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永远不要拿规律当作推理的依据，这是我们在解数学题时应该谨记的.大多数时候，寻找规律都是有帮助的；但就有这么一些极端的例子，运用了很久的规律竟然是错误的.
貌似整数的数
你知道吗：eπ-π=19.999…小数点后三位都是9，该不会整个数正好就是20吧？
其实不然：eπ-π=19.999099979…这还不算最接近的，我们有更像整数的数：sin（11）= -0.9999020655…直到小数点后第6位才出现第一个不是9的数，而cos（ln（π+20））= -0.99999999924368…小数点后面有连续9个9！
质数生成公式？
1772年，大数学家欧拉发现，当是较小的正整数时，代入n2+n+41得到的总是质数.事实上，n从1一直取到39，算出来的结果分别是：43，47，53，61，71，83，97，113，131， 151， 173，197，223，251，281，313，347，383，421，461， 503，547，593，641，691，743，797，853，911，971，1033，1097，1163，1231，1301，1373，1447，1523，1601这些数全都是质数.第一次例外发生在n=40的时候，此时402+40+41=402+40+ 40+1=（40+1）（40+1）=41×41.一直要算到n=40，才能破除这个“伪规律”.
千万不要妄下结论
圆周上有个点，两两之间连线后，最多可以把整个圆分成多少块？下图1显示的就是n分别为2、3、4的情况。可以看到，圆分别被划分成了2块、4块、8块.规律似乎非常明显：圆周上每多一个点，划分出来的区域数就会翻一倍.
图1
事实真的是这样吗？让我们来看一看当n=5时的情况（如图2）：
图2
果然不出所料，整个圆被分成了16块，区域数依旧满足2n-1的规律.此时，多数人都会觉得证据已经充分，不必继续往下验证了.偏偏就在n=6时，意外出现了（如图3）：
图3
此时区域数只有31个，推翻了我们之前的猜想.如此看来，根据规律妄下结论，终究是会翻船的.
最坚挺的猜想
下面是大于1的正整数分解质因数后的结果：
2=2
3=3
4=2×2
5=5
6=2×3
7=7
8=2×2×2
9=3×3
10=2×5
……
其中，4、6、9、10 包含偶数个质因子，其余的数都包含奇数个质因子.你会发现，从上面的列表一行一行看下来，不管看到什么位置，包含奇数个质因子的数都要多一些.1919年，匈牙利数学家波利亚猜想，质因子个数为奇数的情况不会少于50%.也就是说，对于任意一个大于1的自然数N，从2到N的数中有奇数个质因子的数不少于有偶数个质因子的数.这便是著名的波利亚猜想.
波利亚猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数，必然都已经提前经历了“有奇数个质因子”这一步.不过，这个猜想一直未能得到一个严格的数学证明.到了1958年，英国数学家哈赛格庐乌发现，波利亚的猜想竟然是错误的.他证明了波利亚猜想存在反例，从而推翻了这个猜想.不过，哈赛格庐乌仅仅只是证明了反例存在的可能性，并没有算出这个反例的具体值.哈赛格庐乌估计，这个反例至少也是一个361位数.
1960年，谢尔曼·莱曼给出了一个确凿的反例：N=906180359.而波利亚猜想的最小反例则是到了1980年才被发现的：N=906150257.也就是说，从2 一直数到9亿多，波利亚猜想看起来都是成立的！
——摘自《果壳网》
本期《八年级上册综合测试题》参考答案
1.C；2.C；3.B；4.B；5.70°；
6.（-4，-2）；7.3：2：4；8.-■；
9.（1）解：原式=■，
∵a≠0、a≠±1，
∴答案不唯一.
当a=2时，原式=1；
（2）原式=■，当x=1，y=3，
∴原式=3.
10. （1）证明略；
（2）解：∵AD=CD=CB=b，
且△BCD的周长为a，∴AB=a-b，
∵AB=AC，∴AC=a-b，
∴△ACD的周长为
AC+AD+CD=a-b+b+b =a+b.
11. 解：设小鹏的速度为x米/分，爸爸的速度为2x米/分，
由题意得，■-■=10，
解得：x=80，
经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意.
答：小鹏的速度为80米/分.
本期《九年级上册巩固练习》参考答案
1.D；2.B；3.B；4.B；5.C；6.■；
7.6或■或12或■；8.1∶2；9.8；10.80；
11.解：（1）m≤■；
（2）m=■.
12.（1）a=■，p=3，q=6，n=12，m=12；
（2）∵反比例函数y=■在图象所在的每一象限内，y随着x的增大而减小
而二次函数y=■（x+3）2+4的对称轴为直线x=-3
要使二次函数y=■（x+3）2+4满足上述条件，x≤-3
∴t的最大值为-3；
（3）图略，过点A作直线l∥x轴，作DF⊥l于F、BE⊥l于E.
∵点B的坐标为（-3，4），A（1，12），
∴AB=■=4■；
∵四边形ABCD是矩形，BE⊥l于E，
∴∠EAB+∠EBA=90°，∠FAD=∠EBA
∴Rt△EBA∽Rt△FAD，■=■
又∵AD=■，∴FD=1，AF=2，
∴点D的坐标为（3，11），同理可求点C的坐标为（-1，3）.
