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摘 要：例证是影响数学概念学习最为重要的外部因素，它是感知、抽象和概括概念本质属性的重要载体。例证的选择和使用在适切性、迁移性、简约性、严密性、典型性等方面需要仔细推敲。
关键词：小学数学；概念例证；相交与平行
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2011）10-0046-02
数学概念例证是指能够说明或代表数学概念属性的例子，属于概念所代表的例子叫做正例，不属于概念所代表的一类事物的例子叫做反例。“一个好例子胜过一千条说教”，在数学概念教学中，设计好例证，对于揭示概念属性、概括概念定义有着非常重要的意义。
近期听了“相交与平行”一课，笔者感觉本课例证的选择和使用在适切性 、迁移性、简约性、严密性、典型性等方面存在许多值得商榷的地方，引发了一些思考。
点击一：从难度上看，例证的使用超越了学生的接受水平（出示课桌上的小棒与地面上的小棒所在直线是平行直线图）
师：这两根小棒，一个在桌面上，一个在地面上，会不会平行？
生1：会。
师：为什么？
生2：因为它们也可以延长。
生3：桌面上的小棒在上面，地面上的小棒在下面，桌面上的小棒无论怎样延长，也不会延伸到地面上。
生4：因为桌面到地面的距离是一样的，所以不会相交。
师：这位同学已经感受到了它们不在同一平面内，今天我们就来研究同一平面内两条直线的位置关系。
【分析】可以看出，执教老师的本意是呈现不同平面内两条直线互相平行的例证，拓宽学生对于平行的认识，并且引出“同一平面”的概念。但是，三维空间内两条直线的位置关系可以是相交直线、平行直线或异面直线。仅仅根据“延长后会不会相交”来判断三维空间内两条直线是不是平行，这种方法是片面的。这一例证的辨析已经超出了学生的接受水平，强学生所难。本环节应该重点引出“同一平面”的概念，舍去“两条直线是否平行”的判断。
【调整】呈现图（课桌上的小棒与地面上的小棒所在直线是异面直线图）后，教师指出：这两根小棒，一个在桌面上，一个在地面上，这两根小棒所在的直线不在同一平面内，像这种情况我们以后再研究，这节课我们只研究在同一平面内两条直线的位置关系。
点击二：从迁移的角度看，设计的例证干扰了对概念的理解师：（出示图1）你能发现互相平行的直线吗？
生1：两条铁轨所在的直线是互相平行的。
师：我怎么看，这两条直线在远处还要相交呢？
生2：不是，不是。
生3：近看的话是非常的宽广，在远处看是越来越小。
师：你想表达的是近大远小，这是我们视觉上的错觉。
随后在图2平行线的判断中出现了麻烦。
生1：不是平行线，延长后会相交。
生2：是平行线，近大远小，这是视觉问题。
生3：对，对，就像刚才出示的铁轨。
师（尴尬地）说：这两条直线我们不把它看作生活中的铁轨，就把它看作同一平面内的直线，你们认为它们会相交吗？
生4（小声说）：不会。
【分析】呈现的铁轨图，两条铁轨所在的直线近处间距大，远处间距小，从图上看延长后会相交，学生根据生活经验把它还原成生活中的场景，认为两条铁轨所在的直线不会相交，是平行关系，这样就在头脑中建立了错位的平行线表象，干扰了学生对平行概念的理解。以至于学生把“练一练”中间距不相等的两条直线想象成铁轨，认为是平行关系，教师需要另外说明帮助学生判断。这就使学生产生这样的困惑：呈现的两条直线有时能和实际联系，有时不能和实际联系，能不能和实际结合，由老师说了算。
【调整】德国心理学家艾宾浩斯说过：保持和重现在很大程度上依赖于有关的心理活动第一次出现时注意和兴奋的程度。这里突出强调了首次感知，所以本例证应该选用标准图（如图3），从图上看两条铁轨所在的间距处处相等。
