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函数概念是高中数学中的核心概念,既是重点内容,也是难点内容.在长期的教学过程中,虽然每次讲授这一内容都会有新的突破,但从学生解题过程中反馈的情况看,总有令人失望的情景出现,有时让人觉得匪夷所思.本文拟从学生解函数常规题中出现的低级错误中作一些剖析,追根溯源,与同行分享.
一、学生解决函数问题中的几种低级错误
1.“函数定义”蜻蜓点水
高中引进集合之后,函数定义为两个非空数集之间的映射关系,映射的关键点是单值对应,即A中的每一元素,在B中都有唯一的元素与之对应,学生往往忽略这一关键点.
例1已知函数f(x)=lg(x2+tx+1)的值域为R,求实数t的取值范围.
错解:∵f(x)=lg(x2+tx+1)的值域是R,∴△=t2-4<0,解得-2 ∴实数t的取值范围为(-2,2).
剖析:上述解法的错误根源在于没有深刻理解对数函数是从(0,+∞)到R的一一映射,欲使f(x)的值域为R,x2+tx+1的值必须取遍所有正数.
正确解法:∵f(x)=lg(x2+tx+1)的值域为R ,
∴△=t2-4≥0,解得t≤-2或t≥2,
∴实数t的取值范围是(-∞,-2](2,+∞].
2.“定义域”视而不见
定义域是函数三要素之一,也是决定函数的重要条件之一,解题过程中时常要注意定义域.比如奇函数的定义域必须关于原点是对称的区域,实际问题中建立函数模型必须从实际意义中获取定义域,等等.解题要是忽略了这一点,就会引发错误.
例2求函数f(x)=1n(x+1)-x的单调区间及对应的单调性.
错解:∵f(x)=1n(x+1)-x,∴f ′(x)=-1=,
令f ′(x)=0得x=0,且x>0时f ′(x)<0,x<0时f ′(x)>0,
∴f(x)在(-∞,0)上是单调增函数,在(0,+∞)上是单调减函数.
剖析:这种解法忽略了单调区间应是定义域的子集,即函数的单调区间应包含于定义域,最多等于定义域,不能越过定义域.
正确解法:∵f(x)=1n(x+1)-x,∴x+1>0,
即x>-1,又∵ f ′(x)=-1=,
令f ′(x)=0得x=0,∴x∈(-1,0)时f ′(x)<0,x∈(0,+∞)时 f ′(x)<0,
∴原函数(-1,0)在(0,+∞)上单调递增,在上单调递减.
还有一种错误是忽略了函数的定义域为非空数集,有时题目本身就有问题.好多复习资料上都有这个题目:已知函数f(x)的定义域为[a,b]且a+b>0,求f(x)+f(-x)的定义域,在其解答中有这样一段话“当a>0时,f(x)+f(-x)的定义域是”,我想这句话本身就很荒唐,换句话说,题目本身就有问题,应该加上条件“a≤0”.
3.“对应法则”置若罔闻
对应法则是决定函数上的重要条件,一个函数只要定义域和对应法则确定了,其值域也随之确定.但在实际应用中往往不被重视,学生解题也会因此出现错误.
例3已知函数
f(x)=5-x2,x<0x2-4x+4,(x≥0,若f(x0)=1,求x0的值.
错解:令5-x2=1,得x2=4,x=±2,
再令x2-4x+4=1,得x2-4x+3=0,
∴x=1或3,∴x0的值组成的修集合为{-2,1,2,3}.
剖析:分段函数的关键点在于,不同区域内对应法则不同.本题中x<0时,f (x)=5-x2;x≥0时,
f (x)=x2-4x+4,体现了不同的对应法则,应该考虑这一点.
正确解法:1°当x<0时,令5-x2=1解得x=±2,
∵x<0,∴只取x=-2;
2°当x≥0时,令x2+4x+4=1时,解得x=1或3.
综上可知,x0的值组成的集合为{-2,1,3}.
4.“邻近知识”分道扬镳
函数、方程、不等式是同一系列的,函数的零点、方程的根都有明显的几何意义体现在函数的图像上,学生应将三者有机结合起来,注重内在联系.
例4关于x的方程x2-ax+6=0的两根均大于2,求实数a的取值范围.
