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摘 要:例题教学中,例题的选取与使用是关键,要使用好课本例题,深层理解与体会例题的功能与作用,使之真正成为“例题”,要对例题涉及的内涵与外延进行分析,提高学生的善思能力,通过变式教学提高学生应变能力与探究能力。
关键词:例题教学善思能力应变能力探究意识
中图分类号:G633.3 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)06(a)-0024-02
数学中例题教学与概念、公式、定理教学一样,是数学教学的重要组成部分。众所周知,学数学离不开解题,而数学中例题、习题都是以前面学过的知识为背景,或组成重要公式原理,或抽象于客观世界的现实模型,其目的都在于巩固基础知识,强化基本技能,深化数学理论认识,训练思维方法,培养数学思维能力,增强灵活创造能力,提高实践应用能力,例题的教学是数学教学中的重要一环,它是教师向学生传授知识,训练学生能力的载体与桥梁。传统的教学是单向灌输式教学,忽视了学生的认识活动,学生处于被动接受的地位,学完全受制于教,学生失去了很多独立思考的机会,不利于学生的发展。著名教育学家叶圣陶先生提出“凡为教,目的在于达到不需要教。”教师的教不应是全盘授与,而在相机诱导。故而例题的教学中也应充分发挥与调动学生的积极性,培养兴趣及自己解决问题的能力,例题教学中应抓住以下几个方面。
1 重视课本例题,培养学生善思的能力
课本例题的选配是教材编审工作者们精心选编的,具有一定的代表性,是例题教学中的重中之重。因此,教师不应该就例题讲例题,应从深层理解与体会例题的功能与作用,使之真正成为“例题”,为学生的学习提供方法与思路。
如北师大教材必修4第80页例题3:如图1,A、B、C是平面内三个点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,则存在实数,使得,就具有一定的代表性。其特点为。
(1)第一次探索存在性问题。
(2)第一次进行较为复杂的代数证明。
(3)本题具有较普遍的应用性与拓展性。
由于本例题体现了多个“第一次”,因此,要求教师在利用本例题教学中,必须把握好以下几个方面:(1)引导学生理解实数(包括符号、范围);(2)分析证明的思路与方法;(3)例题结论的适当拓展。由于本题中涉及到很多向量间的关系,对于第一次接触到向量证明的高一学生来讲,要从诸多的向量中找到与结论有关的向量难度较大。为此,在进行这个例题的教学中,不能照本宣科,将书上的解题思路强加给学生,而是要从证明的结论出发,将分析法的思想渗透到教学中,使证明思路很快找到。
①分析思路为:要证;
②引导学生进一步理解实数,加深对向量共线与点C在直线AB上的位置的认识,体现数型结合的思想;
③引导学生发现结论的应用价值为可以用其判断三点共线;
④将结论进行适度拓展;
若P为原点,=,则有,类似于中点坐标公式。
若令1-=,则有,那么点A、B、C共线的充分必要条件为,此结论可以留作课后练习,供学有余力的学生去探索;
本结论在空间向量部分还可以再一次拓展为,那么空间四点点A、B、C、D共面的充分必要条件为,。
本例题的学习,在训练学生思维水平与探究意识方面都起到了较好的作用。
2 拓展课本例题,培养学生的应变能力
教学中除了要对课本例题进行多角度、多层面的分析之外,还应进行适当的拓宽与改造,使之在训练学生多思善变的能力上起到一定的作用。
如在进行北师大必修4第116页例题4的教学中,教师要充分认识到这个例题典型性,体会变量选取的优劣,是问题能否顺利解决的关键。
授课时,学生通过自主探究、合作交流,总结出如下两种解法:
如图2，图3所示。
方法1:设,则,
则。
函数关系式列出后,面临求最值的时候,大部分同学感到束手无策。
方法2:设圆心为O,长方形面积为S,
∠AOB=,则,,
,
经过变形后,最值非常好求。
比较以上两种解法,可以使学生充分体会到变量选取的重要性。本次课后,为进一步巩固所学知识,将课后习题进行扩展,能培养学生的应变能力,激发学生的学习兴趣。
