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摘 要 利用信息技术辅助球的表面积公式教学，引导学生利用信息技术合作交流、主动探究数学问题，培养学生的质疑能力和数学学习兴趣。如何把信息技术与高中数学课程有效整合，也是新一轮高中数学课程改革的重要内容。
关键词 信息技术；球的表面积；高中数学
中图分类号：G633.63 文献标识码：B 文章编号：1671-489X（2013）16-0026-02
如何有效地整合信息技术与高中数学课程，是新一轮高中数学课程改革的重要内容。在教与学中，通过运用信息技术手段增大教学容量，突出重点，突破难点，加强数形结合与应用，加深数学概念和命题理解等，在教学过程中有着非常重要的作用，在立体几何教学中尤显重要。不仅能够激发学生的空间逻辑思维，增强学生的公理化几何直觉，还能有效培养学生对知识归纳、类比、应用的独特能力，这对培养学生自身学习能力有至关重要的导向作用。
球的表面积的教学，则是把学生的空间逻辑思维和领悟能力推向一个新台阶。如何突破球的表面积公式推导这一重难点，是球的表面积教学中的一个重要环节。
1 利用信息技术，改变学生的预习方式，让教师能够全面获取学生在预习中提出的质疑和不理解的问题，准确把握教学中的重难点
确定教学中的重难点，这对课堂教学有重要导向作用。常用的方法有两种：一种是通过研读高中课程标准和教材，加上教师在教学中的经验来确定教学中的重难点；另一种方法是学生在预习中碰到不理解的问题，或者理解起来有困难的问题，这就是教学中的重难点。笔者认为后者确定出来的重难点比前者更科学一点，因为由于学生的知识和思维水平的不同，难点会有一定的差异，如果凭教材和经验，忽略了学生实际，难免产生一定的偏差，这样对课堂的教学效果就会带来不利影响。在收集学生不理解的问题时，若采用传统提问、讨论、调查或写纸条给老师的方式，会给师生带来比较繁锁的工作，调查的时间和空间也很难得到保证，也可能有失全面性和针对性。随着信息技术的日益发展和广泛应用，这些局限性可以得到大大的改善和提高，并且具有良好的时效性，也不受空间的限制。比如可以以班为单位建立QQ学习交流群、博客或者微博，学生有问题或想法可以随时发表看法，并及时跟进，学生的参与度也会比传统方式高得多。这样教师就可以及时地、全面地、准确地把握教学中的重难点。
通过班级QQ学习交流群，学生在探讨“用怎样的方法来求球的表面积”时提出4个设想。1）求球的表面积能不能像求圆柱的表面积那样把表面展开，然后再求展开平面图形面积呢？2）求球的表面积能不能像削苹果那样，把皮剥下来铺成一个长方形，然后再求长方形的面积呢？3）能否把球切成N个“小圆片柱体”，然后分别求出这N个“小圆片柱体”的侧面积，再相加得到球的表面积？4）能否用N个尽可能小的正方形纸片去贴满球面，把这N个正方形面积相加得到球的面积？
2 利用信息技术，展示学生在预习中提出的球的表面积求法的设想，让学生做出很自然的判断
高中学生受到知识水平和思维水平的限制，他们提出的设想和方法往往是凭感觉和直观的判断，自己无法从理论上进行论证，只是认为都是“正确”的。此时教师就有责任和义务帮助他们揭示事物的本质特点，引导他们对自己提出的设想作出科学的论证。上述4个设想，若采用传统讲解的方法，学生很难接受这类抽象的理论推理；若以实物展示，也难以实现。此时应考虑把知识点的特点与信息技术有机地整合，以达到教学资源和效果的最优化。
按照学生的设想思路，可用Flash软件把4个设想转化4个动画片断。第一个设想可设计为先将圆柱侧面剪开，铺平成一个矩形，圆柱侧面就等于矩形的面积；然后将球的表面也类似圆柱侧面一样剪开，然后铺开，学生会发现球面是不能展开成一个平面图形的，从而给予否定的结论。第二个设想可设计为演示像削苹果皮一样，削下来摆放平整，学生也很快能发现削下来的球表面是呈螺旋连接的，根本无法展开，且条形表面也会有一定的弯曲度，没办法展开成一个有规则的平面图形，所以判断第二个设想也是不可取的。第三个设想可设计为演示把球切成若干块“小圆片”，当“小圆片”切得很薄时，“小圆片”就接近于一个很薄的圆台，那么“小圆片”柱体的侧面积之和即为球的表面积，从而球的表面问题就可以转化成求圆台的侧面积问题。第四个设想可设计为演示用若干很小的正方形去贴满球面，把这若干很小的正方形面积相加就可以得到球的面积，所以求球的表面积问题也可以转化成求正方形面积的问题。