错解:设x1,x2为原方程的两根,依题意△=a2-24≥0x1+x2=a>4x1x2=6>4,
解a≥2得,即实数a的取值范围是:[2,+∞).
剖析:这个结果显然与正确答案不符.有位教师面对学生这样的答案,没有分析学生为什么会这么做,就用根的分布构造二次函数结合图像一口气解决,讲到下课,显然没有从根本上解决学生的问题.其实学生的想法也不是没有道理,很多学生都会这么想,因为以前做两根均为正数的类似题目都是用判别式以及韦达定理完成的,类比推理学生也会套用.教师应从学生思维的根源去分析,因为这里涉及到充分与充要的问题,需要我们做进一步探究.
正确解法:设x-2=t,则原方程可化为:t2-(a-4)t-2a+10=0,
原方程两根均大于2,即这个关于t的方程两根均大于0,
设t1,t2为其两根,由判别式及韦达定理△=(-a+4)2-4(-2a+10)≥0 t1+t2=a-4>0 t1t2=-2a+10>0,
解得2≤a<5,即实数a的取值范围是:[2,5).
二、归因分析
作为一个数学教师,经常会因为学生出现这样的问题而苦恼,上课时他们好像听得很明白,但做题时总会出现这样那样的低级错误.以上几个例子虽然是很简单的问题,但很多学生都会出现类似的错误,为什么会这样呢?追根溯源,我们不防回归到知识的源头看看,以下三个原因值得警惕.
1. 函数概念的完备性是我们教学过程中时常会淡化的.函数概念同其它数学概念一样同时具有纯粹性和完备性,它包括两方面意思,即顺推和逆推都成立.传统的教学方法往往只重视其纯粹性,因此学生也往往只清楚其纯粹性,其完备性只是表面上的走马看花,在实际应用过程中时常会忘记.
2. 数学语言与自然的文字语言混淆会造成学生理解上的困难.函数的表示方法就告诉我们,有时可以运用自然的文字语言表述,而经常情况下是用规范的符号语言来表述,如y=f(x)同s=f(t)是同一个函数,只是起符号不同而已.在函数的表示上,同我们的直觉刚好相反,抽象的数学符号学生用起来比较自然,自然的文字语言学生反而不太习惯,这一点在函数类应用题上体现得比较明显.
3. 不注意函数概念的逻辑顺序会造成学生应用上的错误.函数问题应用范围广,对学生能力要求高,其中有很多知识上的联系与逻辑关系.例如,函数是从非空数集A到非空数集B的映射,就说明函数的定义域是非空数集;奇函数与偶函数的图像的对称性决定了其单调性的对称性;学生容易把“函数值大于0恒成立”与“函数的值域是(0,+∞)”混淆,等等.
三、教学对策
我们在日常的教学过程中应该重视这些问题的存在,采取切实可行的措施逐步解决这些问题.结合多年的教学实际,我将其归纳为:观察→思考→对比→讨论→反思.
1. 观察
讲函数概念一定要有问题情境的设置,可以像教材那样用“炮弹发射”“臭氧层空洞”“恩格尔系数”等实际问题让学生观察,将学生带入问题中,然后抽象为解析式、图像、列表法等表示函数的方法,这就是增强学生的感性认识.
2. 思考
当学生通过观察熟悉这三个实际例子后,教师要及时启发学生思考,让他们认真分析实例背后隐藏的数学问题,尽量让学生主动思考,自然形成认识.这个环节需要教师精心设计,明确最核心的细节.
3. 对比
对比包括两方面,一是对比这三个实际的例子,比较它们的共同点,以便后面进行归纳;二是容易混淆的题目的对比,前面提到的几个例子都有很多变式以及延伸与拓展,可以将他们放在一起讲解,这样有利于学生分辨它们的区别.
4. 讨论
当学生对问题有所思、有所感悟时,可以让他们自由讨论与交流,允许他们辩论、发表不同的看法.教师最后做的工作就是作出评判,将学生的主要观点列出来,统一大家的认识,避免思维走向错误的极端,同时给出标准的函数的定义,再作解释.
