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一、引言
双起泡图是思维地图八大图示中的一个图示，思维地图最早由美国的Davidhyerle博士于1988年开发的，是一种用于帮助学习的思维工具。本文重点阐述其中的一个图示——双起泡图，并结合其在小学数学教学中的应用，与一般教学进行对比研究。
二、双起泡图介绍
双起泡图顾名思义是由泡泡组合的一种图示，双起泡图的作用是比较两种相似的概念、图形或其他的事物，在左右两个圆圈内分别写上需要比较的中心词，接着引导孩子进行思维激发，找出两个中心词的相同点，将相同的部分写在两个中心词起泡的中间。找出的不同点分别写在中心词的一侧，但值得注意的是不同点需要遵守一一对应的原则进行发现和书写，这样整个双起泡图就能以一幅图的形式展现两个中心词的相同点及不同点了。具体图示如下：
三、双起泡图优化小学数学教学的理论基础
（一）双起泡图与思维可视化
思维是人脑对于事物间接、概括的反映。思维过程是在头脑中对事物进行。分析、综合、比较、概括、抽象、分类、因果分析等过程。因此思维地图为学习者提.供了一种思维可视化的模式，特别对处于7-12岁的小学生来说，根据皮亚杰的’认知发展阶段理论，这个阶段的孩子处-于具体运算阶段，即将过渡到形式运算，阶段。思维的可视化工具有助于孩子将头脑中的“想”和现实中的“做”通过画图
整理出来。而作为思维地图中的双起泡图就是这样一种用于对比的思维可视化 工具。
（二）双起泡图与数形结合
数学是一门研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。依据此定义，我们可以看出，数学的研究对象涉及两大部分内容，一部分是“数”，另一部分是“形”，“数”与“形”可以认为是表征数学知识的两种形式。虽然“数”和“形”之间看起来毫无关联，但实际上它们之间却有着紧密的联系，而这种联系就形成了数形结合。因而数形结合是一种重要的数学思想方法。
张同君从解题理论的角度提出，数形结合就是在问题解决中将能够进行精确刻画的数量关系和能够体现形象直观的空间形式两者紧密结合起来，充分调用代数与几何这两个工具，挖掘、揭露问题的深层结构，最终解决问题。
四、双起泡图在优化小学数学教学中的具体应用
（一）鸡兔同笼的双起泡图解题法
鸡兔同笼的题目：笼子里有鸡和兔若干只，从上面数有8个头，从下面数有26只脚，笼子里各有鸡兔多少只？
1.传统教学方法假设法是鸡兔同笼问题的一般方法，即先假设全部是鸡或兔，根据假设得到的腿数和实际的腿数进行对比，求出鸡或兔的只数。
假设法是解题时的一般解法，它的优点在于解题的一般性较强。但这需要孩子们有足够清晰的思路和分析推理能力。但教师平时的教学中却很难给孩子们捋顺鸡兔同笼的思路，导致分析推理陷入一知半解的地步。这主要的原因在于教师在此教学上常常采用一种语言逻辑推理，而忽略了图形结合的教学方式。在此基础上笔者认为可以引进数形结合的方法对纯语言式的假设推理进行优化，通过思维可视化工具达到强化解題步骤和锻炼思维能力的目的。所以在此基础上推荐一种新的假设法解题——双起泡图解题法，它融人了图形和比较，使得孩子们头脑中的思路更加清晰明了地体现在解题步骤上，而且更易于鸡兔同笼问题的迁移，建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。
2.双起泡图解题法
将鸡兔同笼和鸡鸡同笼表示双起泡图的两个中心，引导孩子发现两个“笼子”中的动物的相同点和不同点。孩子们能快速发现无论是鸡兔同笼还是鸡鸡同笼，它们的总只数都是不变的。关注到了鸡兔的总只数不变之后，自然而然题目中的另一个条件“26只脚”会进入孩子们的思维中，这时将“26只脚”写在“鸡兔”的一边，聪明的孩子会发现，“鸡鸡”同笼的这边的脚为“①2x8=16（只）”；继续引导发现它们的不同点，孩子们会很快发现，笼子里的兔子变成鸡后，每只兔子少了两只脚。画到这儿，孩子们把题目中的信息转化成了图形上的对比，愿意动脑的小朋友能很快地发现，“鸡兔同笼”变成“鸡鸡同笼”，有两个发现如上图：整理得：
假设笼子里关的全部是鸡。
解：（1）8x2=16（只）
（2）26-16=10（只）
（3）4-2=2（只）
（4堍：10÷2=5（只）
（5鹏：8-5=3（只）
答：笼子里有鸡3只，兔5只。
设计意图：小学生对有顺序的解题步骤停留的记忆更深刻，而且将纯语言的解题利用图示可视化，可增加小朋友的解题兴趣。双起泡图将假设法通过数形结合的方式，将内隐的思维语言体现在图示上，更好地强化了思路，实现迁移。
3.双起泡图在鸡兔同笼教学中的优化教学
双起泡图解鸡兔同笼问题的优点显而易见，既能以孩子感兴趣的方式画图解题，同时在画图的同时进一步强化了解题思路和步骤，有利于孩子建立鸡兔同笼的数学模型。但其在初始解题阶段，需要耐心引导孩子了解双起泡图的形式和作用，将这样的一种思维可视化工具作为可随意提取的一种思维解题工具，而不是新知识的负载。笔者相信在未来的数学世界里，会有更多的思维碰撞出火花，重新点燃孩子心中的兴趣之引，耀满星空。
