段时，主要采用两大类方法：定性的方法和定量的方法。定性的方法是按事件划分波动时段，也就是主观地确定会对金融时间序列的波动状态产生影响的事件，然后以事件发生的时间为分水岭划分波动时段，分段建立波动模型。如：Chen,Kwok和Rui认为1994年中国实行通货紧缩政策和颁布《公司法》对投资者行为产生了深刻影响，因而以1994年作为划分波动时段的分水岭；定量的方法划分波动时段不是凭主观确定金融时间序列的变结构点，而是采用诸如变结构点贝叶斯诊断方法等客观的方法来找出收益序列中使波动结构产生变化的点。[1]在研究亚洲金融危机之后汇率波动中的变结构问题时就是采用贝叶斯诊断方法来确定汇率波动的变结构点，然后分段建立波动模型。[2]
(二)具有马尔可夫结构转换机制的波动模型方面的进展
在变结构的波动模型研究中，近年来取得的最重要的突破性进展就是具有马尔可夫结构转换机制的波动模型在金融波动分析中的应用。所谓具有马尔可夫结构转换机制的波动模型，就是在波动模型中引入了一个波动状态变量，并且波动状态之间的转移服从一个不可观测的离散时间、离散状态的Markov过程。
在这方面做出了开创性研究的是Hamiton和Susmel，他们在1994年将马尔可夫结构转换机制与ARCH模型结合起来，建立了具有马尔可夫结构转换机制的ARCH模型(markov regime switching ARCH model，MRS-ARCH模型)。[3]Hamiton,Susmel利用纽约股市数据进行实证，结果表明MRS-ARCH模型可以有效辨识出股市波动状态的周期特征。当然，MRS-ARCH模型也有它的缺陷，如：MRS-ARCH(q)模型的参数太多，而且在实际应用中为了得到较好的拟合效果，常需要很大的阶数，这不仅增大了待估参数的个数，还会引发诸如解释变量多重共线等其他问题。
此后，Hamilton,Susmel和Cai等学者将一阶马尔可夫结构转换机制同GARCH模型结合起来，建立了具有马尔可夫结构转换机制的GARCH模型(markov regime switching GARCH model，MRS-GARCH模型)。MRS-GARCH模型相对于MRS-ARCH(q)模型在拟合效果和参数估计方面有了很大改进。[4，5]因此，MRS-GARCH模型在金融波动分析中取得了更加广泛的应用。
另外，So,Lam,Li和Smith把马尔可夫结构转换机制引入到SV模型中，得到具有马尔可夫结构转换机制的随机波动模型(MRS-SV模型)。[6，7]Kalimipalli,Susmel提出了与So,Lam,Li不同的马尔可夫结构转换随机波动模型来刻画短期利率的水平和波动。他认为采用不考虑结构变化的随机波动模型来刻画短期利率的条件方差，会使其波动存在高持续性。[8]采用马尔可夫结构转换随机波动模型能更有效地刻画短期利率的水平和波动。
二、Copula函数在金融波动分析中的应用
Copula理论在实际应用中有许多优点：(1)由于不限制边缘分布的选择，可运用Copula理论构造灵活的多元分布。(2)运用Copula理论建立金融模型时，可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究，其中它们的相关结构可由一个Copula函数来描述，这使建模问题大大简化，同时也有助于对很多金融问题的分析和理解。它的提出要追述到1959年，Sklar指出可以将一个联合分布分解为它的k个边缘分布和一个copula函数，其中copula函数描述变量间的相关结构。随着计算机技术、信息技术的迅猛发展和边缘分布建模问题的不断发展并日趋完善，Copula理论在90年代后期得以迅速发展并运用到金融领域。Copula理论已经在金融领域有着广泛的应用，这种方法的特点在于它不仅可以有效地描述随机变量之间的相关程度，并且能够反映它们之间的相关模式，对于它们的联合分布函数有一个描述。
(一)基于Copula的多变量金融时间序列的相关性分析与建模研究
对金融时间序列的相关性分析与建模研究一直是金融学中一个长期研究的问题。向量GARCH模型、向量SV模型可用于金融市场间的相关性分析，但它在理论上还存在许多有待解决的问题，特别是参数估计问题；另外极值理论也可以用于相关性分析，但它只集中讨论分布的尾部，因此它们在应用上都存在一定的局限性。此外以往的研究通常都集中在对相关程度的分析上，而忽略了对金融市场间的相关结构或模式的研究。事实上，具有相同相关程度的两对随机变量，可能会有不同的相关模式，因此仅用相关程度或相关模式来描述随机变量间的相关关系都是不全面的。作为一种近年来新兴的统计方法，Copula理论被广泛的应用于非参数统计领域，特别是用来研究随机变量间的相关关系。[9]