点击三：从注意的角度看，繁多的例证弱化了对概念本质属性的感知。
师：（出示图4），第一条和第二条直线（课件从上往下闪动这两条直线），位置关系是怎样的？
生1：第2条下面空隙大，第一条和第二条中间距离小。
师：你是说它们的距离是吧，老师问的是第一条直线和第二条直线的位置关系是怎样的？
生3：第二条比第一条宽。（意思是：第二、三条直线的间距比第一、二条直线的大）
师：你是比较第一、二条之间的距离与第二、三条之间的距离，是吧？下面就来研究这两条直线的位置关系怎样？
生3：位置关系是——（语塞）。
师：无限延长后会相交吗？
生4（齐答）：不会
师：那它们的位置关系是——
生5：平行的
师：真棒
【分析】呈现的平行线例证——并排在一起的4条直线，从图上看它们的属性有：间隔的宽窄，不相交等。由于是横向呈现，间隔的变化非常明显，间隔的大小强烈地刺激着学生的无意注意，很少有学生关注两条直线是否相交。最后只好由教师硬牵着学生去发现平行的位置关系。
【调整】根据小学生注意和知觉的规律，本环节教师可以先出现跑道图，再选取两条直线，用红色标注，隐去背景。教师重点引导学生认识这两条直线的位置关系——平行。
点击四：从严密性上看，呈现的例证与概念的本质属性似是而非。
师：（出示图5）这是花样滑冰世界冠军在冰上的优美身姿，从图中可以找到哪些平行线？
生1：两条腿是互相平行。
生2：前面的胳膊和后面胳膊。
师：好像是平行的。
生3：他们的头互相平行。
生4：他们的全身也互相平行。
师：你想表达的是他们的躯干。
【分析】案例中学生的回答让人啼笑皆非：两位运动员的两条腿，勉强可以说是平行的：两人的手握在一起，他们的胳膊决不能说是平行的；头可以看作两个点，无所谓平行与不平行；把两个人的躯干看成是平行的，也不恰当。出现这种情况的症结在于例证的不典型，学生只好牵强附会地瞎蒙。
【调整】数学教学要尊重数学的本质，应讲究科学、追求严密。在概念教学中提供的例证要能够为学生概念的学习提供支撑，本环节应删去这个例证，选择典型性的变式例证，如秋千架的两根吊绳、五线谱横线等。
【几点思考】例证是影响数学概念学习最为重要的外部因素，它是感知、抽象和概括概念本质属性的重要载体，为了有利于学生开展抽象概括活动，需要教师研究例证的选择，根据例证设计精致的教学过程，使数学概念教学更具实效。
1．例证的设计要符合学生的认知水平。设计例证要充分考虑学生的接受能力，要从学生现有的知识经验和思维水平出发，选择和使用例证，不能随意拔高难度，更不能随意下放初、高中的教学内容，不恰当地拓展。因为现在涉及部分初中、高中数学的内容，受思维水平限制，学生可能会形成一些不正确的认识，这样先入为主，会给将来的学习制造障碍。
2．例证的设计要避免歧义。从学生的年龄特征出发，设计例证的外在形式要和实质一致，才能充分发挥图形直观的作用，帮助学生建立清晰明确的表象，促进学生的正迁移，充分发挥例证的说明、支持、解释的作用。不能引入有歧义的例证 ，干扰学生对概念的认识。
3．同一时间呈现的例证要简洁。同时呈现的例证不能太多，如果例证太多，其中的无关属性就可能得到不恰当的强化而掩盖了本质属性。在刚接触概念时，要重视首次感知，教师就要为学生提供充分而准确的感知材料，同一时间出示的例证最好单一，让学生鲜明地感知对象的信息，帮助学生建立明晰的表象。
4．例证的设计要典型。例证越典型，概念的本质属性越明显，学生也就越容易发现和概括。反之，如果例证不典型，其中隐含的非本质属性越多、越突出，就越会干扰本质属性的显示，概念的学习就越困难。
