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众所周知，做任何事情都要讲究方法. 方法得当，事半功倍；方法不当，事倍功半. 进行教学研究也是如此. 我们学习数学方法论就是把数学的研究方法作为讨论和研究对象，从中汲取指导数学学习与数学教学的营养.
有人提出这样一个问题：“假设在你的面前有煤气灶、水龙头及火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气上. ”提问者肯定了这一回答；但是他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶已经有了足够多的水，那你又怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气上. ”但是提问者指出，这一回答并不能使他感到满意. 因为更好的回答是这样的：“只有物理学家才会这样做；而数学家们则会倒去壶中的水，并声称我已经把后一问题化归成先前的问题了. ”从这个趣例可以看出，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法来解决问题. 从方法论角度说，这是所谓的：“化归原则”. 从生活上看数学家像“傻子”，从科学方法角度看数学家是真正的“聪明人”.
一、什么是“数学方法论”
数学除了是一门科学理论外，它还是一种科学方法. 科学如果没有方法，就像它没有理论一样不可想象. 数学本身就是理论与方法的辩证统一. 数学教学过程中，学生的认知活动不仅是理解数学知识，更重要的是掌握数学的思想方法. 就数学而言，数学思想比其成果更重要. 成果主要以知识形态出现，而知识是容易陈旧、过时的. 知识的有效性是短暂的，思想的有效性却是长存的. 随着时代的进步，当今社会对其成员在数学方面提出了比以往更高的要求. 社会要求人们要具有用数学头脑去思考国家、集体、个人问题的自觉意识和能力，而这种能力是不能通过学习纯粹数学知识、解决纯粹的数学问题而获得的. 它只有在知识的传授过程中，通过挖掘其深刻的内涵，通过展示数学过程中的思想方法来实现. 数学方法论是从方法论角度来讲数学，因此它不是一般意义下的数学课. 例如，从数学角度讲算术平均数不小于几何平均数这一基本不等式时，主要是如何运用数学知识和方法证得该不等式. 而从方法论的角度来讲这一基本不等式时，关键是人们是如何运用类比推理的联想及经验归纳的方法去发现这一基本不等式的过程.
二、研究数学方法论的目的和意义
数学是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就需要对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握. 因此，数学研究工作者、数学教师都需要知道一些数学方法论. 研究数学方法论不论是对于促进数学的发展，还是提高数学教师的数学修养、促进数学教育改革，都具有十分重要的意义.
1. 有利于推动数学研究，促进数学发展
数学方法论是数学的横断学科，它从数学与方法学的结合上总结数学的思想、方法、规则、模式，揭示数学的发展规律，因而通过数学方法论的研究，有助于认识数学的本质，促进数学的发展. 纵观数学发展的历史可以清楚地看到，数学上每一项重大成果的取得，无不与数学思想的突破及方法的创新有关. 因此掌握数学方法论并努力开拓新的思想方法是数学创造的巨大动力. 正是在这个意义上，数学方法论对于推动数学研究、促进数学发展具有重要意义.
2. 有利于改革数学教育，培养学生的数学创造能力
当今的时代，是科学飞速发展、新技术迅猛增长的时代. 现代社会对人才智能提出了更高的要求，也引起了数学教育任务和性质的根本变革. 促进数学的学习和人才的成长已成为数学教育改革的重要任务，而加强思想方法的研究对于促进数学教育的改革具有极大的指导和推动作用. 学校数学教育的主要任务是培养学生具有创造性的数学能力和解决实际问题的能力. 从这个意义上讲，要培养学生的创造性能力必须加强学生数学思想方法的培养和训练. 在数学教学中，应注意突出思维过程，突出数学思想方法对数学教学的指导意义. 中学数学中蕴含了丰富的数学思想方法内容，如抽象概括，问题转化，数形结合，数学模型，归纳猜想，类比，演绎，等等. 可以说数学的许多内容，其产生与发展过程渗透了数学思想方法的合理运用. 这些良好的素材，为合理地组织教学，培养学生良好的思维习惯和学习方法提供了运用的前提条件. 教师应将这些数学思想方法合理运用到数学教学中，去指导其教学.
数学思想方法是形成能力的重要因素. 事实上，一个人数学学习的优劣和数学才能的大小，往往不在于数学知识的多少，而在于数学思想方法的素养，也就是能否贯穿于数学中的精神、思想和方法，以及能否灵活运用它们解决各种实际问题和进行数学的发明创造. 日本著名数学教育学家米山国藏也指出：“学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了. ”然而“不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时地发生作用，使他们受益终生. ”这些精辟的论述充分说明，在数学教育中使学生掌握数学思想方法，对于促进他们能力的发展至关重要.
３． 有利于提高教师的数学素养
要培养大批有创造才能的学生，必须训练一批高水平的教师队伍. 一个合格的数学教师除了应有扎实的基础知识和基本技能、有较高的教学水平和艺术外，还应有较高的数学方法论修养. 从而能在数学教材中发掘方法论的素材，并有意识地在教学工作中予以渗透和融合. 能在概念、公式、定理的教学中，通过对客观背景、发现过程及研究方法的介绍，启发学生的求知欲望，培养他们的创造性. 深刻理解和正确分析数学思维过程，善于把握数学的思维方法则是数学教师的基本功.