设圆的半径为R,在如下图形中,求其内接矩形的面积的最大值。
通过变式的训练,留给学生思考与回味的时间与空间。
3 系列例题教学,培养学生的探究意识
在进行例题的教学中,教师要针对学生的实际以及所学内容、训练目的的异同,可以选编系列例题,由浅入深地逐步增加学生的知识面,拓宽学生的思路,培养探究意识。
如在进行北师大版必修一“对数函数”的教学时,选取了如下例题:
若函数的定义域是R,求实数m的取值范围。
由于学生刚接触函数不久,在解决此题时,主要会出现以下障碍:
(1)部分学生对题意不理解,不能将其转化为正确的数学关系去解决。
(2)大部分学生虽然能转化为数学表示式,但不能把握变量间的相互转化关系,因而不能顺利求解。
针对存在的问题,在教学时,引导学生从对数概念出发分析题意,发现该命题与不等式的关系,从不同的角度使问题得以解决(1)从二次函数角度考虑可以转化为求函数的最小值问题(2)从转化主元的角度考虑可以理解为不等式对一切实数均成立;(3)从二次函数的图像考虑,转化为函数的图像均在x轴的上方,即。通过不断探究,使学生对这一类问题的解决找到了方法,并为后续的学习奠定了良好的基础。为巩固本节的探究成果,可选用系列练习增加训练的深度与广度。
变式1:若函数的定义域是R,求实数m的取值范围。
变式2:若函数的定义域是R,求实数m的取值范围。
变式3:若函数的定义域是R,求实数m的取值范围。
以上几例只是自己在教学中的一点体会与做法,总之要进行好例题教学,教师一定要深入钻研教材,结合学生特点进行有针对性的训练,在开拓思路,培养能力方面下功夫,通过例题的教学,使学生的认知水平及解题能力、探索精神等方面都得以提高,使教师能真正成为学生学习过程中的合作者,逐步使学生变被动学习为主动学习,变“学会”为“会学”,为学生的终身发展打下基础。
参考文献
[1] 刘占溪.挖掘习题资源培养思维品质[J].中学数学教学参考,2006,8.
[2] 陈凌,宗平芬.再议“一题多解”及其教学策略[J].中学数学教学参考,2006,10.
[3] 毛良忠.数学课堂教学要突出思想方法的回归中[J].学数学教学参考,2010,8.
关键词:例题教学善思能力应变能力探究意识
中图分类号:G633.3 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)06(a)-0024-02
数学中例题教学与概念、公式、定理教学一样,是数学教学的重要组成部分。众所周知,学数学离不开解题,而数学中例题、习题都是以前面学过的知识为背景,或组成重要公式原理,或抽象于客观世界的现实模型,其目的都在于巩固基础知识,强化基本技能,深化数学理论认识,训练思维方法,培养数学思维能力,增强灵活创造能力,提高实践应用能力,例题的教学是数学教学中的重要一环,它是教师向学生传授知识,训练学生能力的载体与桥梁。传统的教学是单向灌输式教学,忽视了学生的认识活动,学生处于被动接受的地位,学完全受制于教,学生失去了很多独立思考的机会,不利于学生的发展。著名教育学家叶圣陶先生提出“凡为教,目的在于达到不需要教。”教师的教不应是全盘授与,而在相机诱导。故而例题的教学中也应充分发挥与调动学生的积极性,培养兴趣及自己解决问题的能力,例题教学中应抓住以下几个方面。
1 重视课本例题,培养学生善思的能力
课本例题的选配是教材编审工作者们精心选编的,具有一定的代表性,是例题教学中的重中之重。因此,教师不应该就例题讲例题,应从深层理解与体会例题的功能与作用,使之真正成为“例题”,为学生的学习提供方法与思路。
如北师大教材必修4第80页例题3:如图1,A、B、C是平面内三个点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,则存在实数,使得,就具有一定的代表性。其特点为。
(1)第一次探索存在性问题。
(2)第一次进行较为复杂的代数证明。
(3)本题具有较普遍的应用性与拓展性。
