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初学几何，同学们会遇到一些求线段长或角度数的问题，在解答这些问题时要用到各种数学思想方法，主要有分类讨论思想、整体思想、转化思想、数形结合思想、方程思想等，下面举例说明.
一、 分类讨论思想
所谓分类讨论，就是当要求解的问题包含两种或两种以上的答案时，需要根据不同的情况进行分类解答.
例1 已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别是线段0A、OB的中点，则线段EF的长为_________cm.
解析：要求线段EF的长，比较直观的方法就是画出图形，借助图形解决问题.由于点O在直线AB上，可能存在两种情况：一是点O在线段AB上（如图1）;二是点O在线段AB外（如图2）.当点O在线段AB上时，EF=5cm，当点O在线段AB外时，EF=1cm. 故答案为1cm或5cm.
图1 图2
例2 已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.
分析：本题没有图，作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况.
解：（1）如图3，当OC落在∠AOB的内部时， 图3
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠AOM= ∠AOB= ×100°=50°，
∠BON= ∠BOC= ×60°=30°，
∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON
=100°-50°-30°=20°;
（2）如图4，当OC落在∠AOB的外部时，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM= ∠AOB=50°， 图4
∠BON= ∠BOC=30°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.
点评：当图形之间的位置关系不明确时，往往要进行分类讨论，以免因考虑不周而漏解.
二、 整体思想
整体思想就是从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察、分析、探究问题.借助这种思想解题可以化难为易，化繁为简.
例3 如图5，OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，如果∠AOB=130°，求∠COE的度数.
分析：观察图形可知∠COE=∠COD+∠DOE，而∠COD、∠DOE的大小不定，所以只能设法求出∠COD+∠DOE.根据已知OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，则有∠COD= ∠AOD，∠DOE= ∠BOD，这样∠COD+∠DOE= （∠AOD+∠BOD），借助∠AOD+∠BOD=∠AOB，这一整体代换可得到∠COD+∠DOE= ∠AOB=65°.
解：∠COE=∠COD +∠DOE= （∠AOD+∠BOD） 图5
= ∠AOB= ×130°=65°.
例4 如图6，点B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN=a，BC=b，则AD的长是________.
图6
解析：∵AM=MB，CN=ND.
∴AM+ND=MB+CN.
又∵MB+CN=MN-BC=a-b.
∴AM+ND=a-b.
∴AD=AM+MN+ND=a-b+a=2a-b.
点评：整体代换是一种重要的解题策略，在解决问题时，当单个对象无法求出时，可考虑将几个单个对象作为一个整体来考虑，这就是整体思想.
三、转化思想
转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解决的一种思想方法.
例5 如图7，∠AOB=90°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的度数.
分析：观察图形知，∠MON=∠NOC-∠MOC，但我们并不知道∠NOC、∠MOC的度数，为此，需要根据ON是∠AOC的平分线、OM是∠BOC的平分线这两个已知条件进行转化，找到∠MON与已知∠AOB之间的关系. 图7
解：∵∠NOC= ∠AOC，∠MOC= ∠BOC， ∴∠MON=∠NOC-∠MOC= ∠AOC- ∠BOC= （∠AOC-∠BOC）= ∠AOB= ×90°=45°.
例6 如图8，一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为6cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是________. 图8
分析：要求最短路径，要把圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可求解.
解：将圆柱侧面展开，展开图如图9所示，点A、B的最短距离为线段AB的长.在RT△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC为底面半圆弧长，AC=1.5π= 4.5cm，
∴AB= =7.5cm.
故答案为7.5cm. 图9
点评：研究立体图形中两点之间最短路经问题时，通常把立体图形展开成平面图形，转化为平面图形两点间的距离问题，平面内两点之间线段最短.
四、 数形结合思想
几何图形中常常蕴涵着角之间的和、差、倍、分的关系，利用数形结合思想，将代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使数量关系和空间形成结合起来，使问题清晰化、直观化、具体化.
例7 如图10，直线AB、CD相交于点O，∠EOB=90°，OF平分∠COE，∠1=20°，求∠AOF的度数.
图10
解：观察图形可知，∠1与∠3是对顶角，
∴∠3=∠1=20°，∵∠EOB=90°，
可得∠2=∠EOB-∠1=90°-20°=70°，
又∵∠COD是平角，∴∠COD=180°，
可得∠COE=∠COD-∠2=180°-70°=110°，
又∵OF平分∠COE，
∴∠COF= ∠COE= ×110°=55°，
∴∠AOF=∠COF-∠3=55°-20°=35°.
例8 往返于A、B两个城市的客车，中途有三个停靠点.
（1）该客车有多少种不同的票价？
（2）该客车上要准备多少种车票？
解：根据题意画图11所示.
（1）图11中的线段有AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB，共有10条，因此有10种不同的票价.
