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教材不仅是教师上课的工具，也是教师用来钻研教学内容体系、把握知识本质联系的工具。那么怎样才能把握教学本质，真正理解教材呢？笔者将以小学数学简便计算教学的相关内容为例，从“同课异版教材解读”和“小、中学教材衔接思考”两方面来进行探究与尝试。
一、同课异版教材研读
简算教学中“运算定律”的教学是非常重要的，为了能更好地深入研究，笔者以“交换律”一课内容为例展开研究。“交换律”是人教版四年级下的教学内容，教材中的安排是将加法交换律和乘法交换律分开来的，但由于对交换律形式的思考，很多教师将两者整合在一起教学，具体如下：
【传统案例】
1. 新课导入：对“朝三暮四”的理解
2. 探究新知
（1）3 4=4 3，通过对算式的观察，探究加法交换律，练习巩固。
（2）在加法交换律的基础上继续猜想验证，探究乘法交换律，练习巩固。
3. 课堂小结
整个过程切入点足够新颖，学生在课堂上的回答也是频频出彩——“我发现3 4的和与4 3的和是一样的，所以交换加数的位置，和不变。”“我觉得乘法和加法一样，比如说3×4=4×3。”“我也同意，不过0不可以……”“我发现加法交换律和乘法交换律其实是一样的。”
确实，在该案例中，教师对教材进行了一定的处理，既变换了情境，也整合了教学内容，调整呈现方式。教学后的课堂评价也不错，但是仔细思考会发现，虽然教师将加法交换律和乘法结合律整合在一起教学，可是在实际课堂中展开还是有先后顺序的，先学加法交换律，后学乘法交换律，某种程度还是将这两个内容割裂开来，并没有从本质上进行沟通。从课堂上学生的回答也可以发现，学生对于这两者的内在联系已经有所体会，觉得是可以“相通”的。
对于学生“出乎意料”的表现与“热闹非凡”的课堂氛围，就能认为这样的教学设计是有助于学生学习的吗？其实这样的设计只是知识表面的联结，并没有触及运算定律本质的教学，鉴于这样的思考，笔者再次从教材入手展开研究。
笔者将“人教版”和“北师大版”关于《运算定律和简便计算》这一单元的知识编排整理如下：
人教版 北师大版
编排位置 四年级下册 四年级上册
已有知识基础 笔算多位数加减法
笔算三位数乘两位数
笔算多位数除以两位数 笔算多位数加减法
笔算三位数乘两位数
呈现方式 独立单元 三位数乘两位数乘法单元内
知识编排顺序 加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
简便计算（运算定律的应用及算法多样化） 乘法结合律
乘法交换律
加法交换律与结合律
乘法分配律
是否有问题情境的呈现 全部 乘法结合律
乘法分配律
通过以上的对比，可以看出：
1.两个版本教材都把“运算律”的内容放在了四年级，知识点的内容都包含加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的五大定律及运算定律的应用。从知识点编排的紧凑程度上看，两个版本的编排都非常紧凑，尤其是人教版，知识点编排非常密集。
2.两个版本明显的不同表现在五大定律呈现的顺序上。人教版是先学加法运算律后学乘法运算律；北师大版是先学习乘法结合律，然后在其巩固练习中直接呈现乘法交换律，接着过渡到加法交换律与加法结合律上，最后出现乘法分配律。虽然说这样安排可能是出于顺应某些学生的已有知识经验的考虑，比如说，虽然我们没有进行系统的交换律的学习，但是在以前的学习过程中，实际上学生已经对这两个规律有所体验，甚至还有所应用，像解决“有5个盘子，每个盘子里有3个苹果，一共有多少个苹果？”学生回答5×3和3×5都是对的，这说明他们已经在利用乘法交换律来解决问题了，但是这不代表学生已经学过了两个交换律了。“学生不仅要学习结果性内容，也要学习过程性内容”。如果教师认为学生已经有了相关经验就等同于学会了某个知识的话，那么教学就进入了只重视学习结果的误区。因此，笔者还是认为先学习加法运算定律比较符合学生知识结构的构建。
