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在完全掌握与圆有关的知识点条件下，要以轴对称的视角理解圆的基本性质，要以运动的视角理解与圆有关的位置关系，并要灵活地与教材中其他相关知识点建立起紧密联系. 当圆周角的顶点在圆周上运动时，同弧所对的圆周角、圆心角的位置关系会出现三种情况，圆心在圆周角内、圆周角外、圆周角边上，而它们的数量关系是不变的，前者是后者的一半. 与圆有关的三个直角：直径上的圆周角、切线与过切点的半（直）径构成的角、弦与垂直于此弦的半（直）径形成的角，从而在直角三角形中解决问题. 可以按轴对称、折叠的动态思维感悟和理解垂径定理及其推论. ①过圆心的直线；②垂直于此弦；③平分此弦（不是直径）；④平分优弧；⑤平分劣弧. 由五个条件中任选两个作为已知，则可得出其他三个结论.
已知直线与圆相切，常用方法是连接切点和圆心，构成直角三角形来解答. 求证直线与圆相切，常用方法是证明出过半（直）径外端的直线与半（直）径垂直. 以下四个方面是考查的热点，也常常结合生活实际改编成试题：
一、求角的度数
例1 如图１，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，点Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，∠ＣＡＢ ＝ ３６°，则∠Ｄ的度数为 .
例２ 如图２，ＡＢ，ＡＣ是⊙Ｏ的两条弦，∠Ａ ＝ ３０°，过点Ｃ的切线与ＯＢ的延长线交于点Ｄ，则∠Ｄ的度数为 .
例３ 已知弦ＡＢ垂直平分⊙Ｏ的半径ＯＣ，点Ｐ是⊙Ｏ上一个动点（不与Ａ，Ｂ重合），则∠ＡＰＢ的度数为 .
解析 １. ∠ＡＣＢ是直径上的圆周角，故∠ＡＣＢ ＝ ９０°，由∠ＣＡＢ ＝ ３６°可得∠Ｂ是其余角，为５４°，而∠Ｄ与∠Ｂ是同弧所对的圆周角，∠Ｄ ＝ ∠Ｂ ＝ ５４°.
２. ∠Ｄ ＝ ３０°.连接ＯＣ，由同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍，得∠Ｏ ＝ ２∠Ａ ＝ ６０°，再由切线与过切点的半径构成直角，则∠Ｄ与∠Ｏ互余，故∠Ｄ ＝ ３０°.
３. ∠ＡＰＢ ＝ １２０°或６０°. 画出草图，分Ｐ在优弧上、劣弧上两种情况分析，Ｐ在优弧上时结合垂径定理构成直角三角形，角的正弦为０．５，则角为３０°，求出等腰三角形顶角、同弧所对的圆心角与圆周角的关系，此时∠ＡＰＢ为６０°；当Ｐ在劣弧上时，由圆内接四边形对角互补，可得此时∠ＡＰＢ为１２０°.
二、求圆中线段长度
例4 小明想知道水平的广场上大理石球的半径，于是找了两块厚１０ ｃｍ的砖塞在球的两侧（如图３），并量得两砖之间的距离是６０ ｃｍ，则大理石球的半径为 .
例5 如图４，⊙Ｏ的直径ＡＢ ＝ ２０ ｃｍ，点Ｐ在线段ＡＢ上，且ＯＰ ∶ ＰＢ ＝ ２ ∶ ３，弦ＣＤ经过点Ｐ，且∠ＡＰＣ ＝ ３０°，则弦ＣＤ的长为 .
例6 弦ＡＢ∥弦ＣＤ，ＡＢ ＝ ８ ｃｍ，ＣＤ ＝ ６ ｃｍ，⊙Ｏ的直径为１０ ｃｍ，则弦ＡＢ与ＣＤ之间的距离为 .
例7 如图５①，⊙Ｏ的直径ＡＢ ＝ ２０ｃｍ，点Ｅ是半圆的三等分点，点Ｆ是弧ＥＢ的中点，在ＡＢ上找一点Ｐ，使ＥＰ ＋ ＦＰ最短，并求出最小值.
解析 4. ５０ ｃｍ. 由切线性质及圆的对称性构造直角三角形，连接ＡＢ，ＯＣ，ＯＢ，由勾股定理列方程求解.
5. ＣＤ ＝ ８ｃｍ.易得ＯＰ ＝ ４ ｃｍ，过O作垂直于ＣＤ的线段ＯＥ，垂足为Ｅ，连接ＯＣ，ＯＣ ＝ １０ ｃｍ，结合已知∠ＡＰＣ ＝ ３０°，则ＯＥ ＝ ＯＰ ＝ ２ ｃｍ，由垂径定理及勾股定理得ＣＤ ＝ ２ＣＥ ＝ ８ｃｍ.
6. ７ ｃｍ或１ ｃｍ. 利用垂径定理，分ＡＢ，ＣＤ在圆心的同一侧或两侧来考虑并画图，构造直角三角形，结合勾股定理求解.
