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摘 要：在初中、高中数学的衔接教育中，“十字相乘法”是一种不可忽略的数学知识点。借助“十字相乘法”的教学不仅可以让学生更好地掌握计算技巧，同时还可以实现初中、高中数学的衔接学习。
关键词：初高中数学；“十字相乘法”；衔接教学
一、 引言
“十字相乘法”是一种较为常用，同时也非常重要的因式分解方式之一。其主要是应用在二次三项式的分解当中，或者是应用在类似二次三项式的因式分解变形当中。对此，探讨“十字相乘法”在初高中数学中的衔接具备显著教育意义。
二、 “十字相乘法”
近些年来，“十字相乘法”一直都是广大初中教师所喜爱的教学方式，其原因主要有两点，一方面是教师为了让学生可以更好的应对教辅材料当中的因式分解题目，另一方面是教师为了让学生更好地理解一元二次方程。在教学过程中，“十字相乘法”在因式分解题目当中的应用效果相当突出，所以备受喜爱。但是，近些年“十字相乘法”已经从教科书当中剔除，其主要原因在于“十字相乘法”的使用面较为狭窄，而求根公式法才是可以通用的法则，所以应当将教学重点放在通用性的方式教学中。对此，这也就导致教材与教师之间的矛盾。从理论上讲，“十字相乘法”实际上就是观察式算法，无法观察试算的题目便无法使用“十字相乘法”。但是，也无法否认，“十字相乘法”本身具备一定的使用价值。
三、 “十字相乘法”在初高中数学中的衔接
（一） 以故事激发学生学习兴趣
在课堂开始之前，需要先对所需要学习的知识点进行包装和改进，例如以故事的方式，提高学生对于课堂参与的积极性，让学生在第一时间被吸引到课堂学习中。例如，“在很久以前，一个智慧的山洞中藏着智慧钥匙，其能够给人富于无穷的智慧。下面将取钥匙的方式告诉你们，看谁能够取到钥匙。首先，需要先进入山洞，此时需要打开四个门，每一个门需要两把钥匙才能够打开，门前放着许多已经标记号的钥匙，每一个门都有两个数字，但是这两个数字并不是钥匙的号码，而是两个钥匙号码的乘积与和，例如第一扇门标记着6与5，便是乘积为6，和为5，你能够打开这一扇门吗？”。对此，学生可以很快的反映出是2与3，这一种教学过程便是引出“十字相乘法”的教学方式，可以让学生在初中阶段就掌握关于“十字相乘法”的因式分解方法，也就是x2 5x 6=（x 2）（x 3）。与此同时，学生本身对于故事有着较高的兴趣，并借助趣味性的故事引导，学生对于问题会形成激烈的反响。学生的积极性快速被调动起来，在课堂愉悦的氛围当中，学生的思维更加活跃，此时教师再归纳总结其中的规律，让学生进一步的掌握其中的符号改变情况，也就是x2 （a b）x ab=（x a）（x b），其中ab>0，a、b同号，并且a、b的符号和a b的符号相同。那么如果ab<0，则a，b为异号，同时a、b当中绝对值较大的那一个符号应当是和a b符号相同。对此，借助这样故事化的激发以及理性化的分析方式，可以让学生对这一知识点形成更加深刻的认识，从而达到加深印象的目的。
（二） 从根本教学，从运算角度分析“十字相乘法”
众所周知，因式分解的算法本质上是来源于乘法的运算规律，属于乘法的逆运算过程。对此，在“十字相乘法”的教学过程中，便可以借助乘法运算的方式展现其应用实质，这样的方式可以让学生更加容易了解并掌握“十字相乘法”的方法，并从整体上掌握这一技巧。例如，如果两个系数为1的一次二项式相乘，如（x 5）（x 3），便可以画出相应的相乘图，十字图形的左边为两个x，右边分别为3与5，其结果便是x2 （3x 5x） 3×5=x2 8x 15。这里所提出的x2为x和x的乘积，同时15是3与5的乘积，8x就是十字相乘之后所获得的和。这一种方式具备常规性与普遍性。另外，如果两个系数不是为1的一次二项式进行相乘，例如（5x 3）（2x 1），这一种也可以采用十字相乘的方式进行分析，在十字图形的左边写出5x与2x，右边写出3与1，其结果便是10x2 （6x 5x） 3=10x2 11x 3，这一结果里面的10x2便是2x和5x的乘积，同时3是1与3的乘积，11x是交叉相乘之后所获得的和。