（2）同一路段，往返时的起点和终点正好相反，所以应准备20种车票. 图11
点评：解答本题的关键是先求出A、B两地之间共有多少条线段，然后根据线段的条数确定票价，最后求出车票种类.
五、方程思想
当题目中的未知量较多时，可以考虑将其中的一个用字母表示，然后尽量挖掘题目条件中的等量关系，用含字母的代数式表示其他的未知量，最后列方程解决问题.
例9 如图12，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分，M是AD的中点，CD=8，求MC的长.
图12
分析：由AB∶BC∶CD=2∶3∶4，可设AB=2x、BC=3x、CD=4x，由CD=4x=8，求得x的值，进而求出MC的长.
解：设AB=2x，由AB∶BC∶CD=2∶3∶4，
得BC=3x，CD=4x，AD=（2+3+4）x=9x，
∵CD=8，∴4x=8，∴x=2.
∴CD=4x=8，AD=9x=18，
∵M是AD的中点，
∴MC=MD-CD = AD-CD
= ×18-8=1.
例10 如图13，∠AOC与∠BOD都是90°，且∠AOB∶∠AOD=2∶11，求∠AOB与∠BOC的度数.
图13
解：设∠AOB=2x，则∠AOD=11x，
∵∠AOD-∠AOB=∠BOD=90°，
∴11x-2x=90°，x=10°，∴∠AOB=20°，
∵∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-20°=70°，
∴∠AOB=20°，∠BOC=70°.
点评：方程是解决很多数学问题的重要工具.事实上，用设未知数的方法，可使计算过程简洁，也易于求解.方程思想常用于线段与角的计算.
一元一次方程和不等式巩固练习参考答案
1.D;2.A;3.B;4.C;5.（-3，0）;6.-1;7. ;
8.3x=2x+60×2;9. 37或49;
10.（1） ;（2）x≥2（图略）;
11.解：所编制的方程可以为：
1- = ，解得：x= .
12. 解：（1）∵一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，∴一个人手工采摘棉花的效率为：35÷3.5=10（公斤/时），
∵雇工每天工作8小时，
∴一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘棉花：10×8=80（公斤）;
（2）由题意，得80×7.5a=900，解得a= ;
（3）设张家雇佣x人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，其中王家所雇的人中有 x人自带彩棉机采摘， x人手工采摘.
∵张家雇佣的x人全部手工采摘棉花，且采摘完毕后，张家付给雇工工钱总额为14400元，∴采摘的天数为： = ，
∴王家这次采摘棉花的总重量是：（35× 8× x+80× x）× =51200（公斤）.
一、 分类讨论思想
所谓分类讨论，就是当要求解的问题包含两种或两种以上的答案时，需要根据不同的情况进行分类解答.
例1 已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别是线段0A、OB的中点，则线段EF的长为_________cm.
解析：要求线段EF的长，比较直观的方法就是画出图形，借助图形解决问题.由于点O在直线AB上，可能存在两种情况：一是点O在线段AB上（如图1）;二是点O在线段AB外（如图2）.当点O在线段AB上时，EF=5cm，当点O在线段AB外时，EF=1cm. 故答案为1cm或5cm.
图1 图2
例2 已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.
分析：本题没有图，作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况.
解：（1）如图3，当OC落在∠AOB的内部时， 图3
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠AOM= ∠AOB= ×100°=50°，
∠BON= ∠BOC= ×60°=30°，
∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON
=100°-50°-30°=20°;
（2）如图4，当OC落在∠AOB的外部时，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM= ∠AOB=50°， 图4
∠BON= ∠BOC=30°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.
点评：当图形之间的位置关系不明确时，往往要进行分类讨论，以免因考虑不周而漏解.
二、 整体思想
整体思想就是从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察、分析、探究问题.借助这种思想解题可以化难为易，化繁为简.
例3 如图5，OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，如果∠AOB=130°，求∠COE的度数.
分析：观察图形可知∠COE=∠COD+∠DOE，而∠COD、∠DOE的大小不定，所以只能设法求出∠COD+∠DOE.根据已知OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，则有∠COD= ∠AOD，∠DOE= ∠BOD，这样∠COD+∠DOE= （∠AOD+∠BOD），借助∠AOD+∠BOD=∠AOB，这一整体代换可得到∠COD+∠DOE= ∠AOB=65°.
解：∠COE=∠COD +∠DOE= （∠AOD+∠BOD） 图5
= ∠AOB= ×130°=65°.
例4 如图6，点B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN=a，BC=b，则AD的长是________.
图6
解析：∵AM=MB，CN=ND.
∴AM+ND=MB+CN.
又∵MB+CN=MN-BC=a-b.
∴AM+ND=a-b.
∴AD=AM+MN+ND=a-b+a=2a-b.
点评：整体代换是一种重要的解题策略，在解决问题时，当单个对象无法求出时，可考虑将几个单个对象作为一个整体来考虑，这就是整体思想.
