论文部分内容阅读
[摘要]“等比数列前n项和公式”是高中数学的一个典型课题，而“错位相减法”是数列求和的基本方法，教学中怎样将其合理呈现给学生是一个难点.如何以“问”导“学”，促进学生思维活动步步深入，提升学生的解决问题能力是“等比数列的前n项和公式”教学设计的关键.
[关键词]问题导学；等比数列求和；错位相减法
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08000402
“等比数列的前n项和”是高中数学人教A版必修5第二章《数列》的内容，教材中介绍的推导方法是“错位相减法”，如果学生没有课前预习，是难以想到和发现这种方法的.怎样通过“问题”引导，让学生体验、尝试发现的过程，是本节课教学设计的关键.现笔者将自己的思考与设计呈现如下.
一、教学过程
1.新课引入
创设故事情境引入新课：国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗麦粒，第3个格子里放4颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里的两倍，直到第64个格子.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
问题1：国王总共需要给发明者多少颗麦粒？如何计算？
生1：1 2 22 23 … 263.
师：很显然，每个格子的麦粒数构成了一个等比数列，首项是1，公比是2，由等比数列的通项公式an=a1qn-1可以很快写出每个数据.事实上，这就是一个求等比数列前64项和的问题.这节课我们就一起来研究等比数列的前n项和.
2.概念形成
师：研究新知识之前，不妨先来回顾一下我们是如何推导等差数列的前n项和公式的.
问题2：如何推导等差数列的前n项和公式？
生2：倒序相加，通过再构造一个等式，两式相加，把对应项的和转化为a1 an.
师：实质上就是把对应项的和都转化为同一项a1 an，把其余大量的项都消去，只保留a1，an，从而达到简化公式的目的.得到求和公式后，我们就知道等差数列前n项和公式与a1，d，n，an有关.类比过来，即可推出等比数列的前n项和公式.
问题3：等比数列{an}的前n项和公式与哪些量有关呢？
生3：a1，q，n，an.
师：没错，等比数列前n项和公式就是用这几个基本量来表示的.
生4：可以把Sn=a1 a2 a3 … an写成Sn=a1 a1q a1q2 … a1qn-1.
师：很好！根据等差数列前n项和公式的推导方法，我们要对这个式子进行化简，实质上就是要把大量的項消去，使得式子最终只留下有限的几个项.
问题4：如何消项？是否还可以用倒序相加？
生5：不可以，倒序相加后对应项的和不一定相等.
师：倒序相加后对应项的和不能转化为相同的项，所以不行；两式相加不行，那两式相减可不可以消项呢？
生6：不可以，两式相减后全部都消去了.
问题5：如何构造一个新的等式，使得两式相减可以消去大量的项？
生7：两个式子中必须要有一些项不同，其余的项相同.
师：如何构造相同的项呢？我们不妨来回顾一下等比数列的定义.
问题6：等比数列的定义是什么？
生8：从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数q.
师：换句话说，每一项乘上q都等于后一项.是否可以围绕定义构造一个新的等式，使得两式有相同的项？
（学生探究）
生9：把式子的每一项都同乘以q，得到qSn=a1q a1q2 a1q3 … a1qn，两式就出现了大量相同的项.两式相减得（1-q）Sn=a1-a1qn，则
Sn=a1-a1qn1-q
.
师：除以“1-q”要注意什么？
生10：“1-q”不能等于0，即当q≠1时，Sn=a1-a1qn1-q
.
师：当q=1时呢？
生10：当q=1时，数列是常数列，其前n项和公式为Sn=na1.
师：到这里，我们就推导出了等比数列前n项和公式，即
Sn=
na1（q=1），
a1（1-qn）1-q（q≠1）.
用这个公式可以快速地求出任意等比数列的前n项和.在推导公式的过程中，是利用两个等式相减的，并且是错开相减的，所以我们把这种数列求和的方法叫作“错位相减法”.
3.概念深化
师：推导出了公式后，我们还需要进一步深入地认识这个公式.下面课堂进入到第三个环节“概念深化”.
师：首先我们来分析公式的结构，当q≠1时它是分式的结构，分母不能为0，也就是q≠1，再来看分子，a1是首项，q是公比，n是总项数.
问题7：等差数列的前n项和公式，可以用a1、an、n表示，等比数列的前n项和公式是否也可以？
生11：当q≠1时，由通项公式an=a1qn-1可得Sn=a1-anq1-q.
师：很好！那么我们得到了公式的另一种形式.
问题8：这两个公式分别适用于什么情况？
生12：已知a1、q、n用第一个公式，
已知
a1、q、an用第二个公式.