“十字相乘法”在整式的因式分解教學当中的应用相当灵活，同时对于学生的感觉要求比较高，需要学生能够感觉到其能够应用“十字相乘法”方式，所以对于学生的分类、试验、猜想、尝试等直觉性的培养非常重要。因为当前的初中数学教育对于“十字相乘法”的重视度比较低，实行了淡化处理的方式，所以需要在实际教学中做好相应的衔接教育处理，促使学生能够及时掌握这一种有效的分析方式，为后续的高中数学提供基础。另外，“十字相乘法”在二次三项式的式例当中的应用，主要是将上述的过程以逆变形的方式进行分析，例如x2 8x 15，这一方式便是寻找了两个数相乘为15的数据进行相加，也就是8，此时便需要从15的因数当中进行分解，其结果主要有1×15与3×5，但是只有3 5=8，所以在绘画十字时只能够采用3与5。通过这样的方式，可以快速根据一次二项式绘画出相应的十字相乘图，但是对于二次三项式的因式分解，因为其结果不唯一，所以变形结果也不可能唯一，这也就需要对首尾两项因素进行分解，并探讨分解是否可行，依赖于交叉相乘之后的和是否等同于一次项，这就需要不断的尝试与取舍。
（三） 应用归纳总结口诀，改进“十字相乘法”应用能力
借助上述的分析过程，学生对于“十字相乘法”以及其应用实质已经形成了基本的掌握。但是，仍然需要在操作过程中进行实践。只有这样才可以帮助学生克服艰难，在操作过程中有依据可遵循。“十字相乘法”的口诀主要是四句话，分别为“首位分解、交叉相乘、观察分析、求合凑中”。对于这四句话而言，其最为困难的便是首位分解。对此，在教学过程中，教师可以让学生先将所有的分解步骤都写出来，例如在3x2 14x 16的例子中，3x2能够分解成为3x与x的和，但是16可以划分的方式就有点多，例如16×1、8×2、4×4、2×8、1×16五种。然后根据五种结果分别绘画出相应的5个图形，图形1左边为3x与x，右边为1与16，图形2左边为3x与x，右边为2与8，图形3左边为3x与x，右边为4与4，图形4左边为3x与x，右边为8与2，图形5左边为3x与x，右边为16与1。通过观察分析与求和凑中后，只有图形4能够满足要求，也就是（3x 8）（x 2）。对此，求和凑中便是观察分析的同等阶段，也就是这一阶段对于学生直觉的要求比较高，如果直觉能力较强，便可以快速得出答案。 （四） 提高对符号的重视，实现准确分解
在上述所提出的多种例子中，都是以系数为正数作为案例，所以一般不会存在符号方面的错误。但是，仍然有大多数的例子系数并不是正数，这也就提出了关于预防符号方面的错误方法。在具体应用中，实际上的方式是一样的，只需要注意对符号的处理而已。例如，在3x2-14x 16的例子中，需要注意的是中间项为-14，所以只需要将16划分为两个负数因数便可以解题。具体而言就是将上述的案例划分为3x与x和-8与-2，从而得出结果（3x-8）（x-2）。对此，通过多个题目分析后总结出相应的处理规律：1. 如果二次项的系数是负数，那么需要先提出符号，并保障二次项分解的两个正因数的和，并确保分解结果的正确性；2. 如果常数项是正數，那么便可以将其分解成为同号的两个因数，此时便需要在此观察一次项系数，如果一次项系数是正数，那么这两个因数应当是同为正，如果一次项系数为负数，那么这两个因数应当同为负数；3. 常数项如果是负数，那么便可以将其分解成为异号的两个因数，对于负号具体在哪一个因数上，其主要取决于中间项的符号，以绝对值大一些的因数作为同号。
四、 结语
综上所述，“十字相乘法”在整式的因式分解变形计算分析当中的应用相当灵活且高效，同时对于学生的直觉、感觉要求比较高，是培养学生良好分类、猜想、试验、尝试等直觉感受的有效方式之一。在分式的运算过程中，二次不等式的求解以及解决实际应用题方面均有着较为突出的应用价值。因为当前的初中数学教育对“十字相乘法”实行了淡化的处理，所以在初中教育中并不常见，但是因为高中数学当中对于“十字相乘法”的依赖性较高，所以有必要在初中教育中就重视“十字相乘法”的能力培养，促使学生更好的掌握这一计算方式，从而为高中数学的学习奠定基础。
参考文献：
[1]喻敏.略谈“十字相乘法”在中学数学解题中的运用[J].新课程·下旬，2016，15（4）：515-516.
[2]易丽萍，张文丽.对知识过程性探索的思考——记《十字相乘法》引入部分的教学[J].中学数学研究：华南师范大学版，2016，14（8）：13-15.
[3]于大平.初中数学微课程的实践探索——以“十字相乘法”分解因式微课程开发为例[J].数字教育，2016，2（1）：77-81.
[4]何卫群.把握已有教学资源，设计有效教学活动——“因式分解之十字相乘法”研究课题教学片断及思考[J].数学学习与研究，2016，11（22）：121.