对于第三个设想和第四个设想，学生很直观地能判断它们的正确性，也很自然地提出一个问题：根据这两个正确的设想，怎样计算出球的表面积呢？
3 借助信息技术，让学生很自然地理解“分割—求和—化为准确和”这一重要的数学思想，促进学生思维水平的发展
数学学科主要研究对象是空间形式和数量关系，其最大的特点是高度抽象，所包含的概念、定理、公理和一般的规律具有较强的概括性。“分割—求和—化为准确和”这一数学思想，是数学中的一个重要的思想方法，对这一数学思想的理解是高度抽象的，并且要以一种动态的思维去理解。而对于一般高中生来说，抽象思维普遍薄弱，形象认识和理解是高中生获取知识的主要源泉，要让学生理解、掌握这一思想方法，关键是如何把这一抽象的理论形象化以及形象化的程度怎样？通过信息技术的利用，这类抽象的问题就能以生动、形象的形式呈现，学生也就很容易接受和理解。
在推导过程中，先把球面分割成n部分，根据学生预习中的设想三和设想四，运用Flash或几何画板做出两种方法分割球面的动画。第一种方法把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用△S1，△S2，…△Si，…表示，则球的表面积S=△S1 △S2 …△Si …。以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积。以动画的形式展示细分过程，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，“小锥体”的底面积△Si可近似地等于小棱锥的底面积，于是球的表面积就等于这些小棱锥的底面积之和，再与球的体积公式联立，就可以推出球的表面积公式。第二种方法把半球的垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为R/n，底面是“小圆片”的底面。当“小圆片”的厚度非常小时，一个“小圆片”几乎是一个很薄的圆台，“小圆片”的底面积△Si可近似地等于薄圆台的侧面积，因此，△Si=2πphi，从而得出球的表面积公式。
通过多媒体技术对抽象理论的形象展示，学生对抽象理论知识有一个形象的认识与呈现，就比较容易突破思维上的难点，也能拓宽思维空间，改变思维方式和提高分析、解决问题的能力，促进思维水平的发展。
4 借助信息技术，化终结教育为过程教育，使学生被动接受变为主动探究，提高学生质疑、发现问题的能力
传统教学模式中，由于受到条件的限制，知识、理论的产生、拓展过程往往是被忽视的。经过不断的教学改革和信息技术的利用，枯燥、抽象的数学问题也变得形象、具体了，这不仅降低学生空间思维的难度，同时大大激发了学生学习数学的兴趣。对球的分割、细分演示，使学生对球的结构有比较清楚的认识，而且对结论的产生和推导有一个体验过程。在这个过程学习中，学生提出很多质疑，最终实现逐个探究解决，部分问题需要借助信息技术才得以解决。
利用信息技术，为在教学中提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力提供了一个非常好的平台，几何画板、Mathematica、Authorware、Flash等数学软件都有很强大的形象化功能，给学生一个演示数学概念、命题产生的过程，在教师的指导下，给学生创造一个实际操作数学实验的环境，通过赋值、拖动等简单操作，就可以发现数学对象间的内在联系。同时可借助信息技术，在课堂上及时展示学生的推理、演算内容和步骤以及数学思想，让学生和学生之间、学生与教师之间的想法、见解和对问题探究过程得到及时和高效的交互，从而有助于学生对数学知识的学习和理解，也有利于发挥学生的主体性，使学生变被动接受为主动探究，这对培养创新型人才有着重要的意义。
参考文献
[1]何克抗.信息技术与课程整合：深化学科教学改革的根本途径[J].信息技术教育，2002（3）：8-13.