仔细分析可以发现，如果能够抓住知识点的联系和迁移，又能缓解学生学习节奏过于紧密的情况，显然是两全其美的。因此，笔者尝试将这个单元的内容重新进行调整：
将单元内容重新整理后，不再是按照运算来分，而是按照“运算律”的共同点来划分，这样更可以挖掘运算律的本质内涵，也可以缓解学生学习知识点过于紧凑的弊端。基于这样的考量，笔者重新设计了“交换律”这一课。
【改进案例】
师：同学们，我们已经学过了哪些运算？
生：加、减、乘、除。
师：这都是我们已经学过的运算。现在老师这里有一个式子，我们一起看：a★b=b★a（课件出示），你觉得这个★可能是哪些运算符号呢？
学生猜测： 、-、×、÷……
师：看来同学们有不同的想法，到底★表示什么运算符号呢，你能不能想办法来验证一下。在想办法之前我们先来看一下要求（课件出示要求）：
（1）你认为★可能代表哪种运算符号？或者不可能是哪种运算符号？
（2）自己想办法来说明你的猜想。
（3）把你的想法写在作业纸上。
学生静静地在课堂上思考着，动笔写下自己的想法。
……
整节课学生都围绕着“★表示什么运算符号，自己想办法验证”来展开。讨论到“ ”时就有了加法交换律，讨论到“×”时就有了乘法交换律，讨论到“-”和“÷”时也明白了为什么没有减法和除法的交换律。真正从本质上理解交换律的内在含义，并学会运用加法意义和乘法意义来解释验证交换律的正确性。让学生不断地在思维上突破并融合，相信学生经历了这样的学习过程，对于交换律的本质属性应该有了进一步的了解。 同一节课研读不同版本的教材，是为了更好地理解知识点在体系中的地位和结构，可以将单独的知识点放入单元体系中去观察和对比，通过求同存异的比较方法来分析教材，让自身对教材中知识点前后的逻辑关系和知识点的本质有更好的理解，同时，这样研读不同的教材所收获的内容，也可以作为教师自身的知识储备。
二、基于小、中学教材衔接的思考
同一教学内容在小学阶段不同版本教材中虽然编排顺序和体系会有所不同，但是对学生小学阶段所需掌握的要求是差不多的，课标里明确了第一、二学段简算内容的掌握要求。但许多教师有时也会遇到这样的情况——在教学有些简算内容时，对于算理无法给出恰当的解释，或者能够给出的解释超出了学生的知识范围。面对这种情况，大多数教师的做法就是回避这些问题，如以下这个案例。
【传统案例】
五年级上册，要求怎样简便就怎样算：
（1）4.25-1.64 8.75-9.36
（2）0.9 9.9 99.9 999.9
习题（1）教学：要求学生仔细观察习题，引导发现数据特征，学生很快发现有两组数据能凑整，分别是4.25和8.75，1.64和9.36。于是解答此题为：（4.25 8.75）-（1.64 9.36）。随后教师反问学生，这道题用到了什么运算定律，学生会说用到加法结合律还有减法的性质，教师听到学生这样的答案也挺满意，觉得学生掌握得还不错了。
习题（2）教学：引导学生观察算式特征，学生快速发现这里每个数的末尾都是9，教师引导学生思考，看到9会想到什么，学生经过思考会说出再加1就能凑整，于是解答此题为：（0.9 0.1） （9.9 0.1） （99.9 0.1） （999.9 0.1）-0.4。随后教师反问学生，为什么要减去0.4，学生有了之前的引导思考，也能顺利回答出之前加了4个0.1，所以后面要减去0.4，多加了要减去。
仔细思考教师对于这两题的教学，从表面来看似乎没什么问题，但深入研究就会发现还是有问题存在的。在做了这两题后，笔者曾经进行过一次学生的课后访谈：
（1）4.25-1.64 8.75-9.36 （2）0.9 9.9 99.9 999.9
师：这题中，为什么1.64和8.75交换位置后加减符号也变了呢？（即变成4.25 8.75-1.64-9.36）
生1：这个……我也不知道，老师这么说的。（犹豫不确定）
生2：我知道，这是在用加法交换律，后面的使用减法交换律……（笃定的语气）
