论文部分内容阅读
数学包含很多内容，而这丰富多彩的内容反映了哪些共同的、带有本质性的东西？实践和研究都已说明，这就是数学思想和数学方法。所以要学好数学就必须掌握数学思想和数学方法。
一、 数学思想
数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例）以及数学方法的本质的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。通常认为数学思想包括方程思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和对应思想等。数学思想方法的渗透和学习对人的成长和发展到底有什么作用？日本的著名数学家米山国藏曾说过：“不管他们从事什么业务工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若培养了这方面的素质的话），却随时随地发生作用，使他们受益终生。”也就是，在以后的学习和工作中，他们可能把具体的数学知识忘了，但数学地思考问题的方法将永存。
1.“方程”的思想
数学是研究事物的空间形式和数量的关系，所谓的“方程”思想就是对于数学问题，特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系，善于用“方程”的观点去构建有关的等式关系，进而运用相应的方法去解决它。
2.“转化”的思想
“转化”思想解决数学问题是最有效最根本的方法和途径，通常表现为化难为易、化繁为简、化未知为已知的过程，也就是把繁杂的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段，逐渐将它转变成一个大家熟知的简单的数学形式，然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决。
3.“数形结合”的思想
代数是研究“数”的，几何是研究“形”的。但是，研究代数要借助“形”，研究几何要借助“数”，“数形结合”是一种趋势，且“数”与“形”越来越密不可分，新课标八年级研究函数的问题就离不开图像了，借助图像使问题非常直观，比较容易找到问题的关键所在，从而解决问题。
4.“分类讨论”的思想
在数学问题中有些问题表现形式多样化，因此对某些特征也需从多方面论证来说明其特征。比如“圆周角定理”的证明，对圆周角与圆心的位置关系分三方面来论证，这也体现了数学的严谨和完美，不能以偏概全。
5.“对应”的思想
随着学习的深入，我们还将“对应”扩展到对应一种形式，对应一种关系，等等。比如我们在计算或化简中，将对应公式的左边，x对应a，y对应b，再利用公式的右边直接得出原式的结果。这就是运用“对应”的思想和方法来解题。七年级我们已经看到数轴上的点与实数之间的一一对应，直角坐标平面上的点与一对有序实数之间的一一对应，八年级还有函数与其图像之间的对应。“对应”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用。
二、数学方法
1.函数与方程的思想方法
任何事物都是运动变化的，所以用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，寻找已知与未知之间的内在联系，再把这些联系与数学知识联想起来，建立函数关系或列出方程，利用函数性质或方程来解决问题的目的，这种数学思想方法称之为函数与方程的思想方法，这是现代数学的一种基本方法。
2.归纳的思想方法
所谓归纳法就是从特殊到一般的推理方法，归纳分为两种形式：完全和不完全。完全归纳法：所谓完全归纳法就是根据一切特殊情况的考虑而作出的推理，由于应用完全归纳法时必须考虑所有对象的情况，所以得出的结论自然是可靠的，不过在一般情况下，所要考虑的对象总是相当的，甚至是无穷多的。特别在数学里，我们常常需要了解无穷多个对象的情况。
不完全归纳法：不完全归纳法就是根据一个或几个（但不是全部）特别情况作出的推理。其实归纳法还有一种用得比较多的方法那就是数学归纳法。归纳是一种基本的思想方法，通过对问题的若干种简单或特殊情况的探索、分析和研究，由表及里，由特殊到一般，从中发现某种规律，进而总结出一般结论，利用这种规律，找到解决一般问题的途径。
3.化归思想方法
在数学学习中经常会用到化归思想。例如，学习过有理数加法以后，在做有理数减法时，则利用相反数的概念，将减法化归为加法来做，即减去一个数等于加上这个数的相反数；做除法时，则利用倒数概念化归为乘法来做，即除以一个数等于乘以这个数的倒数。这些已是司空见惯，不足为奇。
4.数形结合的思想方法
“数形结合”是指对题目中的条件和结论既分析其代数意义又分析其几何意义，力图通过“数”与“形”的结合和转化找出解题思路。它作为一种基本的数学思想方法，沟通了代数、三角、几何的内在联系。著名数学家华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，数缺形时少直觉，形少数时难入微。“以形助数”可使抽象概念和关系直观而形象，“以数解形”用数去研究形可获得一般化的解法。
由此可见，数形结合，可使解题过程“化繁为简、化难为易”，能使学生加深对知识的理解与掌握，能更好地培养学生思维的灵活性和创造性。
数学思想和数学方法的关系非常密切，数学思想是人们在长期的数学活动中提练出的高层次的观念性思维形式，是对数学知识和方法的本质的认识；数学方法，是分析解决问题和实现数学思想的操作手段和工具，是数学思想的具体化反映。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度时，就会产生飞跃，从而上升为数学思想，数学思想对数学方法起着指导作用。因此，人们通常将数学思想方法看成一个整体概念。◆(作者单位：江西省进贤县星火学校)