5. 反思
反思是很多教师上课忽略的一个环节.函数概念的教学尤其需要反思,因为它很抽象.教师除了反思讲课的每一个细节,还要反思学生听课的每一个细节,分析学生做题中的问题所在.这样,后续教学的过渡才能逐步得到解决.
责任编辑罗峰
一、学生解决函数问题中的几种低级错误
1.“函数定义”蜻蜓点水
高中引进集合之后,函数定义为两个非空数集之间的映射关系,映射的关键点是单值对应,即A中的每一元素,在B中都有唯一的元素与之对应,学生往往忽略这一关键点.
例1已知函数f(x)=lg(x2+tx+1)的值域为R,求实数t的取值范围.
错解:∵f(x)=lg(x2+tx+1)的值域是R,∴△=t2-4<0,解得-2
剖析:上述解法的错误根源在于没有深刻理解对数函数是从(0,+∞)到R的一一映射,欲使f(x)的值域为R,x2+tx+1的值必须取遍所有正数.
正确解法:∵f(x)=lg(x2+tx+1)的值域为R ,
∴△=t2-4≥0,解得t≤-2或t≥2,
∴实数t的取值范围是(-∞,-2](2,+∞].
2.“定义域”视而不见
定义域是函数三要素之一,也是决定函数的重要条件之一,解题过程中时常要注意定义域.比如奇函数的定义域必须关于原点是对称的区域,实际问题中建立函数模型必须从实际意义中获取定义域,等等.解题要是忽略了这一点,就会引发错误.
例2求函数f(x)=1n(x+1)-x的单调区间及对应的单调性.
错解:∵f(x)=1n(x+1)-x,∴f ′(x)=-1=,
令f ′(x)=0得x=0,且x>0时f ′(x)<0,x<0时f ′(x)>0,
∴f(x)在(-∞,0)上是单调增函数,在(0,+∞)上是单调减函数.
剖析:这种解法忽略了单调区间应是定义域的子集,即函数的单调区间应包含于定义域,最多等于定义域,不能越过定义域.
正确解法:∵f(x)=1n(x+1)-x,∴x+1>0,
即x>-1,又∵ f ′(x)=-1=,
令f ′(x)=0得x=0,∴x∈(-1,0)时f ′(x)<0,x∈(0,+∞)时 f ′(x)<0,
∴原函数(-1,0)在(0,+∞)上单调递增,在上单调递减.
还有一种错误是忽略了函数的定义域为非空数集,有时题目本身就有问题.好多复习资料上都有这个题目:已知函数f(x)的定义域为[a,b]且a+b>0,求f(x)+f(-x)的定义域,在其解答中有这样一段话“当a>0时,f(x)+f(-x)的定义域是”,我想这句话本身就很荒唐,换句话说,题目本身就有问题,应该加上条件“a≤0”.
3.“对应法则”置若罔闻
对应法则是决定函数上的重要条件,一个函数只要定义域和对应法则确定了,其值域也随之确定.但在实际应用中往往不被重视,学生解题也会因此出现错误.
例3已知函数
f(x)=5-x2,x<0x2-4x+4,(x≥0,若f(x0)=1,求x0的值.
错解:令5-x2=1,得x2=4,x=±2,
再令x2-4x+4=1,得x2-4x+3=0,
∴x=1或3,∴x0的值组成的修集合为{-2,1,2,3}.
剖析:分段函数的关键点在于,不同区域内对应法则不同.本题中x<0时,f (x)=5-x2;x≥0时,
f (x)=x2-4x+4,体现了不同的对应法则,应该考虑这一点.
正确解法:1°当x<0时,令5-x2=1解得x=±2,
∵x<0,∴只取x=-2;
2°当x≥0时,令x2+4x+4=1时,解得x=1或3.
综上可知,x0的值组成的集合为{-2,1,3}.
4.“邻近知识”分道扬镳
函数、方程、不等式是同一系列的,函数的零点、方程的根都有明显的几何意义体现在函数的图像上,学生应将三者有机结合起来,注重内在联系.
例4关于x的方程x2-ax+6=0的两根均大于2,求实数a的取值范围.
错解:设x1,x2为原方程的两根,依题意△=a2-24≥0x1+x2=a>4x1x2=6>4,
解a≥2得,即实数a的取值范围是:[2,+∞).