呈现的例证要有效凸显概念的本质属性，有利于学生抽象、概括例证中的本质属性；呈现的例证不能和概念的本质属性貌合神离，似是而非，牵强附会，给学生形成一些负面认识。
关键词：小学数学；概念例证；相交与平行
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2011）10-0046-02
数学概念例证是指能够说明或代表数学概念属性的例子，属于概念所代表的例子叫做正例，不属于概念所代表的一类事物的例子叫做反例。“一个好例子胜过一千条说教”，在数学概念教学中，设计好例证，对于揭示概念属性、概括概念定义有着非常重要的意义。
近期听了“相交与平行”一课，笔者感觉本课例证的选择和使用在适切性 、迁移性、简约性、严密性、典型性等方面存在许多值得商榷的地方，引发了一些思考。
点击一：从难度上看，例证的使用超越了学生的接受水平（出示课桌上的小棒与地面上的小棒所在直线是平行直线图）
师：这两根小棒，一个在桌面上，一个在地面上，会不会平行？
生1：会。
师：为什么？
生2：因为它们也可以延长。
生3：桌面上的小棒在上面，地面上的小棒在下面，桌面上的小棒无论怎样延长，也不会延伸到地面上。
生4：因为桌面到地面的距离是一样的，所以不会相交。
师：这位同学已经感受到了它们不在同一平面内，今天我们就来研究同一平面内两条直线的位置关系。
【分析】可以看出，执教老师的本意是呈现不同平面内两条直线互相平行的例证，拓宽学生对于平行的认识，并且引出“同一平面”的概念。但是，三维空间内两条直线的位置关系可以是相交直线、平行直线或异面直线。仅仅根据“延长后会不会相交”来判断三维空间内两条直线是不是平行，这种方法是片面的。这一例证的辨析已经超出了学生的接受水平，强学生所难。本环节应该重点引出“同一平面”的概念，舍去“两条直线是否平行”的判断。
【调整】呈现图（课桌上的小棒与地面上的小棒所在直线是异面直线图）后，教师指出：这两根小棒，一个在桌面上，一个在地面上，这两根小棒所在的直线不在同一平面内，像这种情况我们以后再研究，这节课我们只研究在同一平面内两条直线的位置关系。
点击二：从迁移的角度看，设计的例证干扰了对概念的理解师：（出示图1）你能发现互相平行的直线吗？
生1：两条铁轨所在的直线是互相平行的。
师：我怎么看，这两条直线在远处还要相交呢？
生2：不是，不是。
生3：近看的话是非常的宽广，在远处看是越来越小。
师：你想表达的是近大远小，这是我们视觉上的错觉。
随后在图2平行线的判断中出现了麻烦。
生1：不是平行线，延长后会相交。
生2：是平行线，近大远小，这是视觉问题。
生3：对，对，就像刚才出示的铁轨。
师（尴尬地）说：这两条直线我们不把它看作生活中的铁轨，就把它看作同一平面内的直线，你们认为它们会相交吗？
生4（小声说）：不会。
【分析】呈现的铁轨图，两条铁轨所在的直线近处间距大，远处间距小，从图上看延长后会相交，学生根据生活经验把它还原成生活中的场景，认为两条铁轨所在的直线不会相交，是平行关系，这样就在头脑中建立了错位的平行线表象，干扰了学生对平行概念的理解。以至于学生把“练一练”中间距不相等的两条直线想象成铁轨，认为是平行关系，教师需要另外说明帮助学生判断。这就使学生产生这样的困惑：呈现的两条直线有时能和实际联系，有时不能和实际联系，能不能和实际结合，由老师说了算。
【调整】德国心理学家艾宾浩斯说过：保持和重现在很大程度上依赖于有关的心理活动第一次出现时注意和兴奋的程度。这里突出强调了首次感知，所以本例证应该选用标准图（如图3），从图上看两条铁轨所在的间距处处相等。
点击三：从注意的角度看，繁多的例证弱化了对概念本质属性的感知。