生3：不对！这里使用减法的性质，没有减法交换律。（马上反驳） 师：那这题你是怎么想到这样去做？
生4：因为末尾有个0.9啊。（自信的口吻）
生5：因为它要凑整，加上0.1最方便。（思辨过后的语气）
生6：因为这样简便呀。（笼统的回答）
从学生的访谈结合之前教师通常的教学，我们就可以发现：学生对于这两题为何这样简便来计算并没有真正掌握，只是看到外表数的形式的变化，而没有真正理解为何这样变化的本质。其实这两题对于小学生来说要求算出正确的结果并不是很困难，只要教师进行专项训练加以巩固就能达到要求。可是我们的简算教学并不只是停留在会生搬硬套上就可以了，更要挖掘简算的本质。
要深入挖掘知识本质，作为教师不妨把视角放宽一些，来看看第三学段中对相关内容的要求及初中阶段的教材，或许能有一些帮助。
第一学段 第二学段 第三学段
数的运算（简算相关内容要求） 认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步） 探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算 理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算
从《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求来看，可以看出小学阶段重在掌握简便计算的基本方法和技能，能够灵活运用解决一些简单的简便运算；初中阶段重在简便计算的灵活运用，随着数的范围的扩大，将小学阶段所运用的运算律全部纳入到有理数的计算中。
此时，我们来研读初中教材中有理数简便计算的内容可以知道，简便计算的灵活运用主要包括以下几个方面：
（1）互为相反数的两个数可以先加。
（2）符号相同的两个数可以先加。
（3）几个数相加得整数可以先加。
（4）同分母的分数可以先加。
（5）能凑整时可以加括号先分组求和。
习题（1）如果按照初中的运算思路就是符号相同的两个数可以先加，而且减法是加法的逆运算，算式就是4.25 （-1.64） 8.75 （-9.36），这样一来就很清楚，这里用到的就是加法交换律和加法结合律。习题（2）就是体现初中“分组求和”凑整的思想。有了这些衔接的思考，可以进行重新设计。
【改进案例】
（1）4.25-1.64 8.75-9.36
师：大家知道在加法中我们交换位置，结果不变，其实在计算中，只要是同一级运算，改变运算顺序，它的结果也是不变的。加、减是同级运算，乘、除也是同级运算，比如说这里减1.64加8.75交换位置后就是加8.75减1.64，结果是不变的，再利用加法结合律和减法的性质巧妙解答这题。
在常规教学的基础上，教师巧妙地引导学生将加法交换律拓展到了同级运算的交换律，学生在中年级四则运算的学习中，已经知道加、减法是同级运算，所以学生也不难理解。同时又化解了学生对于减法是加法的逆运算、带着符号搬家的理解，注重了中小学衔接的关注，也更为深入地理解了交换律在运算中的本质。
（2）0.9 9.9 99.9 999.9
师：观察算式当中每个数的尾数都是9，这时候我们通常会想到与9凑整的方法，在凑整时也要考虑凑成最方便计算的整数，还要注意“多加要减，多减要加”的规则。像这样特征的算式，我们可以考虑用凑整分组求和的方法来算，可以使计算得到简便，这也是我们常用的一种简便技巧。
在学生基本掌握运算律的前提下，教师对学生的回答要有适当小结，在小结过程中还要渗透中小学衔接的要求，其实这种凑整分组的方法也就是以后初中有理数分组求和的基本技巧，这里提前渗透。如果教师能及时点拨、抓住要领，相信学生能够通过一定的训练来掌握灵活运用运算律的方法的。
要提高简算教学的有效性，读懂教材、理解教材、钻研教材是对教师的基本要求。在教学中设计一堂课的教学内容时，可以通过横向的不同版本教材对本课的编排进行解读，也可以通过纵向中小学教材掌握目标的衔接进行解读，从而提高课堂教学的效果。除此以外，还可以通过理解算理、培养学生计算品质、评价简算教学等方面进行思考和实践，相信也会对简算教学有所帮助。