三、转化思想
转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解决的一种思想方法.
例5 如图7，∠AOB=90°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的度数.
分析：观察图形知，∠MON=∠NOC-∠MOC，但我们并不知道∠NOC、∠MOC的度数，为此，需要根据ON是∠AOC的平分线、OM是∠BOC的平分线这两个已知条件进行转化，找到∠MON与已知∠AOB之间的关系. 图7
解：∵∠NOC= ∠AOC，∠MOC= ∠BOC， ∴∠MON=∠NOC-∠MOC= ∠AOC- ∠BOC= （∠AOC-∠BOC）= ∠AOB= ×90°=45°.
例6 如图8，一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为6cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是________. 图8
分析：要求最短路径，要把圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可求解.
解：将圆柱侧面展开，展开图如图9所示，点A、B的最短距离为线段AB的长.在RT△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC为底面半圆弧长，AC=1.5π= 4.5cm，
∴AB= =7.5cm.
故答案为7.5cm. 图9
点评：研究立体图形中两点之间最短路经问题时，通常把立体图形展开成平面图形，转化为平面图形两点间的距离问题，平面内两点之间线段最短.
四、 数形结合思想
几何图形中常常蕴涵着角之间的和、差、倍、分的关系，利用数形结合思想，将代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使数量关系和空间形成结合起来，使问题清晰化、直观化、具体化.
例7 如图10，直线AB、CD相交于点O，∠EOB=90°，OF平分∠COE，∠1=20°，求∠AOF的度数.
图10
解：观察图形可知，∠1与∠3是对顶角，
∴∠3=∠1=20°，∵∠EOB=90°，
可得∠2=∠EOB-∠1=90°-20°=70°，
又∵∠COD是平角，∴∠COD=180°，
可得∠COE=∠COD-∠2=180°-70°=110°，
又∵OF平分∠COE，
∴∠COF= ∠COE= ×110°=55°，
∴∠AOF=∠COF-∠3=55°-20°=35°.
例8 往返于A、B两个城市的客车，中途有三个停靠点.
（1）该客车有多少种不同的票价？
（2）该客车上要准备多少种车票？
解：根据题意画图11所示.
（1）图11中的线段有AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB，共有10条，因此有10种不同的票价.
（2）同一路段，往返时的起点和终点正好相反，所以应准备20种车票. 图11
点评：解答本题的关键是先求出A、B两地之间共有多少条线段，然后根据线段的条数确定票价，最后求出车票种类.
五、方程思想
当题目中的未知量较多时，可以考虑将其中的一个用字母表示，然后尽量挖掘题目条件中的等量关系，用含字母的代数式表示其他的未知量，最后列方程解决问题.
例9 如图12，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分，M是AD的中点，CD=8，求MC的长.
图12
分析：由AB∶BC∶CD=2∶3∶4，可设AB=2x、BC=3x、CD=4x，由CD=4x=8，求得x的值，进而求出MC的长.
解：设AB=2x，由AB∶BC∶CD=2∶3∶4，
得BC=3x，CD=4x，AD=（2+3+4）x=9x，
∵CD=8，∴4x=8，∴x=2.
∴CD=4x=8，AD=9x=18，
∵M是AD的中点，
∴MC=MD-CD = AD-CD
= ×18-8=1.
例10 如图13，∠AOC与∠BOD都是90°，且∠AOB∶∠AOD=2∶11，求∠AOB与∠BOC的度数.
图13
解：设∠AOB=2x，则∠AOD=11x，
∵∠AOD-∠AOB=∠BOD=90°，
∴11x-2x=90°，x=10°，∴∠AOB=20°，
∵∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-20°=70°，
∴∠AOB=20°，∠BOC=70°.
点评：方程是解决很多数学问题的重要工具.事实上，用设未知数的方法，可使计算过程简洁，也易于求解.方程思想常用于线段与角的计算.
一元一次方程和不等式巩固练习参考答案
1.D;2.A;3.B;4.C;5.（-3，0）;6.-1;7. ;
8.3x=2x+60×2;9. 37或49;
10.（1） ;（2）x≥2（图略）;
11.解：所编制的方程可以为：
1- = ，解得：x= .
12. 解：（1）∵一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，∴一个人手工采摘棉花的效率为：35÷3.5=10（公斤/时），
∵雇工每天工作8小时，
∴一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘棉花：10×8=80（公斤）;
（2）由题意，得80×7.5a=900，解得a= ;
（3）设张家雇佣x人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，其中王家所雇的人中有 x人自带彩棉机采摘， x人手工采摘.
∵张家雇佣的x人全部手工采摘棉花，且采摘完毕后，张家付给雇工工钱总额为14400元，∴采摘的天数为： = ，
∴王家这次采摘棉花的总重量是：（35× 8× x+80× x）× =51200（公斤）.