剖析:这个结果显然与正确答案不符.有位教师面对学生这样的答案,没有分析学生为什么会这么做,就用根的分布构造二次函数结合图像一口气解决,讲到下课,显然没有从根本上解决学生的问题.其实学生的想法也不是没有道理,很多学生都会这么想,因为以前做两根均为正数的类似题目都是用判别式以及韦达定理完成的,类比推理学生也会套用.教师应从学生思维的根源去分析,因为这里涉及到充分与充要的问题,需要我们做进一步探究.
正确解法:设x-2=t,则原方程可化为:t2-(a-4)t-2a+10=0,
原方程两根均大于2,即这个关于t的方程两根均大于0,
设t1,t2为其两根,由判别式及韦达定理△=(-a+4)2-4(-2a+10)≥0 t1+t2=a-4>0 t1t2=-2a+10>0,
解得2≤a<5,即实数a的取值范围是:[2,5).
二、归因分析
作为一个数学教师,经常会因为学生出现这样的问题而苦恼,上课时他们好像听得很明白,但做题时总会出现这样那样的低级错误.以上几个例子虽然是很简单的问题,但很多学生都会出现类似的错误,为什么会这样呢?追根溯源,我们不防回归到知识的源头看看,以下三个原因值得警惕.
1. 函数概念的完备性是我们教学过程中时常会淡化的.函数概念同其它数学概念一样同时具有纯粹性和完备性,它包括两方面意思,即顺推和逆推都成立.传统的教学方法往往只重视其纯粹性,因此学生也往往只清楚其纯粹性,其完备性只是表面上的走马看花,在实际应用过程中时常会忘记.
2. 数学语言与自然的文字语言混淆会造成学生理解上的困难.函数的表示方法就告诉我们,有时可以运用自然的文字语言表述,而经常情况下是用规范的符号语言来表述,如y=f(x)同s=f(t)是同一个函数,只是起符号不同而已.在函数的表示上,同我们的直觉刚好相反,抽象的数学符号学生用起来比较自然,自然的文字语言学生反而不太习惯,这一点在函数类应用题上体现得比较明显.
3. 不注意函数概念的逻辑顺序会造成学生应用上的错误.函数问题应用范围广,对学生能力要求高,其中有很多知识上的联系与逻辑关系.例如,函数是从非空数集A到非空数集B的映射,就说明函数的定义域是非空数集;奇函数与偶函数的图像的对称性决定了其单调性的对称性;学生容易把“函数值大于0恒成立”与“函数的值域是(0,+∞)”混淆,等等.
三、教学对策
我们在日常的教学过程中应该重视这些问题的存在,采取切实可行的措施逐步解决这些问题.结合多年的教学实际,我将其归纳为:观察→思考→对比→讨论→反思.
1. 观察
讲函数概念一定要有问题情境的设置,可以像教材那样用“炮弹发射”“臭氧层空洞”“恩格尔系数”等实际问题让学生观察,将学生带入问题中,然后抽象为解析式、图像、列表法等表示函数的方法,这就是增强学生的感性认识.
2. 思考
当学生通过观察熟悉这三个实际例子后,教师要及时启发学生思考,让他们认真分析实例背后隐藏的数学问题,尽量让学生主动思考,自然形成认识.这个环节需要教师精心设计,明确最核心的细节.
3. 对比
对比包括两方面,一是对比这三个实际的例子,比较它们的共同点,以便后面进行归纳;二是容易混淆的题目的对比,前面提到的几个例子都有很多变式以及延伸与拓展,可以将他们放在一起讲解,这样有利于学生分辨它们的区别.
4. 讨论
当学生对问题有所思、有所感悟时,可以让他们自由讨论与交流,允许他们辩论、发表不同的看法.教师最后做的工作就是作出评判,将学生的主要观点列出来,统一大家的认识,避免思维走向错误的极端,同时给出标准的函数的定义,再作解释.
5. 反思
反思是很多教师上课忽略的一个环节.函数概念的教学尤其需要反思,因为它很抽象.教师除了反思讲课的每一个细节,还要反思学生听课的每一个细节,分析学生做题中的问题所在.这样,后续教学的过渡才能逐步得到解决.
责任编辑罗峰