（浙江省湖州市爱山小学教育集团 313000）
一、同课异版教材研读
简算教学中“运算定律”的教学是非常重要的，为了能更好地深入研究，笔者以“交换律”一课内容为例展开研究。“交换律”是人教版四年级下的教学内容，教材中的安排是将加法交换律和乘法交换律分开来的，但由于对交换律形式的思考，很多教师将两者整合在一起教学，具体如下：
【传统案例】
1. 新课导入：对“朝三暮四”的理解
2. 探究新知
（1）3 4=4 3，通过对算式的观察，探究加法交换律，练习巩固。
（2）在加法交换律的基础上继续猜想验证，探究乘法交换律，练习巩固。
3. 课堂小结
整个过程切入点足够新颖，学生在课堂上的回答也是频频出彩——“我发现3 4的和与4 3的和是一样的，所以交换加数的位置，和不变。”“我觉得乘法和加法一样，比如说3×4=4×3。”“我也同意，不过0不可以……”“我发现加法交换律和乘法交换律其实是一样的。”
确实，在该案例中，教师对教材进行了一定的处理，既变换了情境，也整合了教学内容，调整呈现方式。教学后的课堂评价也不错，但是仔细思考会发现，虽然教师将加法交换律和乘法结合律整合在一起教学，可是在实际课堂中展开还是有先后顺序的，先学加法交换律，后学乘法交换律，某种程度还是将这两个内容割裂开来，并没有从本质上进行沟通。从课堂上学生的回答也可以发现，学生对于这两者的内在联系已经有所体会，觉得是可以“相通”的。
对于学生“出乎意料”的表现与“热闹非凡”的课堂氛围，就能认为这样的教学设计是有助于学生学习的吗？其实这样的设计只是知识表面的联结，并没有触及运算定律本质的教学，鉴于这样的思考，笔者再次从教材入手展开研究。
笔者将“人教版”和“北师大版”关于《运算定律和简便计算》这一单元的知识编排整理如下：
人教版 北师大版
编排位置 四年级下册 四年级上册
已有知识基础 笔算多位数加减法
笔算三位数乘两位数
笔算多位数除以两位数 笔算多位数加减法
笔算三位数乘两位数
呈现方式 独立单元 三位数乘两位数乘法单元内
知识编排顺序 加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
简便计算（运算定律的应用及算法多样化） 乘法结合律
乘法交换律
加法交换律与结合律
乘法分配律
是否有问题情境的呈现 全部 乘法结合律
乘法分配律
通过以上的对比，可以看出：
1.两个版本教材都把“运算律”的内容放在了四年级，知识点的内容都包含加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的五大定律及运算定律的应用。从知识点编排的紧凑程度上看，两个版本的编排都非常紧凑，尤其是人教版，知识点编排非常密集。
2.两个版本明显的不同表现在五大定律呈现的顺序上。人教版是先学加法运算律后学乘法运算律；北师大版是先学习乘法结合律，然后在其巩固练习中直接呈现乘法交换律，接着过渡到加法交换律与加法结合律上，最后出现乘法分配律。虽然说这样安排可能是出于顺应某些学生的已有知识经验的考虑，比如说，虽然我们没有进行系统的交换律的学习，但是在以前的学习过程中，实际上学生已经对这两个规律有所体验，甚至还有所应用，像解决“有5个盘子，每个盘子里有3个苹果，一共有多少个苹果？”学生回答5×3和3×5都是对的，这说明他们已经在利用乘法交换律来解决问题了，但是这不代表学生已经学过了两个交换律了。“学生不仅要学习结果性内容，也要学习过程性内容”。如果教师认为学生已经有了相关经验就等同于学会了某个知识的话，那么教学就进入了只重视学习结果的误区。因此，笔者还是认为先学习加法运算定律比较符合学生知识结构的构建。
仔细分析可以发现，如果能够抓住知识点的联系和迁移，又能缓解学生学习节奏过于紧密的情况，显然是两全其美的。因此，笔者尝试将这个单元的内容重新进行调整：