[5]吴洁慧.积累经验·丰富理解·关注选择——一元二次方程的解法选择探析[J].新教育：海南，2016，23（22）：59-60.
关键词：初高中数学；“十字相乘法”；衔接教学
一、 引言
“十字相乘法”是一种较为常用，同时也非常重要的因式分解方式之一。其主要是应用在二次三项式的分解当中，或者是应用在类似二次三项式的因式分解变形当中。对此，探讨“十字相乘法”在初高中数学中的衔接具备显著教育意义。
二、 “十字相乘法”
近些年来，“十字相乘法”一直都是广大初中教师所喜爱的教学方式，其原因主要有两点，一方面是教师为了让学生可以更好的应对教辅材料当中的因式分解题目，另一方面是教师为了让学生更好地理解一元二次方程。在教学过程中，“十字相乘法”在因式分解题目当中的应用效果相当突出，所以备受喜爱。但是，近些年“十字相乘法”已经从教科书当中剔除，其主要原因在于“十字相乘法”的使用面较为狭窄，而求根公式法才是可以通用的法则，所以应当将教学重点放在通用性的方式教学中。对此，这也就导致教材与教师之间的矛盾。从理论上讲，“十字相乘法”实际上就是观察式算法，无法观察试算的题目便无法使用“十字相乘法”。但是，也无法否认，“十字相乘法”本身具备一定的使用价值。
三、 “十字相乘法”在初高中数学中的衔接
（一） 以故事激发学生学习兴趣
在课堂开始之前，需要先对所需要学习的知识点进行包装和改进，例如以故事的方式，提高学生对于课堂参与的积极性，让学生在第一时间被吸引到课堂学习中。例如，“在很久以前，一个智慧的山洞中藏着智慧钥匙，其能够给人富于无穷的智慧。下面将取钥匙的方式告诉你们，看谁能够取到钥匙。首先，需要先进入山洞，此时需要打开四个门，每一个门需要两把钥匙才能够打开，门前放着许多已经标记号的钥匙，每一个门都有两个数字，但是这两个数字并不是钥匙的号码，而是两个钥匙号码的乘积与和，例如第一扇门标记着6与5，便是乘积为6，和为5，你能够打开这一扇门吗？”。对此，学生可以很快的反映出是2与3，这一种教学过程便是引出“十字相乘法”的教学方式，可以让学生在初中阶段就掌握关于“十字相乘法”的因式分解方法，也就是x2 5x 6=（x 2）（x 3）。与此同时，学生本身对于故事有着较高的兴趣，并借助趣味性的故事引导，学生对于问题会形成激烈的反响。学生的积极性快速被调动起来，在课堂愉悦的氛围当中，学生的思维更加活跃，此时教师再归纳总结其中的规律，让学生进一步的掌握其中的符号改变情况，也就是x2 （a b）x ab=（x a）（x b），其中ab>0，a、b同号，并且a、b的符号和a b的符号相同。那么如果ab<0，则a，b为异号，同时a、b当中绝对值较大的那一个符号应当是和a b符号相同。对此，借助这样故事化的激发以及理性化的分析方式，可以让学生对这一知识点形成更加深刻的认识，从而达到加深印象的目的。
（二） 从根本教学，从运算角度分析“十字相乘法”
众所周知，因式分解的算法本质上是来源于乘法的运算规律，属于乘法的逆运算过程。对此，在“十字相乘法”的教学过程中，便可以借助乘法运算的方式展现其应用实质，这样的方式可以让学生更加容易了解并掌握“十字相乘法”的方法，并从整体上掌握这一技巧。例如，如果两个系数为1的一次二项式相乘，如（x 5）（x 3），便可以画出相应的相乘图，十字图形的左边为两个x，右边分别为3与5，其结果便是x2 （3x 5x） 3×5=x2 8x 15。这里所提出的x2为x和x的乘积，同时15是3与5的乘积，8x就是十字相乘之后所获得的和。这一种方式具备常规性与普遍性。另外，如果两个系数不是为1的一次二项式进行相乘，例如（5x 3）（2x 1），这一种也可以采用十字相乘的方式进行分析，在十字图形的左边写出5x与2x，右边写出3与1，其结果便是10x2 （6x 5x） 3=10x2 11x 3，这一结果里面的10x2便是2x和5x的乘积，同时3是1与3的乘积，11x是交叉相乘之后所获得的和。
