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1.问题提出
题目（2009年辽宁高考理科数学试题）已知椭圆C过点A（1， ），两个焦点为（-1，0）和（1，0）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.
本题第（1）问椭圆的标准方程为 =1，第（2）问主要考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化歸与转化、特殊与一般等数学思想.立意深刻，有内涵.解题过程略，对于第（2）问，注意到点A（1， ）的特殊性，这个点是椭圆的一条通径（过焦点作长轴所在直线的垂线与椭圆交于A，B两点，AB是椭圆的一条通径）的端点，直线的斜率是定值，这个定值恰好是椭圆的离心率.那么本题能否推广到一般情形呢？下面本文将对其进行探究.
2.问题探究
探究1：已知椭圆C： =1（a>b>0），点A（-c， ）是椭圆的一条通径的一个端点，E，F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，这个定值是椭圆的离心率的相反数.
证明：设E（x ，y ），F（x ，y ），直线AE的方程为y=k（x c） ，代入椭圆方程，整理得（b a k ）x （2kab 2k a c）x b 2kb ac-a b =0.
根据韦达定理x -c=- ，解得x = .
因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，x = .
x x = ，x -x = .
k = = = =-e证毕.
上述高考题中的A（1， ）是位于第一象限的通径的一个端点，根据椭圆的对称性，属于探究1的特殊情形.它的逆命题经证明也成立，于是得到.
探究2：已知椭圆C： =1（a>b>0），点A（-c， ）是椭圆的一条通径的一个端点，E，F是椭圆上的两个动点，如果直线EF的斜率为定值，这个定值是椭圆的离心率的相反数，那么直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.
证明：设E（x ，y ），F（x ，y ），直线EF的方程为y=-ex m，代入椭圆的方程整理得
（b a e ）x -2a mex m a -a b =0.
x x = ，x x = .则有
（-ex m）（x c） （-ex m）（x c）=-2ex x （m-ec- ）（x x ） 2mc- c
=2mc（a -b -c ）=0.
k k =
= =0.
即直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.证毕.
椭圆有上述性质，经证明双曲线，抛物线也有类似的性质，于是又得到.
探究3：已知双曲线C： - =1（a>0，b>0），点A（-c， ）是双曲线的一条通径的一个端点，E，F是双曲线上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为定值，这个定值是双曲线的离心率的相反数.
探究4：已知抛物线y =2px（p>0），点A（ ，p），E，F是抛物线上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为定值，这个定值为-1.
证明：设E（x ，y ），F（x ，y ），直线AE的方程为y=k（x- ） p，代入抛物线的方程y =2px，整理得k x -（pk -2kp 2p）x p -p k p =0.
根据韦达定理x =- ，解得x = .
因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，x = .
x x = ，x -x = .
k = = = =-1证毕.
探究3，4的逆命题也成立，证明略.
由此得到圆锥曲线的一个统一性质：
已知点A是圆锥曲线Γ的一条通径的一个端点，E，F是圆锥曲线上的两个动点，且k k =0则k =|e|.它的逆命题也成立.
3.解后反思
高考试题汇聚了命题专家的智慧与心血，如果我们能最大限度地发挥试题的探究功能，教师才能近距离与命题专家进行心灵交流，同时解题后的反思可使理解进入深层次，进而诱发新的想法，展开新的探究，在探究中升华，在升华中让能力生根.
题目（2009年辽宁高考理科数学试题）已知椭圆C过点A（1， ），两个焦点为（-1，0）和（1，0）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.
本题第（1）问椭圆的标准方程为 =1，第（2）问主要考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化歸与转化、特殊与一般等数学思想.立意深刻，有内涵.解题过程略，对于第（2）问，注意到点A（1， ）的特殊性，这个点是椭圆的一条通径（过焦点作长轴所在直线的垂线与椭圆交于A，B两点，AB是椭圆的一条通径）的端点，直线的斜率是定值，这个定值恰好是椭圆的离心率.那么本题能否推广到一般情形呢？下面本文将对其进行探究.
2.问题探究
探究1：已知椭圆C： =1（a>b>0），点A（-c， ）是椭圆的一条通径的一个端点，E，F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，这个定值是椭圆的离心率的相反数.
证明：设E（x ，y ），F（x ，y ），直线AE的方程为y=k（x c） ，代入椭圆方程，整理得（b a k ）x （2kab 2k a c）x b 2kb ac-a b =0.
根据韦达定理x -c=- ，解得x = .
因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，x = .
x x = ，x -x = .
k = = = =-e证毕.
上述高考题中的A（1， ）是位于第一象限的通径的一个端点，根据椭圆的对称性，属于探究1的特殊情形.它的逆命题经证明也成立，于是得到.
探究2：已知椭圆C： =1（a>b>0），点A（-c， ）是椭圆的一条通径的一个端点，E，F是椭圆上的两个动点，如果直线EF的斜率为定值，这个定值是椭圆的离心率的相反数，那么直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.
证明：设E（x ，y ），F（x ，y ），直线EF的方程为y=-ex m，代入椭圆的方程整理得
（b a e ）x -2a mex m a -a b =0.
x x = ，x x = .则有
（-ex m）（x c） （-ex m）（x c）=-2ex x （m-ec- ）（x x ） 2mc- c
=2mc（a -b -c ）=0.
k k =
= =0.
即直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.证毕.
椭圆有上述性质，经证明双曲线，抛物线也有类似的性质，于是又得到.
探究3：已知双曲线C： - =1（a>0，b>0），点A（-c， ）是双曲线的一条通径的一个端点，E，F是双曲线上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为定值，这个定值是双曲线的离心率的相反数.
探究4：已知抛物线y =2px（p>0），点A（ ，p），E，F是抛物线上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为定值，这个定值为-1.
证明：设E（x ，y ），F（x ，y ），直线AE的方程为y=k（x- ） p，代入抛物线的方程y =2px，整理得k x -（pk -2kp 2p）x p -p k p =0.
根据韦达定理x =- ，解得x = .
因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，x = .
x x = ，x -x = .
k = = = =-1证毕.
探究3，4的逆命题也成立，证明略.
由此得到圆锥曲线的一个统一性质：
已知点A是圆锥曲线Γ的一条通径的一个端点，E，F是圆锥曲线上的两个动点，且k k =0则k =|e|.它的逆命题也成立.
3.解后反思
高考试题汇聚了命题专家的智慧与心血，如果我们能最大限度地发挥试题的探究功能，教师才能近距离与命题专家进行心灵交流，同时解题后的反思可使理解进入深层次，进而诱发新的想法，展开新的探究，在探究中升华，在升华中让能力生根.