将单元内容重新整理后，不再是按照运算来分，而是按照“运算律”的共同点来划分，这样更可以挖掘运算律的本质内涵，也可以缓解学生学习知识点过于紧凑的弊端。基于这样的考量，笔者重新设计了“交换律”这一课。
【改进案例】
师：同学们，我们已经学过了哪些运算？
生：加、减、乘、除。
师：这都是我们已经学过的运算。现在老师这里有一个式子，我们一起看：a★b=b★a（课件出示），你觉得这个★可能是哪些运算符号呢？
学生猜测： 、-、×、÷……
师：看来同学们有不同的想法，到底★表示什么运算符号呢，你能不能想办法来验证一下。在想办法之前我们先来看一下要求（课件出示要求）：
（1）你认为★可能代表哪种运算符号？或者不可能是哪种运算符号？
（2）自己想办法来说明你的猜想。
（3）把你的想法写在作业纸上。
学生静静地在课堂上思考着，动笔写下自己的想法。
……
整节课学生都围绕着“★表示什么运算符号，自己想办法验证”来展开。讨论到“ ”时就有了加法交换律，讨论到“×”时就有了乘法交换律，讨论到“-”和“÷”时也明白了为什么没有减法和除法的交换律。真正从本质上理解交换律的内在含义，并学会运用加法意义和乘法意义来解释验证交换律的正确性。让学生不断地在思维上突破并融合，相信学生经历了这样的学习过程，对于交换律的本质属性应该有了进一步的了解。 同一节课研读不同版本的教材，是为了更好地理解知识点在体系中的地位和结构，可以将单独的知识点放入单元体系中去观察和对比，通过求同存异的比较方法来分析教材，让自身对教材中知识点前后的逻辑关系和知识点的本质有更好的理解，同时，这样研读不同的教材所收获的内容，也可以作为教师自身的知识储备。
二、基于小、中学教材衔接的思考
同一教学内容在小学阶段不同版本教材中虽然编排顺序和体系会有所不同，但是对学生小学阶段所需掌握的要求是差不多的，课标里明确了第一、二学段简算内容的掌握要求。但许多教师有时也会遇到这样的情况——在教学有些简算内容时，对于算理无法给出恰当的解释，或者能够给出的解释超出了学生的知识范围。面对这种情况，大多数教师的做法就是回避这些问题，如以下这个案例。
【传统案例】
五年级上册，要求怎样简便就怎样算：
（1）4.25-1.64 8.75-9.36
（2）0.9 9.9 99.9 999.9
习题（1）教学：要求学生仔细观察习题，引导发现数据特征，学生很快发现有两组数据能凑整，分别是4.25和8.75，1.64和9.36。于是解答此题为：（4.25 8.75）-（1.64 9.36）。随后教师反问学生，这道题用到了什么运算定律，学生会说用到加法结合律还有减法的性质，教师听到学生这样的答案也挺满意，觉得学生掌握得还不错了。
习题（2）教学：引导学生观察算式特征，学生快速发现这里每个数的末尾都是9，教师引导学生思考，看到9会想到什么，学生经过思考会说出再加1就能凑整，于是解答此题为：（0.9 0.1） （9.9 0.1） （99.9 0.1） （999.9 0.1）-0.4。随后教师反问学生，为什么要减去0.4，学生有了之前的引导思考，也能顺利回答出之前加了4个0.1，所以后面要减去0.4，多加了要减去。
仔细思考教师对于这两题的教学，从表面来看似乎没什么问题，但深入研究就会发现还是有问题存在的。在做了这两题后，笔者曾经进行过一次学生的课后访谈：
（1）4.25-1.64 8.75-9.36 （2）0.9 9.9 99.9 999.9
师：这题中，为什么1.64和8.75交换位置后加减符号也变了呢？（即变成4.25 8.75-1.64-9.36）
生1：这个……我也不知道，老师这么说的。（犹豫不确定）
生2：我知道，这是在用加法交换律，后面的使用减法交换律……（笃定的语气）
生3：不对！这里使用减法的性质，没有减法交换律。（马上反驳） 师：那这题你是怎么想到这样去做？
生4：因为末尾有个0.9啊。（自信的口吻）
生5：因为它要凑整，加上0.1最方便。（思辨过后的语气）