另外，强化数学思想方法的培养，也有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，有利于激发学生的学习兴趣，有利于提高学生学习的自觉性，真正把学生和教师从题海中解放出来，减轻教与学的过重负担.
有人提出这样一个问题：“假设在你的面前有煤气灶、水龙头及火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气上. ”提问者肯定了这一回答；但是他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶已经有了足够多的水，那你又怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气上. ”但是提问者指出，这一回答并不能使他感到满意. 因为更好的回答是这样的：“只有物理学家才会这样做；而数学家们则会倒去壶中的水，并声称我已经把后一问题化归成先前的问题了. ”从这个趣例可以看出，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法来解决问题. 从方法论角度说，这是所谓的：“化归原则”. 从生活上看数学家像“傻子”，从科学方法角度看数学家是真正的“聪明人”.
一、什么是“数学方法论”
数学除了是一门科学理论外，它还是一种科学方法. 科学如果没有方法，就像它没有理论一样不可想象. 数学本身就是理论与方法的辩证统一. 数学教学过程中，学生的认知活动不仅是理解数学知识，更重要的是掌握数学的思想方法. 就数学而言，数学思想比其成果更重要. 成果主要以知识形态出现，而知识是容易陈旧、过时的. 知识的有效性是短暂的，思想的有效性却是长存的. 随着时代的进步，当今社会对其成员在数学方面提出了比以往更高的要求. 社会要求人们要具有用数学头脑去思考国家、集体、个人问题的自觉意识和能力，而这种能力是不能通过学习纯粹数学知识、解决纯粹的数学问题而获得的. 它只有在知识的传授过程中，通过挖掘其深刻的内涵，通过展示数学过程中的思想方法来实现. 数学方法论是从方法论角度来讲数学，因此它不是一般意义下的数学课. 例如，从数学角度讲算术平均数不小于几何平均数这一基本不等式时，主要是如何运用数学知识和方法证得该不等式. 而从方法论的角度来讲这一基本不等式时，关键是人们是如何运用类比推理的联想及经验归纳的方法去发现这一基本不等式的过程.
二、研究数学方法论的目的和意义
数学是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就需要对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握. 因此，数学研究工作者、数学教师都需要知道一些数学方法论. 研究数学方法论不论是对于促进数学的发展，还是提高数学教师的数学修养、促进数学教育改革，都具有十分重要的意义.
1. 有利于推动数学研究，促进数学发展
数学方法论是数学的横断学科，它从数学与方法学的结合上总结数学的思想、方法、规则、模式，揭示数学的发展规律，因而通过数学方法论的研究，有助于认识数学的本质，促进数学的发展. 纵观数学发展的历史可以清楚地看到，数学上每一项重大成果的取得，无不与数学思想的突破及方法的创新有关. 因此掌握数学方法论并努力开拓新的思想方法是数学创造的巨大动力. 正是在这个意义上，数学方法论对于推动数学研究、促进数学发展具有重要意义.
2. 有利于改革数学教育，培养学生的数学创造能力
当今的时代，是科学飞速发展、新技术迅猛增长的时代. 现代社会对人才智能提出了更高的要求，也引起了数学教育任务和性质的根本变革. 促进数学的学习和人才的成长已成为数学教育改革的重要任务，而加强思想方法的研究对于促进数学教育的改革具有极大的指导和推动作用. 学校数学教育的主要任务是培养学生具有创造性的数学能力和解决实际问题的能力. 从这个意义上讲，要培养学生的创造性能力必须加强学生数学思想方法的培养和训练. 在数学教学中，应注意突出思维过程，突出数学思想方法对数学教学的指导意义. 中学数学中蕴含了丰富的数学思想方法内容，如抽象概括，问题转化，数形结合，数学模型，归纳猜想，类比，演绎，等等. 可以说数学的许多内容，其产生与发展过程渗透了数学思想方法的合理运用. 这些良好的素材，为合理地组织教学，培养学生良好的思维习惯和学习方法提供了运用的前提条件. 教师应将这些数学思想方法合理运用到数学教学中，去指导其教学.
数学思想方法是形成能力的重要因素. 事实上，一个人数学学习的优劣和数学才能的大小，往往不在于数学知识的多少，而在于数学思想方法的素养，也就是能否贯穿于数学中的精神、思想和方法，以及能否灵活运用它们解决各种实际问题和进行数学的发明创造. 日本著名数学教育学家米山国藏也指出：“学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了. ”然而“不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时地发生作用，使他们受益终生. ”这些精辟的论述充分说明，在数学教育中使学生掌握数学思想方法，对于促进他们能力的发展至关重要.
３． 有利于提高教师的数学素养
要培养大批有创造才能的学生，必须训练一批高水平的教师队伍. 一个合格的数学教师除了应有扎实的基础知识和基本技能、有较高的教学水平和艺术外，还应有较高的数学方法论修养. 从而能在数学教材中发掘方法论的素材，并有意识地在教学工作中予以渗透和融合. 能在概念、公式、定理的教学中，通过对客观背景、发现过程及研究方法的介绍，启发学生的求知欲望，培养他们的创造性. 深刻理解和正确分析数学思维过程，善于把握数学的思维方法则是数学教师的基本功.
另外，强化数学思想方法的培养，也有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，有利于激发学生的学习兴趣，有利于提高学生学习的自觉性，真正把学生和教师从题海中解放出来，减轻教与学的过重负担.