“十字相乘法”在整式的因式分解教學当中的应用相当灵活，同时对于学生的感觉要求比较高，需要学生能够感觉到其能够应用“十字相乘法”方式，所以对于学生的分类、试验、猜想、尝试等直觉性的培养非常重要。因为当前的初中数学教育对于“十字相乘法”的重视度比较低，实行了淡化处理的方式，所以需要在实际教学中做好相应的衔接教育处理，促使学生能够及时掌握这一种有效的分析方式，为后续的高中数学提供基础。另外，“十字相乘法”在二次三项式的式例当中的应用，主要是将上述的过程以逆变形的方式进行分析，例如x2 8x 15，这一方式便是寻找了两个数相乘为15的数据进行相加，也就是8，此时便需要从15的因数当中进行分解，其结果主要有1×15与3×5，但是只有3 5=8，所以在绘画十字时只能够采用3与5。通过这样的方式，可以快速根据一次二项式绘画出相应的十字相乘图，但是对于二次三项式的因式分解，因为其结果不唯一，所以变形结果也不可能唯一，这也就需要对首尾两项因素进行分解，并探讨分解是否可行，依赖于交叉相乘之后的和是否等同于一次项，这就需要不断的尝试与取舍。
（三） 应用归纳总结口诀，改进“十字相乘法”应用能力
借助上述的分析过程，学生对于“十字相乘法”以及其应用实质已经形成了基本的掌握。但是，仍然需要在操作过程中进行实践。只有这样才可以帮助学生克服艰难，在操作过程中有依据可遵循。“十字相乘法”的口诀主要是四句话，分别为“首位分解、交叉相乘、观察分析、求合凑中”。对于这四句话而言，其最为困难的便是首位分解。对此，在教学过程中，教师可以让学生先将所有的分解步骤都写出来，例如在3x2 14x 16的例子中，3x2能够分解成为3x与x的和，但是16可以划分的方式就有点多，例如16×1、8×2、4×4、2×8、1×16五种。然后根据五种结果分别绘画出相应的5个图形，图形1左边为3x与x，右边为1与16，图形2左边为3x与x，右边为2与8，图形3左边为3x与x，右边为4与4，图形4左边为3x与x，右边为8与2，图形5左边为3x与x，右边为16与1。通过观察分析与求和凑中后，只有图形4能够满足要求，也就是（3x 8）（x 2）。对此，求和凑中便是观察分析的同等阶段，也就是这一阶段对于学生直觉的要求比较高，如果直觉能力较强，便可以快速得出答案。 （四） 提高对符号的重视，实现准确分解
在上述所提出的多种例子中，都是以系数为正数作为案例，所以一般不会存在符号方面的错误。但是，仍然有大多数的例子系数并不是正数，这也就提出了关于预防符号方面的错误方法。在具体应用中，实际上的方式是一样的，只需要注意对符号的处理而已。例如，在3x2-14x 16的例子中，需要注意的是中间项为-14，所以只需要将16划分为两个负数因数便可以解题。具体而言就是将上述的案例划分为3x与x和-8与-2，从而得出结果（3x-8）（x-2）。对此，通过多个题目分析后总结出相应的处理规律：1. 如果二次项的系数是负数，那么需要先提出符号，并保障二次项分解的两个正因数的和，并确保分解结果的正确性；2. 如果常数项是正數，那么便可以将其分解成为同号的两个因数，此时便需要在此观察一次项系数，如果一次项系数是正数，那么这两个因数应当是同为正，如果一次项系数为负数，那么这两个因数应当同为负数；3. 常数项如果是负数，那么便可以将其分解成为异号的两个因数，对于负号具体在哪一个因数上，其主要取决于中间项的符号，以绝对值大一些的因数作为同号。
四、 结语
综上所述，“十字相乘法”在整式的因式分解变形计算分析当中的应用相当灵活且高效，同时对于学生的直觉、感觉要求比较高，是培养学生良好分类、猜想、试验、尝试等直觉感受的有效方式之一。在分式的运算过程中，二次不等式的求解以及解决实际应用题方面均有着较为突出的应用价值。因为当前的初中数学教育对“十字相乘法”实行了淡化的处理，所以在初中教育中并不常见，但是因为高中数学当中对于“十字相乘法”的依赖性较高，所以有必要在初中教育中就重视“十字相乘法”的能力培养，促使学生更好的掌握这一计算方式，从而为高中数学的学习奠定基础。
参考文献：
[1]喻敏.略谈“十字相乘法”在中学数学解题中的运用[J].新课程·下旬，2016，15（4）：515-516.
[2]易丽萍，张文丽.对知识过程性探索的思考——记《十字相乘法》引入部分的教学[J].中学数学研究：华南师范大学版，2016，14（8）：13-15.
[3]于大平.初中数学微课程的实践探索——以“十字相乘法”分解因式微课程开发为例[J].数字教育，2016，2（1）：77-81.
[4]何卫群.把握已有教学资源，设计有效教学活动——“因式分解之十字相乘法”研究课题教学片断及思考[J].数学学习与研究，2016，11（22）：121.
[5]吴洁慧.积累经验·丰富理解·关注选择——一元二次方程的解法选择探析[J].新教育：海南，2016，23（22）：59-60.