生6：因为这样简便呀。（笼统的回答）
从学生的访谈结合之前教师通常的教学，我们就可以发现：学生对于这两题为何这样简便来计算并没有真正掌握，只是看到外表数的形式的变化，而没有真正理解为何这样变化的本质。其实这两题对于小学生来说要求算出正确的结果并不是很困难，只要教师进行专项训练加以巩固就能达到要求。可是我们的简算教学并不只是停留在会生搬硬套上就可以了，更要挖掘简算的本质。
要深入挖掘知识本质，作为教师不妨把视角放宽一些，来看看第三学段中对相关内容的要求及初中阶段的教材，或许能有一些帮助。
第一学段 第二学段 第三学段
数的运算（简算相关内容要求） 认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步） 探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算 理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算
从《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求来看，可以看出小学阶段重在掌握简便计算的基本方法和技能，能够灵活运用解决一些简单的简便运算；初中阶段重在简便计算的灵活运用，随着数的范围的扩大，将小学阶段所运用的运算律全部纳入到有理数的计算中。
此时，我们来研读初中教材中有理数简便计算的内容可以知道，简便计算的灵活运用主要包括以下几个方面：
（1）互为相反数的两个数可以先加。
（2）符号相同的两个数可以先加。
（3）几个数相加得整数可以先加。
（4）同分母的分数可以先加。
（5）能凑整时可以加括号先分组求和。
习题（1）如果按照初中的运算思路就是符号相同的两个数可以先加，而且减法是加法的逆运算，算式就是4.25 （-1.64） 8.75 （-9.36），这样一来就很清楚，这里用到的就是加法交换律和加法结合律。习题（2）就是体现初中“分组求和”凑整的思想。有了这些衔接的思考，可以进行重新设计。
【改进案例】
（1）4.25-1.64 8.75-9.36
师：大家知道在加法中我们交换位置，结果不变，其实在计算中，只要是同一级运算，改变运算顺序，它的结果也是不变的。加、减是同级运算，乘、除也是同级运算，比如说这里减1.64加8.75交换位置后就是加8.75减1.64，结果是不变的，再利用加法结合律和减法的性质巧妙解答这题。
在常规教学的基础上，教师巧妙地引导学生将加法交换律拓展到了同级运算的交换律，学生在中年级四则运算的学习中，已经知道加、减法是同级运算，所以学生也不难理解。同时又化解了学生对于减法是加法的逆运算、带着符号搬家的理解，注重了中小学衔接的关注，也更为深入地理解了交换律在运算中的本质。
（2）0.9 9.9 99.9 999.9
师：观察算式当中每个数的尾数都是9，这时候我们通常会想到与9凑整的方法，在凑整时也要考虑凑成最方便计算的整数，还要注意“多加要减，多减要加”的规则。像这样特征的算式，我们可以考虑用凑整分组求和的方法来算，可以使计算得到简便，这也是我们常用的一种简便技巧。
在学生基本掌握运算律的前提下，教师对学生的回答要有适当小结，在小结过程中还要渗透中小学衔接的要求，其实这种凑整分组的方法也就是以后初中有理数分组求和的基本技巧，这里提前渗透。如果教师能及时点拨、抓住要领，相信学生能够通过一定的训练来掌握灵活运用运算律的方法的。
要提高简算教学的有效性，读懂教材、理解教材、钻研教材是对教师的基本要求。在教学中设计一堂课的教学内容时，可以通过横向的不同版本教材对本课的编排进行解读，也可以通过纵向中小学教材掌握目标的衔接进行解读，从而提高课堂教学的效果。除此以外，还可以通过理解算理、培养学生计算品质、评价简算教学等方面进行思考和实践，相信也会对简算教学有所帮助。
（浙江省湖州市爱山小学教育集团 313000）