师：当q≠1时，第一个公式中有几个量？
生13：四个.
师：在第一个公式中知道其中三个就可以求第四个，同样在第二个公式中，也是有四个量，知道其中三个就可以求第四个. 4.应用探索
师：相信同学们已经学会了等比数列的前n项和公式，让我们回到一开始提出的问题1中，请同学们计算一下国王总共需要给发明者多少颗麦子.
（学生计算得到1 2 22 23 … 263=
1×（1-264）1-2
=264-1
）
师：“264-1”这个数很大，约等于1.84×1019，这么多颗麦子计算重量的话已经超过了7000亿吨，即便国王拿出全国的糧食，也不够赏给发明者.如果国王学过等比数列的前n项和公式的话，就可以计算出来需要这么多的麦子，也就不会这么爽快地答应发明者的要求了.
师：看来同学们已经能够熟练运用等比数列的前n项和公式解决问题了，接下来，我们将通过一些练习来巩固对公式的理解和运用.
【例1】已知等比数列12，
14，18，…，（1）求前8项之和；（2）求第5项到第10项之和.
【例2】等比数列{an}中，若Sn=189，q=2，an=96，求a1、n.
5.总结归纳
师：通过这节课的学习，你能够解决什么问题？我们是如何推导出等比数列的前n项和公式的？那
还有没有其他推导等比数列前n项和公式的方法？请同学们课后思考.
二、教学思考
上述教学是围绕“问题导学”教学法的五环节“新课引入、概念形成、概念深化、应用探索、总结归纳”来展开的，整个教学过程以问题为载体，引导学生推导公式并运用公式解决问题，收到了良好的教学效果.
第一环节“新课引入”，首先创设国际象棋与麦粒的
故事情境，然后再抛出问题1，激发学生的求知欲.在教师的引导下，学生要计算麦粒的总数，可把64个项逐一相加，但是运算量太大，学生难以计算，此时学生就会想知道有没有其他简便的计算方法，教师引入等比数列前n项和的问题就水到渠成了.
第二环节“概念形成”的主要任务是公式的推导，要注重引导学生理解公式推导过程的合理性.公式的推导实际就是化简，难点在于如何想到要两边同时乘以公比q.知识不是平白无故产生的，如何让公式的推导过程能够自然合理地呈现给学生，需要教师通过问题来引导.问题2和问题3的目的是以旧引新，回顾等差数列前n项和公式以及推导过程，即利用倒序相加消去大量的项，达到简化公式的目的，并且化简后的公式是用基本量表示；类比过来，等比数列的前n项和公式也可以通过消项来达到化简目的.通过这两个问题，为公式的推导找到了方向，且明确了公式化简的标志是能用基本量表示出来.接下来，要解决的问题是怎样才能消项化简，这是难点.根据已有经验，学生很容易会想到继续利用倒序相加法，因此提出问题4，学生尝试后便会发现运用倒序相加法行不通.加减乘除是基本的运算法则，两式相加不行，那相减呢？由此自然地提出了问题5，引导学生思考如何构造新的等式，再通过问题6复习等比数列的定义，学生就比较容易想到构造相同项的方法——每一项都同乘以公比q.至此，学生就可以顺利地进行后续的推导了.通过这一系列问题的铺垫，使学生的思维活动步步深入，充分感受到两边同乘以公比q的合理性，感悟错位相减法的应用价值，提高了解决问题能力.
第三环节“概念深化”要注重挖掘公式的内涵与外延.通过问题引导学生对公式的结构、形式、适用范围等进行深化认识，认清公式的本质特征，从而学会熟练地运用公式解决实际问题.在不少教学设计中，教师会向学生介绍其他的推导方法，本节课的重点是利用错位相减法推导公式，错位相减法是后续学习数列求和的重要方法之一，因此，教师应该重点介绍错位相减法，让学生掌握好这一方法，其他的方法可让学生课后自主探究.
第四环节“应用探索”的主要任务是例题的讲解，检验学生是否能够运用公式解决问题.在这一环节中，教师要思考为什么要讲这些题，目的是什么.笔者在教学中，首先回答前面提出的问题1，首尾呼应，在解决问题的过程中，学生可以充分体会到公式的作用，感受数学之美；接着是两个例题，例1是正向运用第一个公式，例2是逆向运用第二个公式.通过两个例题，让学生充分体会“知三求一”以及两个公式的适用情况，从而强化对公式的理解和运用.
最后在“总结归纳”环节，笔者先通过两个问题引导学生总结本节课所学知识的重点和关键，然后留下课后思考题引导学生自主探索推导公式的其他方法.