双起泡图是思维地图八大图示中的一个图示，思维地图最早由美国的Davidhyerle博士于1988年开发的，是一种用于帮助学习的思维工具。本文重点阐述其中的一个图示——双起泡图，并结合其在小学数学教学中的应用，与一般教学进行对比研究。
二、双起泡图介绍
双起泡图顾名思义是由泡泡组合的一种图示，双起泡图的作用是比较两种相似的概念、图形或其他的事物，在左右两个圆圈内分别写上需要比较的中心词，接着引导孩子进行思维激发，找出两个中心词的相同点，将相同的部分写在两个中心词起泡的中间。找出的不同点分别写在中心词的一侧，但值得注意的是不同点需要遵守一一对应的原则进行发现和书写，这样整个双起泡图就能以一幅图的形式展现两个中心词的相同点及不同点了。具体图示如下：
三、双起泡图优化小学数学教学的理论基础
（一）双起泡图与思维可视化
思维是人脑对于事物间接、概括的反映。思维过程是在头脑中对事物进行。分析、综合、比较、概括、抽象、分类、因果分析等过程。因此思维地图为学习者提.供了一种思维可视化的模式，特别对处于7-12岁的小学生来说，根据皮亚杰的’认知发展阶段理论，这个阶段的孩子处-于具体运算阶段，即将过渡到形式运算，阶段。思维的可视化工具有助于孩子将头脑中的“想”和现实中的“做”通过画图
整理出来。而作为思维地图中的双起泡图就是这样一种用于对比的思维可视化 工具。
（二）双起泡图与数形结合
数学是一门研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。依据此定义，我们可以看出，数学的研究对象涉及两大部分内容，一部分是“数”，另一部分是“形”，“数”与“形”可以认为是表征数学知识的两种形式。虽然“数”和“形”之间看起来毫无关联，但实际上它们之间却有着紧密的联系，而这种联系就形成了数形结合。因而数形结合是一种重要的数学思想方法。
张同君从解题理论的角度提出，数形结合就是在问题解决中将能够进行精确刻画的数量关系和能够体现形象直观的空间形式两者紧密结合起来，充分调用代数与几何这两个工具，挖掘、揭露问题的深层结构，最终解决问题。
四、双起泡图在优化小学数学教学中的具体应用
（一）鸡兔同笼的双起泡图解题法
鸡兔同笼的题目：笼子里有鸡和兔若干只，从上面数有8个头，从下面数有26只脚，笼子里各有鸡兔多少只？
1.传统教学方法假设法是鸡兔同笼问题的一般方法，即先假设全部是鸡或兔，根据假设得到的腿数和实际的腿数进行对比，求出鸡或兔的只数。
假设法是解题时的一般解法，它的优点在于解题的一般性较强。但这需要孩子们有足够清晰的思路和分析推理能力。但教师平时的教学中却很难给孩子们捋顺鸡兔同笼的思路，导致分析推理陷入一知半解的地步。这主要的原因在于教师在此教学上常常采用一种语言逻辑推理，而忽略了图形结合的教学方式。在此基础上笔者认为可以引进数形结合的方法对纯语言式的假设推理进行优化，通过思维可视化工具达到强化解題步骤和锻炼思维能力的目的。所以在此基础上推荐一种新的假设法解题——双起泡图解题法，它融人了图形和比较，使得孩子们头脑中的思路更加清晰明了地体现在解题步骤上，而且更易于鸡兔同笼问题的迁移，建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。
2.双起泡图解题法
将鸡兔同笼和鸡鸡同笼表示双起泡图的两个中心，引导孩子发现两个“笼子”中的动物的相同点和不同点。孩子们能快速发现无论是鸡兔同笼还是鸡鸡同笼，它们的总只数都是不变的。关注到了鸡兔的总只数不变之后，自然而然题目中的另一个条件“26只脚”会进入孩子们的思维中，这时将“26只脚”写在“鸡兔”的一边，聪明的孩子会发现，“鸡鸡”同笼的这边的脚为“①2x8=16（只）”；继续引导发现它们的不同点，孩子们会很快发现，笼子里的兔子变成鸡后，每只兔子少了两只脚。画到这儿，孩子们把题目中的信息转化成了图形上的对比，愿意动脑的小朋友能很快地发现，“鸡兔同笼”变成“鸡鸡同笼”，有两个发现如上图：整理得：
假设笼子里关的全部是鸡。
解：（1）8x2=16（只）
（2）26-16=10（只）
（3）4-2=2（只）
（4堍：10÷2=5（只）
（5鹏：8-5=3（只）
答：笼子里有鸡3只，兔5只。
设计意图：小学生对有顺序的解题步骤停留的记忆更深刻，而且将纯语言的解题利用图示可视化，可增加小朋友的解题兴趣。双起泡图将假设法通过数形结合的方式，将内隐的思维语言体现在图示上，更好地强化了思路，实现迁移。
3.双起泡图在鸡兔同笼教学中的优化教学
双起泡图解鸡兔同笼问题的优点显而易见，既能以孩子感兴趣的方式画图解题，同时在画图的同时进一步强化了解题思路和步骤，有利于孩子建立鸡兔同笼的数学模型。但其在初始解题阶段，需要耐心引导孩子了解双起泡图的形式和作用，将这样的一种思维可视化工具作为可随意提取的一种思维解题工具，而不是新知识的负载。笔者相信在未来的数学世界里，会有更多的思维碰撞出火花，重新点燃孩子心中的兴趣之引，耀满星空。