关键词 信息技术；球的表面积；高中数学
中图分类号：G633.63 文献标识码：B 文章编号：1671-489X（2013）16-0026-02
如何有效地整合信息技术与高中数学课程，是新一轮高中数学课程改革的重要内容。在教与学中，通过运用信息技术手段增大教学容量，突出重点，突破难点，加强数形结合与应用，加深数学概念和命题理解等，在教学过程中有着非常重要的作用，在立体几何教学中尤显重要。不仅能够激发学生的空间逻辑思维，增强学生的公理化几何直觉，还能有效培养学生对知识归纳、类比、应用的独特能力，这对培养学生自身学习能力有至关重要的导向作用。
球的表面积的教学，则是把学生的空间逻辑思维和领悟能力推向一个新台阶。如何突破球的表面积公式推导这一重难点，是球的表面积教学中的一个重要环节。
1 利用信息技术，改变学生的预习方式，让教师能够全面获取学生在预习中提出的质疑和不理解的问题，准确把握教学中的重难点
确定教学中的重难点，这对课堂教学有重要导向作用。常用的方法有两种：一种是通过研读高中课程标准和教材，加上教师在教学中的经验来确定教学中的重难点；另一种方法是学生在预习中碰到不理解的问题，或者理解起来有困难的问题，这就是教学中的重难点。笔者认为后者确定出来的重难点比前者更科学一点，因为由于学生的知识和思维水平的不同，难点会有一定的差异，如果凭教材和经验，忽略了学生实际，难免产生一定的偏差，这样对课堂的教学效果就会带来不利影响。在收集学生不理解的问题时，若采用传统提问、讨论、调查或写纸条给老师的方式，会给师生带来比较繁锁的工作，调查的时间和空间也很难得到保证，也可能有失全面性和针对性。随着信息技术的日益发展和广泛应用，这些局限性可以得到大大的改善和提高，并且具有良好的时效性，也不受空间的限制。比如可以以班为单位建立QQ学习交流群、博客或者微博，学生有问题或想法可以随时发表看法，并及时跟进，学生的参与度也会比传统方式高得多。这样教师就可以及时地、全面地、准确地把握教学中的重难点。
通过班级QQ学习交流群，学生在探讨“用怎样的方法来求球的表面积”时提出4个设想。1）求球的表面积能不能像求圆柱的表面积那样把表面展开，然后再求展开平面图形面积呢？2）求球的表面积能不能像削苹果那样，把皮剥下来铺成一个长方形，然后再求长方形的面积呢？3）能否把球切成N个“小圆片柱体”，然后分别求出这N个“小圆片柱体”的侧面积，再相加得到球的表面积？4）能否用N个尽可能小的正方形纸片去贴满球面，把这N个正方形面积相加得到球的面积？
2 利用信息技术，展示学生在预习中提出的球的表面积求法的设想，让学生做出很自然的判断
高中学生受到知识水平和思维水平的限制，他们提出的设想和方法往往是凭感觉和直观的判断，自己无法从理论上进行论证，只是认为都是“正确”的。此时教师就有责任和义务帮助他们揭示事物的本质特点，引导他们对自己提出的设想作出科学的论证。上述4个设想，若采用传统讲解的方法，学生很难接受这类抽象的理论推理；若以实物展示，也难以实现。此时应考虑把知识点的特点与信息技术有机地整合，以达到教学资源和效果的最优化。
按照学生的设想思路，可用Flash软件把4个设想转化4个动画片断。第一个设想可设计为先将圆柱侧面剪开，铺平成一个矩形，圆柱侧面就等于矩形的面积；然后将球的表面也类似圆柱侧面一样剪开，然后铺开，学生会发现球面是不能展开成一个平面图形的，从而给予否定的结论。第二个设想可设计为演示像削苹果皮一样，削下来摆放平整，学生也很快能发现削下来的球表面是呈螺旋连接的，根本无法展开，且条形表面也会有一定的弯曲度，没办法展开成一个有规则的平面图形，所以判断第二个设想也是不可取的。第三个设想可设计为演示把球切成若干块“小圆片”，当“小圆片”切得很薄时，“小圆片”就接近于一个很薄的圆台，那么“小圆片”柱体的侧面积之和即为球的表面积，从而球的表面问题就可以转化成求圆台的侧面积问题。第四个设想可设计为演示用若干很小的正方形去贴满球面，把这若干很小的正方形面积相加就可以得到球的面积，所以求球的表面积问题也可以转化成求正方形面积的问题。