综上可知，精心设计好课堂问题，以问题为载体，启发、引导学生理解知识发生和发展的必要性和合理性，并学会应用所学知识解决实际问题，对提高课堂教学效果和培养学生的能力十分重要.
（责任编辑黄春香）
[关键词]问题导学；等比数列求和；错位相减法
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08000402
“等比数列的前n项和”是高中数学人教A版必修5第二章《数列》的内容，教材中介绍的推导方法是“错位相减法”，如果学生没有课前预习，是难以想到和发现这种方法的.怎样通过“问题”引导，让学生体验、尝试发现的过程，是本节课教学设计的关键.现笔者将自己的思考与设计呈现如下.
一、教学过程
1.新课引入
创设故事情境引入新课：国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗麦粒，第3个格子里放4颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里的两倍，直到第64个格子.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
问题1：国王总共需要给发明者多少颗麦粒？如何计算？
生1：1 2 22 23 … 263.
师：很显然，每个格子的麦粒数构成了一个等比数列，首项是1，公比是2，由等比数列的通项公式an=a1qn-1可以很快写出每个数据.事实上，这就是一个求等比数列前64项和的问题.这节课我们就一起来研究等比数列的前n项和.
2.概念形成
师：研究新知识之前，不妨先来回顾一下我们是如何推导等差数列的前n项和公式的.
问题2：如何推导等差数列的前n项和公式？
生2：倒序相加，通过再构造一个等式，两式相加，把对应项的和转化为a1 an.
师：实质上就是把对应项的和都转化为同一项a1 an，把其余大量的项都消去，只保留a1，an，从而达到简化公式的目的.得到求和公式后，我们就知道等差数列前n项和公式与a1，d，n，an有关.类比过来，即可推出等比数列的前n项和公式.
问题3：等比数列{an}的前n项和公式与哪些量有关呢？
生3：a1，q，n，an.
师：没错，等比数列前n项和公式就是用这几个基本量来表示的.
生4：可以把Sn=a1 a2 a3 … an写成Sn=a1 a1q a1q2 … a1qn-1.
师：很好！根据等差数列前n项和公式的推导方法，我们要对这个式子进行化简，实质上就是要把大量的項消去，使得式子最终只留下有限的几个项.
问题4：如何消项？是否还可以用倒序相加？
生5：不可以，倒序相加后对应项的和不一定相等.
师：倒序相加后对应项的和不能转化为相同的项，所以不行；两式相加不行，那两式相减可不可以消项呢？
生6：不可以，两式相减后全部都消去了.
问题5：如何构造一个新的等式，使得两式相减可以消去大量的项？
生7：两个式子中必须要有一些项不同，其余的项相同.
师：如何构造相同的项呢？我们不妨来回顾一下等比数列的定义.
问题6：等比数列的定义是什么？
生8：从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数q.
师：换句话说，每一项乘上q都等于后一项.是否可以围绕定义构造一个新的等式，使得两式有相同的项？
（学生探究）
生9：把式子的每一项都同乘以q，得到qSn=a1q a1q2 a1q3 … a1qn，两式就出现了大量相同的项.两式相减得（1-q）Sn=a1-a1qn，则
Sn=a1-a1qn1-q
.
师：除以“1-q”要注意什么？
生10：“1-q”不能等于0，即当q≠1时，Sn=a1-a1qn1-q
.
师：当q=1时呢？
生10：当q=1时，数列是常数列，其前n项和公式为Sn=na1.
师：到这里，我们就推导出了等比数列前n项和公式，即
Sn=
na1（q=1），
a1（1-qn）1-q（q≠1）.
用这个公式可以快速地求出任意等比数列的前n项和.在推导公式的过程中，是利用两个等式相减的，并且是错开相减的，所以我们把这种数列求和的方法叫作“错位相减法”.
3.概念深化
师：推导出了公式后，我们还需要进一步深入地认识这个公式.下面课堂进入到第三个环节“概念深化”.
师：首先我们来分析公式的结构，当q≠1时它是分式的结构，分母不能为0，也就是q≠1，再来看分子，a1是首项，q是公比，n是总项数.
问题7：等差数列的前n项和公式，可以用a1、an、n表示，等比数列的前n项和公式是否也可以？
生11：当q≠1时，由通项公式an=a1qn-1可得Sn=a1-anq1-q.
师：很好！那么我们得到了公式的另一种形式.
问题8：这两个公式分别适用于什么情况？
生12：已知a1、q、n用第一个公式，
已知
a1、q、an用第二个公式.
师：当q≠1时，第一个公式中有几个量？
生13：四个.