7. Ｐ点在圆心Ｏ处时，ＥＰ ＋ ＦＰ最短＝２０ｃｍ. 结合图５②利用轴对称性及两点之间线段最短，Ｅ关于ＡＢ的对称点（Ｅ），点Ｆ、（Ｅ）形成的线段为直径，因为弧ＦＡ（Ｅ）是１８０°的弧.
三、证明圆切线、求切线长
例8 如图６，直线ＰＡ，ＰＢ为⊙Ｏ的切线，Ａ，Ｂ为切点，ＯＰ ＝ ２，若ＰＡ⊥ＰＢ，则ＰＡ的长为 .
例9 如图７，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＢ是直径，点Ｄ是弧ＢＣ的中点，连接ＡＤ，交ＢＣ于点Ｆ. ①过点Ｄ作ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＣ的延长线于点Ｅ，判断ＤＥ是否是⊙Ｏ的切线，并说明理由；②若ＣＤ ＝ ６，ＡＣ ∶ ＡＦ ＝ ４ ∶ ５，求⊙Ｏ的半径.
解析 8. ＰＡ ＝ ２. 连接ＯＡ，ＯＢ，由切线性质，可判定四边形ＯＡＰＢ是正方形，从而求解.
9. ①ＤＥ是⊙Ｏ的切线. 连接ＯＤ，再由Ｄ平分弧ＢＣ（圆的对称性）得ＯＤ⊥ＢＣ，由ＤＥ∥ＢＣ则ＯＤ⊥ＤＥ，故ＤＥ是⊙Ｏ的切线. ②半径为５. 连接ＢＤ，∠ＡＣＦ ＝ ∠ＡＤＢ＝ ９０°（直径上的圆周角），由已知及锐角三角函数易得ＢＤ ＝ ＣＤ ＝ ６（等弧所对的弦相等），∠ＣＡＤ ＝ ∠ＢＡＤ（等弧所对的圆周角相等），ｓｉｎ∠ＢＡＤ ＝ ｓｉｎ∠ＣＡＤ ＝ ，ＢＤ ∶ ＡＢ ＝ ３ ∶ ５，即６ ∶ ＡＢ ＝ ３ ∶ ５，则ＡＢ ＝ １０，故⊙Ｏ的半径为５.
四、求弧长、面积
弧长ｌ ＝ ；Ｓ扇形 ＝＝ ｌＲ；圆锥侧面积Ｓ侧面积 ＝ πＲｌ；圆锥全面积Ｓ全面积 ＝ πＲ ｌ ＋ πＲ２. 解答弧长、扇形的面积类试题要牢记公式，并能进行灵活运用和简单的代数变换，解答扇形、圆锥类试题时，画出圆锥的展开图、示意图，会更加直观、清楚.
例10 如图８，在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型. 若圆半径为ｒ，扇形的半径为Ｒ，扇形的圆心角为９０°，则ｒ与Ｒ之间的关系是 .
解析 10. Ｒ ＝ ４ｒ. 因为圆形和扇形纸片能围成一个圆锥模型，所以圆的周长等于扇形的弧长，故＝２πｒ，所以Ｒ＝ ４ｒ.
已知直线与圆相切，常用方法是连接切点和圆心，构成直角三角形来解答. 求证直线与圆相切，常用方法是证明出过半（直）径外端的直线与半（直）径垂直. 以下四个方面是考查的热点，也常常结合生活实际改编成试题：
一、求角的度数
例1 如图１，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，点Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，∠ＣＡＢ ＝ ３６°，则∠Ｄ的度数为 .
例２ 如图２，ＡＢ，ＡＣ是⊙Ｏ的两条弦，∠Ａ ＝ ３０°，过点Ｃ的切线与ＯＢ的延长线交于点Ｄ，则∠Ｄ的度数为 .
例３ 已知弦ＡＢ垂直平分⊙Ｏ的半径ＯＣ，点Ｐ是⊙Ｏ上一个动点（不与Ａ，Ｂ重合），则∠ＡＰＢ的度数为 .
解析 １. ∠ＡＣＢ是直径上的圆周角，故∠ＡＣＢ ＝ ９０°，由∠ＣＡＢ ＝ ３６°可得∠Ｂ是其余角，为５４°，而∠Ｄ与∠Ｂ是同弧所对的圆周角，∠Ｄ ＝ ∠Ｂ ＝ ５４°.
２. ∠Ｄ ＝ ３０°.连接ＯＣ，由同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍，得∠Ｏ ＝ ２∠Ａ ＝ ６０°，再由切线与过切点的半径构成直角，则∠Ｄ与∠Ｏ互余，故∠Ｄ ＝ ３０°.
３. ∠ＡＰＢ ＝ １２０°或６０°. 画出草图，分Ｐ在优弧上、劣弧上两种情况分析，Ｐ在优弧上时结合垂径定理构成直角三角形，角的正弦为０．５，则角为３０°，求出等腰三角形顶角、同弧所对的圆心角与圆周角的关系，此时∠ＡＰＢ为６０°；当Ｐ在劣弧上时，由圆内接四边形对角互补，可得此时∠ＡＰＢ为１２０°.