应用Copula理论，可以将相关程度和相关模式的研究有机地结合在一起。作为连接随机变量边缘分布的函数，Copula函数不仅可以反映随机变量间的相关程度，而且可以较好的描述随机变量间的相关模式，因此可以用不同的Copula函数来描述不同的相关模式。Copula理论很容易推广到条件Copula的情形，因此可与具有条件异方差特性的金融波动模型相结合，构建多变量金融时间序列模型。在国外，很多学者都通过结合Copula理论和GARCH模型的方法来研究多变量金融问题并取得了很大的进展。
Rockinger和Jondeau提出可以运用copula理论来建立多变量时间序列模型以替代向量GARCH模型，用以描述随机变量间的时变的条件相关关系。[10]运用copula理论建立模型的关键是确定边缘分布和定义一个能很好的描述边缘分布的相关结构的copula函数。Patton构造了马克－美元和日元－美元汇率的对数收益的二元Copula模型，并与相应的BEKK模型做了比较，结果表明Copula模型可以更好地描述金融市场间的相关关系[11]；Hu在Frank，Gumbel 和Clayton Copula 函数的基础上，引入一种新的Copula函数——M-Copula即混合Copula函数[12]，它是以上三种Copula函数的线性组合，其中的相关参数可以度量变量间的相关程度，而线性组合的系数，即权重参数则反映了变量间的相关模式，这样就可以用一个Copula函数来描述具有各种相关模式的多个金融市场间的相关关系了。国内的一些学者如朱国庆，张尧庭、史道济和关静、杜本峰和郭兴义、韦艳华和张世英等也简要介绍了Copula技术及其在相关性和金融风险分析上的一些应用。[13-20]
(二)Copula模型在金融传染分析上的应用
一般认为，若两个资本市场在金融危机时期和非危机时期的相关性显著不同，即危机的发生破坏了市场间的相关关系，并使市场间的相关性显著增强，则可以认为这两个资本市场存在危机传染。[17-18]体现在股市上即为若一国股市发生大的波动，则跨国市场间的联系显著增强。
事实上在一般情况下，金融市场间的相关关系都会随金融市场的波动而变化，不同的波动水平下，金融市场间的相关关系一般也不相同。而与低波动水平相比，在高波动水平下金融市场间趋向于具有更强的相关关系。因此可以通过研究金融波动对金融市场间相关关系的影响来研究金融市场的传染。运用Copula模型，容易捕捉到金融市场间非线性、非对称相关关系的变化，而通过Markov过程则可以捕捉到波动水平的变化，为此Rodriguez提出可以用具有Markov结构转换的Copula模型来研究金融危机的传染。[21]运用具有Markov结构转换的Copula模型，容易捕捉到不同波动水平下金融市场间非线性、非对称相关关系的变化，进而分析出金融市场间是否存在传染，或者当被认为是传染源的金融市场发生金融危机或出现大的波动时，是否会使它与其他金融市场的相关关系增强或者说会将危机传染到其他金融市场。
三、基于(超)高频数据的金融波动理论研究
近年计算工具和计算方法的发展，极大地降低了数据记录和存储的成本，使得对大规模数据库的分析成为可能。所以，许多科学领域的数据都开始以越来越精细的时间刻度来收集，这也使得对更高频率的金融数据进行研究成为可能。在金融市场中，高频率采集的数据可以分为两类：高频数据和超高频数据。高频数据是指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。而超高频数据则是指交易过程中实时采集的数据。
从金融高频数据和超高频数据产生至今，对金融高频数据和超高频数据的分析一直是金融研究领域一个备受关注的焦点。尽管对金融高频数据和超高频数据的分析研究的历史并不长，但是目前的发展状况却着实令人鼓舞。众多研究者对此都表现出了极大的兴趣，分别从不同的角度对金融高频数据和超高频数据进行了探索和研究。在此分别以对金融高频数据的研究和对金融超高频数据的研究这两个分支为脉络，有所侧重地阐述一些具有代表性的研究内容。
(一)基于高频数据的金融波动研究