由于本例题体现了多个“第一次”,因此,要求教师在利用本例题教学中,必须把握好以下几个方面:(1)引导学生理解实数(包括符号、范围);(2)分析证明的思路与方法;(3)例题结论的适当拓展。由于本题中涉及到很多向量间的关系,对于第一次接触到向量证明的高一学生来讲,要从诸多的向量中找到与结论有关的向量难度较大。为此,在进行这个例题的教学中,不能照本宣科,将书上的解题思路强加给学生,而是要从证明的结论出发,将分析法的思想渗透到教学中,使证明思路很快找到。
①分析思路为:要证;
②引导学生进一步理解实数,加深对向量共线与点C在直线AB上的位置的认识,体现数型结合的思想;
③引导学生发现结论的应用价值为可以用其判断三点共线;
④将结论进行适度拓展;
若P为原点,=,则有,类似于中点坐标公式。
若令1-=,则有,那么点A、B、C共线的充分必要条件为,此结论可以留作课后练习,供学有余力的学生去探索;
本结论在空间向量部分还可以再一次拓展为,那么空间四点点A、B、C、D共面的充分必要条件为,。
本例题的学习,在训练学生思维水平与探究意识方面都起到了较好的作用。
2 拓展课本例题,培养学生的应变能力
教学中除了要对课本例题进行多角度、多层面的分析之外,还应进行适当的拓宽与改造,使之在训练学生多思善变的能力上起到一定的作用。
如在进行北师大必修4第116页例题4的教学中,教师要充分认识到这个例题典型性,体会变量选取的优劣,是问题能否顺利解决的关键。
授课时,学生通过自主探究、合作交流,总结出如下两种解法:
如图2，图3所示。
方法1:设,则,
则。
函数关系式列出后,面临求最值的时候,大部分同学感到束手无策。
方法2:设圆心为O,长方形面积为S,
∠AOB=,则,,
,
经过变形后,最值非常好求。
比较以上两种解法,可以使学生充分体会到变量选取的重要性。本次课后,为进一步巩固所学知识,将课后习题进行扩展,能培养学生的应变能力,激发学生的学习兴趣。
设圆的半径为R,在如下图形中,求其内接矩形的面积的最大值。
通过变式的训练,留给学生思考与回味的时间与空间。
3 系列例题教学,培养学生的探究意识
在进行例题的教学中,教师要针对学生的实际以及所学内容、训练目的的异同,可以选编系列例题,由浅入深地逐步增加学生的知识面,拓宽学生的思路,培养探究意识。
如在进行北师大版必修一“对数函数”的教学时,选取了如下例题:
若函数的定义域是R,求实数m的取值范围。
由于学生刚接触函数不久,在解决此题时,主要会出现以下障碍:
(1)部分学生对题意不理解,不能将其转化为正确的数学关系去解决。
(2)大部分学生虽然能转化为数学表示式,但不能把握变量间的相互转化关系,因而不能顺利求解。
针对存在的问题,在教学时,引导学生从对数概念出发分析题意,发现该命题与不等式的关系,从不同的角度使问题得以解决(1)从二次函数角度考虑可以转化为求函数的最小值问题(2)从转化主元的角度考虑可以理解为不等式对一切实数均成立;(3)从二次函数的图像考虑,转化为函数的图像均在x轴的上方,即。通过不断探究,使学生对这一类问题的解决找到了方法,并为后续的学习奠定了良好的基础。为巩固本节的探究成果,可选用系列练习增加训练的深度与广度。
变式1:若函数的定义域是R,求实数m的取值范围。
变式2:若函数的定义域是R,求实数m的取值范围。
变式3:若函数的定义域是R,求实数m的取值范围。
以上几例只是自己在教学中的一点体会与做法,总之要进行好例题教学,教师一定要深入钻研教材,结合学生特点进行有针对性的训练,在开拓思路,培养能力方面下功夫,通过例题的教学,使学生的认知水平及解题能力、探索精神等方面都得以提高,使教师能真正成为学生学习过程中的合作者,逐步使学生变被动学习为主动学习,变“学会”为“会学”,为学生的终身发展打下基础。
参考文献
[1] 刘占溪.挖掘习题资源培养思维品质[J].中学数学教学参考,2006,8.
[2] 陈凌,宗平芬.再议“一题多解”及其教学策略[J].中学数学教学参考,2006,10.
[3] 毛良忠.数学课堂教学要突出思想方法的回归中[J].学数学教学参考,2010,8.