责任编辑：包韬略
一、 数学思想
数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例）以及数学方法的本质的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。通常认为数学思想包括方程思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和对应思想等。数学思想方法的渗透和学习对人的成长和发展到底有什么作用？日本的著名数学家米山国藏曾说过：“不管他们从事什么业务工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若培养了这方面的素质的话），却随时随地发生作用，使他们受益终生。”也就是，在以后的学习和工作中，他们可能把具体的数学知识忘了，但数学地思考问题的方法将永存。
1.“方程”的思想
数学是研究事物的空间形式和数量的关系，所谓的“方程”思想就是对于数学问题，特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系，善于用“方程”的观点去构建有关的等式关系，进而运用相应的方法去解决它。
2.“转化”的思想
“转化”思想解决数学问题是最有效最根本的方法和途径，通常表现为化难为易、化繁为简、化未知为已知的过程，也就是把繁杂的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段，逐渐将它转变成一个大家熟知的简单的数学形式，然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决。
3.“数形结合”的思想
代数是研究“数”的，几何是研究“形”的。但是，研究代数要借助“形”，研究几何要借助“数”，“数形结合”是一种趋势，且“数”与“形”越来越密不可分，新课标八年级研究函数的问题就离不开图像了，借助图像使问题非常直观，比较容易找到问题的关键所在，从而解决问题。
4.“分类讨论”的思想
在数学问题中有些问题表现形式多样化，因此对某些特征也需从多方面论证来说明其特征。比如“圆周角定理”的证明，对圆周角与圆心的位置关系分三方面来论证，这也体现了数学的严谨和完美，不能以偏概全。
5.“对应”的思想
随着学习的深入，我们还将“对应”扩展到对应一种形式，对应一种关系，等等。比如我们在计算或化简中，将对应公式的左边，x对应a，y对应b，再利用公式的右边直接得出原式的结果。这就是运用“对应”的思想和方法来解题。七年级我们已经看到数轴上的点与实数之间的一一对应，直角坐标平面上的点与一对有序实数之间的一一对应，八年级还有函数与其图像之间的对应。“对应”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用。
二、数学方法
1.函数与方程的思想方法
任何事物都是运动变化的，所以用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，寻找已知与未知之间的内在联系，再把这些联系与数学知识联想起来，建立函数关系或列出方程，利用函数性质或方程来解决问题的目的，这种数学思想方法称之为函数与方程的思想方法，这是现代数学的一种基本方法。
2.归纳的思想方法
所谓归纳法就是从特殊到一般的推理方法，归纳分为两种形式：完全和不完全。完全归纳法：所谓完全归纳法就是根据一切特殊情况的考虑而作出的推理，由于应用完全归纳法时必须考虑所有对象的情况，所以得出的结论自然是可靠的，不过在一般情况下，所要考虑的对象总是相当的，甚至是无穷多的。特别在数学里，我们常常需要了解无穷多个对象的情况。
不完全归纳法：不完全归纳法就是根据一个或几个（但不是全部）特别情况作出的推理。其实归纳法还有一种用得比较多的方法那就是数学归纳法。归纳是一种基本的思想方法，通过对问题的若干种简单或特殊情况的探索、分析和研究，由表及里，由特殊到一般，从中发现某种规律，进而总结出一般结论，利用这种规律，找到解决一般问题的途径。
3.化归思想方法
在数学学习中经常会用到化归思想。例如，学习过有理数加法以后，在做有理数减法时，则利用相反数的概念，将减法化归为加法来做，即减去一个数等于加上这个数的相反数；做除法时，则利用倒数概念化归为乘法来做，即除以一个数等于乘以这个数的倒数。这些已是司空见惯，不足为奇。
4.数形结合的思想方法
“数形结合”是指对题目中的条件和结论既分析其代数意义又分析其几何意义，力图通过“数”与“形”的结合和转化找出解题思路。它作为一种基本的数学思想方法，沟通了代数、三角、几何的内在联系。著名数学家华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，数缺形时少直觉，形少数时难入微。“以形助数”可使抽象概念和关系直观而形象，“以数解形”用数去研究形可获得一般化的解法。
由此可见，数形结合，可使解题过程“化繁为简、化难为易”，能使学生加深对知识的理解与掌握，能更好地培养学生思维的灵活性和创造性。
数学思想和数学方法的关系非常密切，数学思想是人们在长期的数学活动中提练出的高层次的观念性思维形式，是对数学知识和方法的本质的认识；数学方法，是分析解决问题和实现数学思想的操作手段和工具，是数学思想的具体化反映。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度时，就会产生飞跃，从而上升为数学思想，数学思想对数学方法起着指导作用。因此，人们通常将数学思想方法看成一个整体概念。◆(作者单位：江西省进贤县星火学校)
责任编辑：包韬略