1.金融波动统计特征的研究。在讨论金融高频数据如何应用时，对数据本身的统计特征也不能忽视。因为统计特征不仅是认识数据的基本依据，也是正确使用数据的首要前提。Andersen和Bollerslev采用高频数据对美国股票市场和外汇市场的日内波动性和长记忆性进行了研究，证明了在这些市场中存在着波动的长记忆性。[22]Andersen和Bollerslev利用高频数据对日本股票市场进行了研究，通过滤波的方法证明了波动长记忆性的存在。[23]
2.金融波动的“日历效应”研究。“日历效应”是指波动在日内、周内、月内表现出稳定的和周期性的运动模式。日内模式主要是指日内“U”型走势，简单的说，就是两头高、中间低的模式；周内模式是由周末闭市所引起的。大部分的金融市场都是在周五下午闭市、周一早上开市，这就会引起周一早上和周五下午具有不同于其它时间的规律特性。
“日历效应”是对金融高频数据的研究中最重要的发现。McInish和Wood利用分钟数据发现日内波动具有“U”型模式[24]； Brock和Kleidon给出了日内“U”型模式的理论解释[25]，Hedvall对它们进行了比较[26]；Andersen和Bollerslev系统的分析了“日历效应”，并解释了它产生的原因，通过德国马克对美元的汇率数据拟合了“日历效应”。[27]Andersen，Bollerslev，Cai利用弹性傅立叶形式回归对日本股票市场进行了分析，发现由于日本市场有不同于美国市场的午间休市的交易制度，日本股票市场波动呈现日内双“U”型模式。[28]
3.基于金融高频数据的“已实现”波动的研究。对利用高频数据计算波动率作出贡献最大要数Andersen与Bollerslev两人近年来的工作。特别引人注目的，Andersen和Bollerslev提出了一种叫已实现波动的测量方法。已实现波动是把一段时间内收益率的平方和作为波动率的估计，这种估计方法不同于ARCH类模型和SV类模型，它没有模型，不需要进行复杂地参数估计。在一定的条件下，“已实现”波动是没有测量误差的无偏估计量。
在这一领域中，还有Areal与Taylor研究了FTSE-100指数期货价格的已实现波动；Blair和Poon等研究了已实现波动的预测问题[30]；Barndorff-Nielsen和Shephard研究了已实现波动的渐近分布特性。[31]Oomen考虑高频数据收益率序列相关的情形下已实现波动的特性和建模问题。[32，33]
在已实现波动的应用方面，有如下一些研究：积分波动在Hull-White随机波动率期权定价的研究中有直接的应用，Andersen和Bollerslev等在特征函数SV模型(eigenfunction SV)框架下，推导了用已实现波动对积分波动的预测的解析式，并进行了实证分析[35]；Andersen和Bollerslev等对已实现波动进行了预测研究，并应用于在险价值(VaR)的计算。[36]
根据Andersen和Bollerslev等对西方发达国家金融市场的高频金融时间序列的研究表明：“已实现”波动取对数后的无条件分布是正态分布，具有显著的分数维单整的性质。对于对数“已实现”波动所具有的分数维单整特性，通常采用分整自回归移动平均模型ARFIMA(p,d,q)(autoregressive fractionally integrated moving average model, 简称ARFIMA模型)来很好地刻画。
(二)基于(超)高频数据的波动模型研究
随着金融高频数据的不断增加，如何使用模型来恰当地描述这些数据就成为一个重要问题。然而，在低频数据建模中颇受欢迎的ARCH类模型和SV类模型并不能直接用于高频数据。关于高频数据的计量模型，目前还没有一个被大家普遍认可的模型框架，可以见到的文献也不多，但是理论界还是存在一些比较活跃的高频数据模型。这些模型基本是在ARCH类模型的基础上扩展出来的，主要包括：
1.弱GARCH模型。弱GARCH模型是由Drost和Nijman在1993年第一次提出。弱GARCH模型可以用于不同频率的数据，并且不管它是流量变量，还是存量变量，估计出的弱GARCH模型的参数之间都满足一定的解析关系，即通常所说的在时间聚合下是封闭的。弱GARCH模型建立了低频时间序列和高频时间序列之间的解析关系，其关于参数的封闭性的结论的一个重要应用是作为评价模型是否适合的一个标准。
