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最近发展区 理论在现在的教学过程中应用得越来越多，这一理论要求教师在教学设计时，应以学生的最近发展区为契机和平台，激发学生的思维操作，进而提升学生的数学认知水平和能力.在教学过程中，把数学教学的侧重点从学生已经完成的发展过程转移到正在形成或成熟的发展过程，了解学生某一知识和能力形成的最佳期限，抓住数学认知发展的关键期，并在该知识和能力形成时对学生施以最大影响，从而促进学生数学能力提升.现以椭圆及其标准方程为例，谈谈我在教学过程中对这一理论的实践.
一、创设情境 引入新课
问题1：将一根没有弹性的细绳对折，把重合的两个端点固定在黑板上的一点，用笔尖套入另一端将绳拉紧，使笔尖在黑板上移动一周会生成怎样的轨迹呢？
学生：轨迹是圆.
问题2：把刚才重合的两个端点分开固定在黑板上的F1，F2 两点上，当绳长大于F1，F2两点的距离时，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上移动一周，又会生成怎样的轨迹呢？
教师引导学生，通过动手实验画图，得出结论：当常数=|F1F2|时，与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是线段F1F2；当常数<|F1F2|时，与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹不存在.
二、深入探索 推导方程
问题3：求曲线方程的基本步骤是什么？
学生回顾：建（系）—设（点）—限（约束条件）—代（入）—化（简）.
问题4：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简单？如何求椭圆的方程？
教师引导学生增设台阶：
（1）利用对称性建立坐标系；
（2）设置常数2a，2c；
（3）化简方程，两次平方；
（4）引出b2.
师生共同活动：利用椭圆的对称性特征
①以直线F1F2为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
②设焦距为2c（c>0），则F1（-c，0），F2（c，0）.设P（x，y）为椭圆上任意一点，点P与点F1，F2的距离之和为2a（2a>2c）.
③动点P满足的几何约束条件： PF1 PF2 =2a.
④坐标化： （x c）2 y2 （x-c）2 y2 =2a.
⑤化简：引导学生思考如何去根号（移项后两次平方法）先移项 （x c）2 y2 =2a- （x-c）2 y2 .
再方程两边平方 （x c）2 y2=4a2-4a （x-c）2 y2 （x-c）2 y2.
整理得a2-cx=a （x-c）2 y2 再两边平方a4-2a2cx c2x2=a2x2-2a2cx a2c2 a2y2.
化简，得（a2-c2）x2 a2y2=a2（a2-c2），
两边同除a2（a2-c2），得 x2 a2 y2 a2-c2 =1，
由定义2a>2c，∴a2-c2>0，椭圆具有对称性，表示它的方程也该有对称性，教师引导学生观察椭圆图形和推导出的椭圆方程的系数，学生容易发现三个基本量a，c， a2-c2 都表示椭圆中的特殊线段，不妨令a2-c2=b2，得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 x2 a2 y2 b2 =1（a>b>0）.这样表示的椭圆方程体现了对称美、简洁美.
问题5：如何求焦点在x轴上的椭圆的标准方程？
学生：按上述方法，可求出方程为 y2 a2 x2 b2 =1（a>b>0）.
设计意图：学生的现实发展水平是：掌握椭圆的定义，会求曲线方程的一般步骤，会化简含一个根式的方程.需要跨越的发展区是：根据椭圆定义推导椭圆方程；根据求曲线方程的一般步骤，结合椭圆特点，将椭圆放在恰当的坐标系中，设点的坐标；根据化简根式的一般方法化简两个根式.椭圆标准方程的推导是教学的难点，直接讲授学生可能难以理解和掌握.教师应在现有水平和目标水平之间增设“台阶”，即构建若干个最近发展区，不断把学生的“最近发展区”转化成现有水平，逐层递进，把学生的能力提高到目标水平.每一步的跨越学生既可及又使力的新知生成方式是运用最近发展区理论的较好策略.
（1）利用对称性建立坐标系；
（2）设置常数2a，2c；
（3）化简方程，两次平方；
（4）引出b2.
三、知识运用，深化理解
1.运用新知，解决例题
例1 写出适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离和等于10.
（2）a b=10，c=2 5
例2 若方程 x2 k-5 y2 3-k =-1表示椭圆，求k的取值范围.
变式1：方程 x2 a2 y2 a 2 =1表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围.
变式2：“m>n>0”是方程mx2 ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆的 条件.
变式3：方程Ax2 By2=1什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？
2.知识小结，提炼升华
椭圆的定义及其标准方程的推导过程，处处体现了数与形之间的对照和相互转化，通过本节课的学习，说说你在知识与方法上分别有哪些收获？
设计意图：学生学习完例1会求椭圆标准方程之后，“最近发展区”应该有所突破，通过设计例2及其变式，给学生造成新的困难，向着下一个“最近发展区”发展.从而达到学生对概念的深层理解.
总之，我们在利用最近发展区理论来设计教学时，应尽量利用学生已有的知识，在原有的知识框架的基础上，设定合适的难度传授新知识.笔者在教学的过程中，牢牢把握住学生的潜在水平，取得了良好的效果.
