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提高教学效益是解决教材内容的丰富性与教学时间的有限性这对矛盾的主要途径。精选题目、提炼方法，是收事半功倍之效的有效手段，变式拓展使学生思维充满活力，让学生的数学智慧无处不在。
在学习《集合》时，经常遇到集合运算的题目。
例1.已知集合Ａ＝｛ｘ｜-１＜ｘ≤２｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≥ａ｝，若Ａ∩Ｂ≠Φ，求实数ａ的取值范围。
题目较基础，容易求得实数ａ的取值范围是ａ≤２。但掩卷而思，集合Ｂ本身是一个随ａ变化的不确定的集合，如果改变集合Ｂ的结构形式，将会使思维发散开。
变式１：Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＜ａ｝，与例1类似易得ａ的取值范围是ａ＞－１。
变式2：Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≥ａ或ｘ＜－３ａ＋１｝，当ａ≤－３ａ＋１即ａ≤时，Ｂ＝Ｒ，满足题意；当ａ＞－３ａ＋１即ａ＞时，有ａ≤２或－３ａ＋１≥－１，得＜ａ≤2。
变式使思维充满活力，给解题带来勃勃生机，变中求新，变中出新意，变使知识发展、升华为能力，变中生成智慧。题目虽小，但蕴含的数学思想丰富,变式拓展，思路流畅，让思维的火花尽情绽放。
例2．已知椭圆Ｃ：■＋■＝■（ｍ＞０），经过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ且斜率为ｋ（ｋ≠０）的直线交椭圆Ｃ于Ａ、Ｂ两点，Ｍ为线段ＡＢ的中点，设Ｏ为椭圆的中心，射线ＯＭ交椭圆Ｃ于Ｎ点。
（１）是否存在ｋ，使对任意ｍ＞０，总有■＋■＝■成立？若存在，求出ｋ的值。
（２）若■·■＝－■（ｍ３＋４ｍ），求实数ｋ的取值范围。
本题涉及知识点多，综合性强，对学生的解题能力和数学素养要求颇高．但题目条理清晰，条件环环相扣，逐层递进，椭圆的焦点、直线的斜率、直线与椭圆的交点、中点等解析几何的基础知识有机联系，只需从直线与椭圆的交点Ａ、Ｂ入手，就能逐步求解。
解：椭圆Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为（ｍ，０），则直线Ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－ｍ），由y=k(x-m)■+■=■得（6+10k2）x2-20k2mx+(10k2-15)=0。
设A（x1，y1）、B（x2、y2），则有
x1+x2=■x1x2=■
（１）由■+■＝■可得Ｎ点的坐标为（■，-■），因Ｎ点在椭圆Ｃ上，将Ｎ点坐标代入椭圆方程化简并整理，得５k４－２k２－３＝０，解得ｋ＝±１。
即存在ｋ＝±１使对任意ｍ＞０，总有■+■＝■成立。
（２）由■·■＝－■（ｍ３＋４ｍ），得ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝－■（ｍ３＋４ｍ），即（1＋ｋ２）ｘ１ｘ２－ｋ２ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｋ２ｍ２＝－■（ｍ３＋４ｍ），整理得（３＋５ｋ２）ｍ２＋（ｋ２－１５）ｍ＋４（３＋５ｋ２）＝０
由△≥０解得－■≤ｋ≤■．又k≠0，所以k的取值范围是－■≤ｋ≤■且k≠0。
借题发挥，通过变式、类比、联想、探究，拓展学生思维，提升学生的数学素养，构建知识方法体系。
例3.已知圆M：（x+■）2+y2=36，定点N（■，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足■=2■，■·■=0。求点G的轨迹C的方程。
解析：由■=2■及■·■=0得Q为PN的中点且GQ⊥PN?圯GQ为PN的垂直平分线?圯|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=■，∴短半轴b=2，∴点G的轨迹是椭圆，其方程为■+■=1。
引导学生改变题目条件，当定点N在圆M外时，比如把圆Ｍ的半径改为４，就有：
问题１ 已知圆M：（x+■）2+y2=16，定点N（■，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在直线MP上，且满足■=2■，■·■=0。求点G的轨迹的方程。
解析：由■=2■及■·■=0得Q为PN的中点且GQ⊥PN
?圯GQ为PN的垂直平分线?圯|PG|=|GN|
∴||GN|-|GM||=|MP|=４，故G点的轨迹是以M、N为焦点的双曲线，其实半轴长a=２，半焦距c=■，∴虚半轴b=１，∴点G的轨迹方程是■-y2=1。
回归定义，利用双曲线定义求出动点Ｑ的轨迹方程．把定圆改为椭圆，联系三角形相关知识有：
问题2 已知F1、F2是椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左、右两个焦点，点P为椭圆C上的动点，△FFP的顶点P的外角平分线为L，求右焦点F2关于直线L的对称点Q的轨迹方程。
解析：回归到角平分线、圆、椭圆的定义，F2关于L的对称点Q一定在F1P的延长线上，且|PQ|=|PF2|?圯|QF1|=|QP|+|PF1|=|PF2|+|PF1|=2a（常数），故Ｑ的轨迹是以F1为圆心，２ａ为半径的圆，其方程为（ｘ＋■）2＋ｙ2＝４ａ2。
数学教学的基本出发点是培养学生的创新意识和创新能力，要善于从题目中捕捉创新的有效信息与合理成分，及时引导点拨，拓展学生智慧的生成空间，打开学生思维窗口，让学生的思维鲜活起来，让数学智慧无处不在。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