2.HARCH模型。HARCH模型是由Müller和Dacorogna等提出的，主要是针对高频数据的两个基本特征：波动的长记忆性和波动的非对称性。[38]
为了刻画波动的记忆性, Müller和Dacorogna等(1997)在HARCH模型的基础上进一步发展了EMA-HARCH模型(exponential moving average HARCH模型)，并进行了实证分析。
3.ACD-GARCH模型。为了刻画超高频金融数据的波动性，Ghysels和Jasiak运用了GARCH过程的时间聚合思想，在ACD模型的框架下，引入了GARCH效应，提出了ACD-GARCH模型。[39]Ghysels和Jasiak(1998)采用超高频数据进行了实证研究，发现在交易间隔时间序列与收益波动时间序列之间存在因果关系，尤其是日内交易间隔会对收益波动中的意外事件有所反应。
4.UHF-GARCH模型。传统的ARCH类模型和SV类模型实际上是针对相等时间间隔的波动进行建模的。与此相类似，对于超高频金融数据，可以考虑对单位时间间隔上的波动建模。Engle指出只需用交易间隔去调整超高频收益率，就可以在传统的GARCH模型的框架下对超高频数据建模，并且提出了UHF-GARCH模型(ultra-high-frequency GARCH model)。[40]
四、未来研究方向展望
(一)Copula-SV模型的深入研究及其应用
与Copula-GARCH模型不同，Copula-SV模型中有两个Copula函数，其中一个Copula函数用来描述变量间的相关结构，另一个Copula函数用来描述隐含波动序列之间的相关结构，运用Copula-SV模型来研究金融波动之间的相关关系具有优越性，因为可以通过直接研究隐含波动之间的相关结构来研究波动序列间的相关结构。但在实际应用中Copula-SV模型还有许多需要解决的问题，如实证发现，一元SV模型本身较难通过边缘分布的假设检验，这可能与SV模型中随机波动仿真方法的选取有关；另外，由于包含两个Copula函数，Copula-SV模型的估计比较困难，因此Copula-SV模型的估计问题值得研究。
(二)多变量和动态Copula模型更深入的研究
在现实生活中，更实用的是三个变量以上的多变量Copula模型和动态Copula模型。现有的可以实际应用的多变量Copula函数有：正态Copula函数、t-Copula函数和阿基米德Copula函数。由此可见，我们选择的余地仍然比较有限，因此新的多元Copula函数的构造方法、原有估计和检验方法的发展和完善等问题都等待解决。另外，从总体上说，目前对动态Copula模型的研究还不多，其中还有很多问题需要完善或进一步的深入研究，如多变量Copula模型变结构点的检验及诊断、多变量动态Copula模型的构建及参数估计、检验等等。
(三)Copula的其它值得研究的领域
其他值得研究的问题还有：将长记忆波动模型与Copula理论相结合，研究分形市场假设下金融市场间的相关关系和其它金融问题；将Copula理论引入高频数据研究领域以便研究金融市场微观结构的相关性； 最后还可以研究Copula模型的一些具体应用问题，如多变量期权定价和保险定价问题。
(四)基于高频数据的波动估计量的建模研究
对于基于高频数据的波动估计量(如已实现波动和赋权已实现波动)的建模的深入研究。目前对于基于高频数据的波动估计量的建模主要采用ARFIMA模型。那么是否还存在更优的模型则是今后值得研究的方向。
(五)高频金融时间序列的高阶矩的研究
对高频金融时间序列的高阶矩的研究。目前对于金融高频时间序列的研究主要还停留在一阶矩和二阶矩的研究上，还未有文献利用高频数据对时间序列的高阶矩进行研究。
(六)基于超高频数据的变结构波动模型研究
目前，基于超高频数据的波动模型主要有ACD-GARCH模型和UHF-GARCH模型。这两个模型同样是假设拟合期数据与预测期数据基于同一模型，金融市场在拟合期和预测期不存在波动结构的变化。这显然不符合金融市场的实际情况，特别是处于不断调整和转轨中的新兴股票市场的实际情况。对基于超高频数据的金融波动采用变结构的波动模型建模是十分必要的。因此，未来的研究中可以考虑对变结构的ACD-GARCH模型和UHF-GARCH模型加以研究。
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