师：（出示图4），第一条和第二条直线（课件从上往下闪动这两条直线），位置关系是怎样的？
生1：第2条下面空隙大，第一条和第二条中间距离小。
师：你是说它们的距离是吧，老师问的是第一条直线和第二条直线的位置关系是怎样的？
生3：第二条比第一条宽。（意思是：第二、三条直线的间距比第一、二条直线的大）
师：你是比较第一、二条之间的距离与第二、三条之间的距离，是吧？下面就来研究这两条直线的位置关系怎样？
生3：位置关系是——（语塞）。
师：无限延长后会相交吗？
生4（齐答）：不会
师：那它们的位置关系是——
生5：平行的
师：真棒
【分析】呈现的平行线例证——并排在一起的4条直线，从图上看它们的属性有：间隔的宽窄，不相交等。由于是横向呈现，间隔的变化非常明显，间隔的大小强烈地刺激着学生的无意注意，很少有学生关注两条直线是否相交。最后只好由教师硬牵着学生去发现平行的位置关系。
【调整】根据小学生注意和知觉的规律，本环节教师可以先出现跑道图，再选取两条直线，用红色标注，隐去背景。教师重点引导学生认识这两条直线的位置关系——平行。
点击四：从严密性上看，呈现的例证与概念的本质属性似是而非。
师：（出示图5）这是花样滑冰世界冠军在冰上的优美身姿，从图中可以找到哪些平行线？
生1：两条腿是互相平行。
生2：前面的胳膊和后面胳膊。
师：好像是平行的。
生3：他们的头互相平行。
生4：他们的全身也互相平行。
师：你想表达的是他们的躯干。
【分析】案例中学生的回答让人啼笑皆非：两位运动员的两条腿，勉强可以说是平行的：两人的手握在一起，他们的胳膊决不能说是平行的；头可以看作两个点，无所谓平行与不平行；把两个人的躯干看成是平行的，也不恰当。出现这种情况的症结在于例证的不典型，学生只好牵强附会地瞎蒙。
【调整】数学教学要尊重数学的本质，应讲究科学、追求严密。在概念教学中提供的例证要能够为学生概念的学习提供支撑，本环节应删去这个例证，选择典型性的变式例证，如秋千架的两根吊绳、五线谱横线等。
【几点思考】例证是影响数学概念学习最为重要的外部因素，它是感知、抽象和概括概念本质属性的重要载体，为了有利于学生开展抽象概括活动，需要教师研究例证的选择，根据例证设计精致的教学过程，使数学概念教学更具实效。
1．例证的设计要符合学生的认知水平。设计例证要充分考虑学生的接受能力，要从学生现有的知识经验和思维水平出发，选择和使用例证，不能随意拔高难度，更不能随意下放初、高中的教学内容，不恰当地拓展。因为现在涉及部分初中、高中数学的内容，受思维水平限制，学生可能会形成一些不正确的认识，这样先入为主，会给将来的学习制造障碍。
2．例证的设计要避免歧义。从学生的年龄特征出发，设计例证的外在形式要和实质一致，才能充分发挥图形直观的作用，帮助学生建立清晰明确的表象，促进学生的正迁移，充分发挥例证的说明、支持、解释的作用。不能引入有歧义的例证 ，干扰学生对概念的认识。
3．同一时间呈现的例证要简洁。同时呈现的例证不能太多，如果例证太多，其中的无关属性就可能得到不恰当的强化而掩盖了本质属性。在刚接触概念时，要重视首次感知，教师就要为学生提供充分而准确的感知材料，同一时间出示的例证最好单一，让学生鲜明地感知对象的信息，帮助学生建立明晰的表象。
4．例证的设计要典型。例证越典型，概念的本质属性越明显，学生也就越容易发现和概括。反之，如果例证不典型，其中隐含的非本质属性越多、越突出，就越会干扰本质属性的显示，概念的学习就越困难。
呈现的例证要有效凸显概念的本质属性，有利于学生抽象、概括例证中的本质属性；呈现的例证不能和概念的本质属性貌合神离，似是而非，牵强附会，给学生形成一些负面认识。