对于第三个设想和第四个设想，学生很直观地能判断它们的正确性，也很自然地提出一个问题：根据这两个正确的设想，怎样计算出球的表面积呢？
3 借助信息技术，让学生很自然地理解“分割—求和—化为准确和”这一重要的数学思想，促进学生思维水平的发展
数学学科主要研究对象是空间形式和数量关系，其最大的特点是高度抽象，所包含的概念、定理、公理和一般的规律具有较强的概括性。“分割—求和—化为准确和”这一数学思想，是数学中的一个重要的思想方法，对这一数学思想的理解是高度抽象的，并且要以一种动态的思维去理解。而对于一般高中生来说，抽象思维普遍薄弱，形象认识和理解是高中生获取知识的主要源泉，要让学生理解、掌握这一思想方法，关键是如何把这一抽象的理论形象化以及形象化的程度怎样？通过信息技术的利用，这类抽象的问题就能以生动、形象的形式呈现，学生也就很容易接受和理解。
在推导过程中，先把球面分割成n部分，根据学生预习中的设想三和设想四，运用Flash或几何画板做出两种方法分割球面的动画。第一种方法把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用△S1，△S2，…△Si，…表示，则球的表面积S=△S1 △S2 …△Si …。以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积。以动画的形式展示细分过程，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，“小锥体”的底面积△Si可近似地等于小棱锥的底面积，于是球的表面积就等于这些小棱锥的底面积之和，再与球的体积公式联立，就可以推出球的表面积公式。第二种方法把半球的垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为R/n，底面是“小圆片”的底面。当“小圆片”的厚度非常小时，一个“小圆片”几乎是一个很薄的圆台，“小圆片”的底面积△Si可近似地等于薄圆台的侧面积，因此，△Si=2πphi，从而得出球的表面积公式。
通过多媒体技术对抽象理论的形象展示，学生对抽象理论知识有一个形象的认识与呈现，就比较容易突破思维上的难点，也能拓宽思维空间，改变思维方式和提高分析、解决问题的能力，促进思维水平的发展。
4 借助信息技术，化终结教育为过程教育，使学生被动接受变为主动探究，提高学生质疑、发现问题的能力
传统教学模式中，由于受到条件的限制，知识、理论的产生、拓展过程往往是被忽视的。经过不断的教学改革和信息技术的利用，枯燥、抽象的数学问题也变得形象、具体了，这不仅降低学生空间思维的难度，同时大大激发了学生学习数学的兴趣。对球的分割、细分演示，使学生对球的结构有比较清楚的认识，而且对结论的产生和推导有一个体验过程。在这个过程学习中，学生提出很多质疑，最终实现逐个探究解决，部分问题需要借助信息技术才得以解决。
利用信息技术，为在教学中提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力提供了一个非常好的平台，几何画板、Mathematica、Authorware、Flash等数学软件都有很强大的形象化功能，给学生一个演示数学概念、命题产生的过程，在教师的指导下，给学生创造一个实际操作数学实验的环境，通过赋值、拖动等简单操作，就可以发现数学对象间的内在联系。同时可借助信息技术，在课堂上及时展示学生的推理、演算内容和步骤以及数学思想，让学生和学生之间、学生与教师之间的想法、见解和对问题探究过程得到及时和高效的交互，从而有助于学生对数学知识的学习和理解，也有利于发挥学生的主体性，使学生变被动接受为主动探究，这对培养创新型人才有着重要的意义。
参考文献
[1]何克抗.信息技术与课程整合：深化学科教学改革的根本途径[J].信息技术教育，2002（3）：8-13.