师：在第一个公式中知道其中三个就可以求第四个，同样在第二个公式中，也是有四个量，知道其中三个就可以求第四个. 4.应用探索
师：相信同学们已经学会了等比数列的前n项和公式，让我们回到一开始提出的问题1中，请同学们计算一下国王总共需要给发明者多少颗麦子.
（学生计算得到1 2 22 23 … 263=
1×（1-264）1-2
=264-1
）
师：“264-1”这个数很大，约等于1.84×1019，这么多颗麦子计算重量的话已经超过了7000亿吨，即便国王拿出全国的糧食，也不够赏给发明者.如果国王学过等比数列的前n项和公式的话，就可以计算出来需要这么多的麦子，也就不会这么爽快地答应发明者的要求了.
师：看来同学们已经能够熟练运用等比数列的前n项和公式解决问题了，接下来，我们将通过一些练习来巩固对公式的理解和运用.
【例1】已知等比数列12，
14，18，…，（1）求前8项之和；（2）求第5项到第10项之和.
【例2】等比数列{an}中，若Sn=189，q=2，an=96，求a1、n.
5.总结归纳
师：通过这节课的学习，你能够解决什么问题？我们是如何推导出等比数列的前n项和公式的？那
还有没有其他推导等比数列前n项和公式的方法？请同学们课后思考.
二、教学思考
上述教学是围绕“问题导学”教学法的五环节“新课引入、概念形成、概念深化、应用探索、总结归纳”来展开的，整个教学过程以问题为载体，引导学生推导公式并运用公式解决问题，收到了良好的教学效果.
第一环节“新课引入”，首先创设国际象棋与麦粒的
故事情境，然后再抛出问题1，激发学生的求知欲.在教师的引导下，学生要计算麦粒的总数，可把64个项逐一相加，但是运算量太大，学生难以计算，此时学生就会想知道有没有其他简便的计算方法，教师引入等比数列前n项和的问题就水到渠成了.
第二环节“概念形成”的主要任务是公式的推导，要注重引导学生理解公式推导过程的合理性.公式的推导实际就是化简，难点在于如何想到要两边同时乘以公比q.知识不是平白无故产生的，如何让公式的推导过程能够自然合理地呈现给学生，需要教师通过问题来引导.问题2和问题3的目的是以旧引新，回顾等差数列前n项和公式以及推导过程，即利用倒序相加消去大量的项，达到简化公式的目的，并且化简后的公式是用基本量表示；类比过来，等比数列的前n项和公式也可以通过消项来达到化简目的.通过这两个问题，为公式的推导找到了方向，且明确了公式化简的标志是能用基本量表示出来.接下来，要解决的问题是怎样才能消项化简，这是难点.根据已有经验，学生很容易会想到继续利用倒序相加法，因此提出问题4，学生尝试后便会发现运用倒序相加法行不通.加减乘除是基本的运算法则，两式相加不行，那相减呢？由此自然地提出了问题5，引导学生思考如何构造新的等式，再通过问题6复习等比数列的定义，学生就比较容易想到构造相同项的方法——每一项都同乘以公比q.至此，学生就可以顺利地进行后续的推导了.通过这一系列问题的铺垫，使学生的思维活动步步深入，充分感受到两边同乘以公比q的合理性，感悟错位相减法的应用价值，提高了解决问题能力.
第三环节“概念深化”要注重挖掘公式的内涵与外延.通过问题引导学生对公式的结构、形式、适用范围等进行深化认识，认清公式的本质特征，从而学会熟练地运用公式解决实际问题.在不少教学设计中，教师会向学生介绍其他的推导方法，本节课的重点是利用错位相减法推导公式，错位相减法是后续学习数列求和的重要方法之一，因此，教师应该重点介绍错位相减法，让学生掌握好这一方法，其他的方法可让学生课后自主探究.
第四环节“应用探索”的主要任务是例题的讲解，检验学生是否能够运用公式解决问题.在这一环节中，教师要思考为什么要讲这些题，目的是什么.笔者在教学中，首先回答前面提出的问题1，首尾呼应，在解决问题的过程中，学生可以充分体会到公式的作用，感受数学之美；接着是两个例题，例1是正向运用第一个公式，例2是逆向运用第二个公式.通过两个例题，让学生充分体会“知三求一”以及两个公式的适用情况，从而强化对公式的理解和运用.
最后在“总结归纳”环节，笔者先通过两个问题引导学生总结本节课所学知识的重点和关键，然后留下课后思考题引导学生自主探索推导公式的其他方法.
综上可知，精心设计好课堂问题，以问题为载体，启发、引导学生理解知识发生和发展的必要性和合理性，并学会应用所学知识解决实际问题，对提高课堂教学效果和培养学生的能力十分重要.
（责任编辑黄春香）