貌似整数的数
你知道吗：eπ-π=19.999…小数点后三位都是9，该不会整个数正好就是20吧？
其实不然：eπ-π=19.999099979…这还不算最接近的，我们有更像整数的数：sin（11）= -0.9999020655…直到小数点后第6位才出现第一个不是9的数，而cos（ln（π+20））= -0.99999999924368…小数点后面有连续9个9！
质数生成公式？
1772年，大数学家欧拉发现，当是较小的正整数时，代入n2+n+41得到的总是质数.事实上，n从1一直取到39，算出来的结果分别是：43，47，53，61，71，83，97，113，131， 151， 173，197，223，251，281，313，347，383，421，461， 503，547，593，641，691，743，797，853，911，971，1033，1097，1163，1231，1301，1373，1447，1523，1601这些数全都是质数.第一次例外发生在n=40的时候，此时402+40+41=402+40+ 40+1=（40+1）（40+1）=41×41.一直要算到n=40，才能破除这个“伪规律”.
千万不要妄下结论
圆周上有个点，两两之间连线后，最多可以把整个圆分成多少块？下图1显示的就是n分别为2、3、4的情况。可以看到，圆分别被划分成了2块、4块、8块.规律似乎非常明显：圆周上每多一个点，划分出来的区域数就会翻一倍.
图1
事实真的是这样吗？让我们来看一看当n=5时的情况（如图2）：
图2
果然不出所料，整个圆被分成了16块，区域数依旧满足2n-1的规律.此时，多数人都会觉得证据已经充分，不必继续往下验证了.偏偏就在n=6时，意外出现了（如图3）：
图3
此时区域数只有31个，推翻了我们之前的猜想.如此看来，根据规律妄下结论，终究是会翻船的.
最坚挺的猜想
下面是大于1的正整数分解质因数后的结果：
2=2
3=3
4=2×2
5=5
6=2×3
7=7
8=2×2×2
9=3×3
10=2×5
……
其中，4、6、9、10 包含偶数个质因子，其余的数都包含奇数个质因子.你会发现，从上面的列表一行一行看下来，不管看到什么位置，包含奇数个质因子的数都要多一些.1919年，匈牙利数学家波利亚猜想，质因子个数为奇数的情况不会少于50%.也就是说，对于任意一个大于1的自然数N，从2到N的数中有奇数个质因子的数不少于有偶数个质因子的数.这便是著名的波利亚猜想.
波利亚猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数，必然都已经提前经历了“有奇数个质因子”这一步.不过，这个猜想一直未能得到一个严格的数学证明.到了1958年，英国数学家哈赛格庐乌发现，波利亚的猜想竟然是错误的.他证明了波利亚猜想存在反例，从而推翻了这个猜想.不过，哈赛格庐乌仅仅只是证明了反例存在的可能性，并没有算出这个反例的具体值.哈赛格庐乌估计，这个反例至少也是一个361位数.
1960年，谢尔曼·莱曼给出了一个确凿的反例：N=906180359.而波利亚猜想的最小反例则是到了1980年才被发现的：N=906150257.也就是说，从2 一直数到9亿多，波利亚猜想看起来都是成立的！
——摘自《果壳网》
本期《八年级上册综合测试题》参考答案
1.C；2.C；3.B；4.B；5.70°；
6.（-4，-2）；7.3：2：4；8.-■；
9.（1）解：原式=■，
∵a≠0、a≠±1，
∴答案不唯一.
当a=2时，原式=1；
（2）原式=■，当x=1，y=3，
∴原式=3.
10. （1）证明略；
（2）解：∵AD=CD=CB=b，
且△BCD的周长为a，∴AB=a-b，
∵AB=AC，∴AC=a-b，
∴△ACD的周长为
AC+AD+CD=a-b+b+b =a+b.
11. 解：设小鹏的速度为x米/分，爸爸的速度为2x米/分，
由题意得，■-■=10，
解得：x=80，
经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意.
答：小鹏的速度为80米/分.
本期《九年级上册巩固练习》参考答案
1.D；2.B；3.B；4.B；5.C；6.■；
7.6或■或12或■；8.1∶2；9.8；10.80；
11.解：（1）m≤■；
（2）m=■.
12.（1）a=■，p=3，q=6，n=12，m=12；
（2）∵反比例函数y=■在图象所在的每一象限内，y随着x的增大而减小
而二次函数y=■（x+3）2+4的对称轴为直线x=-3
要使二次函数y=■（x+3）2+4满足上述条件，x≤-3
∴t的最大值为-3；
（3）图略，过点A作直线l∥x轴，作DF⊥l于F、BE⊥l于E.
∵点B的坐标为（-3，4），A（1，12），
∴AB=■=4■；
∵四边形ABCD是矩形，BE⊥l于E，
∴∠EAB+∠EBA=90°，∠FAD=∠EBA
∴Rt△EBA∽Rt△FAD，■=■
又∵AD=■，∴FD=1，AF=2，
∴点D的坐标为（3，11），同理可求点C的坐标为（-1，3）.