在学习《集合》时，经常遇到集合运算的题目。
例1.已知集合Ａ＝｛ｘ｜-１＜ｘ≤２｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≥ａ｝，若Ａ∩Ｂ≠Φ，求实数ａ的取值范围。
题目较基础，容易求得实数ａ的取值范围是ａ≤２。但掩卷而思，集合Ｂ本身是一个随ａ变化的不确定的集合，如果改变集合Ｂ的结构形式，将会使思维发散开。
变式１：Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＜ａ｝，与例1类似易得ａ的取值范围是ａ＞－１。
变式2：Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≥ａ或ｘ＜－３ａ＋１｝，当ａ≤－３ａ＋１即ａ≤时，Ｂ＝Ｒ，满足题意；当ａ＞－３ａ＋１即ａ＞时，有ａ≤２或－３ａ＋１≥－１，得＜ａ≤2。
变式使思维充满活力，给解题带来勃勃生机，变中求新，变中出新意，变使知识发展、升华为能力，变中生成智慧。题目虽小，但蕴含的数学思想丰富,变式拓展，思路流畅，让思维的火花尽情绽放。
例2．已知椭圆Ｃ：■＋■＝■（ｍ＞０），经过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ且斜率为ｋ（ｋ≠０）的直线交椭圆Ｃ于Ａ、Ｂ两点，Ｍ为线段ＡＢ的中点，设Ｏ为椭圆的中心，射线ＯＭ交椭圆Ｃ于Ｎ点。
（１）是否存在ｋ，使对任意ｍ＞０，总有■＋■＝■成立？若存在，求出ｋ的值。
（２）若■·■＝－■（ｍ３＋４ｍ），求实数ｋ的取值范围。
本题涉及知识点多，综合性强，对学生的解题能力和数学素养要求颇高．但题目条理清晰，条件环环相扣，逐层递进，椭圆的焦点、直线的斜率、直线与椭圆的交点、中点等解析几何的基础知识有机联系，只需从直线与椭圆的交点Ａ、Ｂ入手，就能逐步求解。
解：椭圆Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为（ｍ，０），则直线Ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－ｍ），由y=k(x-m)■+■=■得（6+10k2）x2-20k2mx+(10k2-15)=0。
设A（x1，y1）、B（x2、y2），则有
x1+x2=■x1x2=■
（１）由■+■＝■可得Ｎ点的坐标为（■，-■），因Ｎ点在椭圆Ｃ上，将Ｎ点坐标代入椭圆方程化简并整理，得５k４－２k２－３＝０，解得ｋ＝±１。
即存在ｋ＝±１使对任意ｍ＞０，总有■+■＝■成立。
（２）由■·■＝－■（ｍ３＋４ｍ），得ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝－■（ｍ３＋４ｍ），即（1＋ｋ２）ｘ１ｘ２－ｋ２ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｋ２ｍ２＝－■（ｍ３＋４ｍ），整理得（３＋５ｋ２）ｍ２＋（ｋ２－１５）ｍ＋４（３＋５ｋ２）＝０
由△≥０解得－■≤ｋ≤■．又k≠0，所以k的取值范围是－■≤ｋ≤■且k≠0。
借题发挥，通过变式、类比、联想、探究，拓展学生思维，提升学生的数学素养，构建知识方法体系。
例3.已知圆M：（x+■）2+y2=36，定点N（■，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足■=2■，■·■=0。求点G的轨迹C的方程。
解析：由■=2■及■·■=0得Q为PN的中点且GQ⊥PN?圯GQ为PN的垂直平分线?圯|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=■，∴短半轴b=2，∴点G的轨迹是椭圆，其方程为■+■=1。
引导学生改变题目条件，当定点N在圆M外时，比如把圆Ｍ的半径改为４，就有：
问题１ 已知圆M：（x+■）2+y2=16，定点N（■，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在直线MP上，且满足■=2■，■·■=0。求点G的轨迹的方程。
解析：由■=2■及■·■=0得Q为PN的中点且GQ⊥PN
?圯GQ为PN的垂直平分线?圯|PG|=|GN|
∴||GN|-|GM||=|MP|=４，故G点的轨迹是以M、N为焦点的双曲线，其实半轴长a=２，半焦距c=■，∴虚半轴b=１，∴点G的轨迹方程是■-y2=1。
回归定义，利用双曲线定义求出动点Ｑ的轨迹方程．把定圆改为椭圆，联系三角形相关知识有：
问题2 已知F1、F2是椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左、右两个焦点，点P为椭圆C上的动点，△FFP的顶点P的外角平分线为L，求右焦点F2关于直线L的对称点Q的轨迹方程。
解析：回归到角平分线、圆、椭圆的定义，F2关于L的对称点Q一定在F1P的延长线上，且|PQ|=|PF2|?圯|QF1|=|QP|+|PF1|=|PF2|+|PF1|=2a（常数），故Ｑ的轨迹是以F1为圆心，２ａ为半径的圆，其方程为（ｘ＋■）2＋ｙ2＝４ａ2。
数学教学的基本出发点是培养学生的创新意识和创新能力，要善于从题目中捕捉创新的有效信息与合理成分，及时引导点拨，拓展学生智慧的生成空间，打开学生思维窗口，让学生的思维鲜活起来，让数学智慧无处不在。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”