二、求圆中线段长度
例4 小明想知道水平的广场上大理石球的半径，于是找了两块厚１０ ｃｍ的砖塞在球的两侧（如图３），并量得两砖之间的距离是６０ ｃｍ，则大理石球的半径为 .
例5 如图４，⊙Ｏ的直径ＡＢ ＝ ２０ ｃｍ，点Ｐ在线段ＡＢ上，且ＯＰ ∶ ＰＢ ＝ ２ ∶ ３，弦ＣＤ经过点Ｐ，且∠ＡＰＣ ＝ ３０°，则弦ＣＤ的长为 .
例6 弦ＡＢ∥弦ＣＤ，ＡＢ ＝ ８ ｃｍ，ＣＤ ＝ ６ ｃｍ，⊙Ｏ的直径为１０ ｃｍ，则弦ＡＢ与ＣＤ之间的距离为 .
例7 如图５①，⊙Ｏ的直径ＡＢ ＝ ２０ｃｍ，点Ｅ是半圆的三等分点，点Ｆ是弧ＥＢ的中点，在ＡＢ上找一点Ｐ，使ＥＰ ＋ ＦＰ最短，并求出最小值.
解析 4. ５０ ｃｍ. 由切线性质及圆的对称性构造直角三角形，连接ＡＢ，ＯＣ，ＯＢ，由勾股定理列方程求解.
5. ＣＤ ＝ ８ｃｍ.易得ＯＰ ＝ ４ ｃｍ，过O作垂直于ＣＤ的线段ＯＥ，垂足为Ｅ，连接ＯＣ，ＯＣ ＝ １０ ｃｍ，结合已知∠ＡＰＣ ＝ ３０°，则ＯＥ ＝ ＯＰ ＝ ２ ｃｍ，由垂径定理及勾股定理得ＣＤ ＝ ２ＣＥ ＝ ８ｃｍ.
6. ７ ｃｍ或１ ｃｍ. 利用垂径定理，分ＡＢ，ＣＤ在圆心的同一侧或两侧来考虑并画图，构造直角三角形，结合勾股定理求解.
7. Ｐ点在圆心Ｏ处时，ＥＰ ＋ ＦＰ最短＝２０ｃｍ. 结合图５②利用轴对称性及两点之间线段最短，Ｅ关于ＡＢ的对称点（Ｅ），点Ｆ、（Ｅ）形成的线段为直径，因为弧ＦＡ（Ｅ）是１８０°的弧.
三、证明圆切线、求切线长
例8 如图６，直线ＰＡ，ＰＢ为⊙Ｏ的切线，Ａ，Ｂ为切点，ＯＰ ＝ ２，若ＰＡ⊥ＰＢ，则ＰＡ的长为 .
例9 如图７，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＢ是直径，点Ｄ是弧ＢＣ的中点，连接ＡＤ，交ＢＣ于点Ｆ. ①过点Ｄ作ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＣ的延长线于点Ｅ，判断ＤＥ是否是⊙Ｏ的切线，并说明理由；②若ＣＤ ＝ ６，ＡＣ ∶ ＡＦ ＝ ４ ∶ ５，求⊙Ｏ的半径.
解析 8. ＰＡ ＝ ２. 连接ＯＡ，ＯＢ，由切线性质，可判定四边形ＯＡＰＢ是正方形，从而求解.
9. ①ＤＥ是⊙Ｏ的切线. 连接ＯＤ，再由Ｄ平分弧ＢＣ（圆的对称性）得ＯＤ⊥ＢＣ，由ＤＥ∥ＢＣ则ＯＤ⊥ＤＥ，故ＤＥ是⊙Ｏ的切线. ②半径为５. 连接ＢＤ，∠ＡＣＦ ＝ ∠ＡＤＢ＝ ９０°（直径上的圆周角），由已知及锐角三角函数易得ＢＤ ＝ ＣＤ ＝ ６（等弧所对的弦相等），∠ＣＡＤ ＝ ∠ＢＡＤ（等弧所对的圆周角相等），ｓｉｎ∠ＢＡＤ ＝ ｓｉｎ∠ＣＡＤ ＝ ，ＢＤ ∶ ＡＢ ＝ ３ ∶ ５，即６ ∶ ＡＢ ＝ ３ ∶ ５，则ＡＢ ＝ １０，故⊙Ｏ的半径为５.
四、求弧长、面积
弧长ｌ ＝ ；Ｓ扇形 ＝＝ ｌＲ；圆锥侧面积Ｓ侧面积 ＝ πＲｌ；圆锥全面积Ｓ全面积 ＝ πＲ ｌ ＋ πＲ２. 解答弧长、扇形的面积类试题要牢记公式，并能进行灵活运用和简单的代数变换，解答扇形、圆锥类试题时，画出圆锥的展开图、示意图，会更加直观、清楚.
例10 如图８，在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型. 若圆半径为ｒ，扇形的半径为Ｒ，扇形的圆心角为９０°，则ｒ与Ｒ之间的关系是 .
解析 10. Ｒ ＝ ４ｒ. 因为圆形和扇形纸片能围成一个圆锥模型，所以圆的周长等于扇形的弧长，故＝２πｒ，所以Ｒ＝ ４ｒ.