【参考文献】
[1]祝要辉.比较、发现、领悟、教“椭圆标准方程后” 想到的.中学数学教学参考，2014，12
[2]何建东.圆锥曲线引课之众“设 ”纷纭.中学数学教学参考，2011，9.
一、创设情境 引入新课
问题1：将一根没有弹性的细绳对折，把重合的两个端点固定在黑板上的一点，用笔尖套入另一端将绳拉紧，使笔尖在黑板上移动一周会生成怎样的轨迹呢？
学生：轨迹是圆.
问题2：把刚才重合的两个端点分开固定在黑板上的F1，F2 两点上，当绳长大于F1，F2两点的距离时，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上移动一周，又会生成怎样的轨迹呢？
教师引导学生，通过动手实验画图，得出结论：当常数=|F1F2|时，与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是线段F1F2；当常数<|F1F2|时，与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹不存在.
二、深入探索 推导方程
问题3：求曲线方程的基本步骤是什么？
学生回顾：建（系）—设（点）—限（约束条件）—代（入）—化（简）.
问题4：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简单？如何求椭圆的方程？
教师引导学生增设台阶：
（1）利用对称性建立坐标系；
（2）设置常数2a，2c；
（3）化简方程，两次平方；
（4）引出b2.
师生共同活动：利用椭圆的对称性特征
①以直线F1F2为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
②设焦距为2c（c>0），则F1（-c，0），F2（c，0）.设P（x，y）为椭圆上任意一点，点P与点F1，F2的距离之和为2a（2a>2c）.
③动点P满足的几何约束条件： PF1 PF2 =2a.
④坐标化： （x c）2 y2 （x-c）2 y2 =2a.
⑤化简：引导学生思考如何去根号（移项后两次平方法）先移项 （x c）2 y2 =2a- （x-c）2 y2 .
再方程两边平方 （x c）2 y2=4a2-4a （x-c）2 y2 （x-c）2 y2.
整理得a2-cx=a （x-c）2 y2 再两边平方a4-2a2cx c2x2=a2x2-2a2cx a2c2 a2y2.
化简，得（a2-c2）x2 a2y2=a2（a2-c2），
两边同除a2（a2-c2），得 x2 a2 y2 a2-c2 =1，
由定义2a>2c，∴a2-c2>0，椭圆具有对称性，表示它的方程也该有对称性，教师引导学生观察椭圆图形和推导出的椭圆方程的系数，学生容易发现三个基本量a，c， a2-c2 都表示椭圆中的特殊线段，不妨令a2-c2=b2，得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 x2 a2 y2 b2 =1（a>b>0）.这样表示的椭圆方程体现了对称美、简洁美.
问题5：如何求焦点在x轴上的椭圆的标准方程？
学生：按上述方法，可求出方程为 y2 a2 x2 b2 =1（a>b>0）.
设计意图：学生的现实发展水平是：掌握椭圆的定义，会求曲线方程的一般步骤，会化简含一个根式的方程.需要跨越的发展区是：根据椭圆定义推导椭圆方程；根据求曲线方程的一般步骤，结合椭圆特点，将椭圆放在恰当的坐标系中，设点的坐标；根据化简根式的一般方法化简两个根式.椭圆标准方程的推导是教学的难点，直接讲授学生可能难以理解和掌握.教师应在现有水平和目标水平之间增设“台阶”，即构建若干个最近发展区，不断把学生的“最近发展区”转化成现有水平，逐层递进，把学生的能力提高到目标水平.每一步的跨越学生既可及又使力的新知生成方式是运用最近发展区理论的较好策略.
（1）利用对称性建立坐标系；
（2）设置常数2a，2c；
（3）化简方程，两次平方；
（4）引出b2.
三、知识运用，深化理解
1.运用新知，解决例题
例1 写出适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离和等于10.
（2）a b=10，c=2 5
例2 若方程 x2 k-5 y2 3-k =-1表示椭圆，求k的取值范围.
变式1：方程 x2 a2 y2 a 2 =1表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围.
变式2：“m>n>0”是方程mx2 ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆的 条件.
变式3：方程Ax2 By2=1什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？
2.知识小结，提炼升华
椭圆的定义及其标准方程的推导过程，处处体现了数与形之间的对照和相互转化，通过本节课的学习，说说你在知识与方法上分别有哪些收获？
设计意图：学生学习完例1会求椭圆标准方程之后，“最近发展区”应该有所突破，通过设计例2及其变式，给学生造成新的困难，向着下一个“最近发展区”发展.从而达到学生对概念的深层理解.
总之，我们在利用最近发展区理论来设计教学时，应尽量利用学生已有的知识，在原有的知识框架的基础上，设定合适的难度传授新知识.笔者在教学的过程中，牢牢把握住学生的潜在水平，取得了良好的效果.
【参考文献】
[1]祝要辉.比较、发现、领悟、教“椭圆标准方程后” 想到的.中学数学教学参考，2014，12
[2]何建东.圆锥曲线引课之众“设 ”纷纭.中学数学教学参考，2011，9.