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摘要：本文从“四个理解”出发：理解数学，准确定位课时目标，把握极坐标思想的内涵与外延;理解教学，设置类比的教学方法，引导学生亲历探索圆的极坐标方程;理解学生，基于高二学生的知识经验逐步成熟，引导他们主动探究;理解技术，运用视频、PPT、几何画板帮助学生更好的理解极坐标方程。
关键词：四个理解;圆的极坐标方程;类比思想
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）12-088-1
章建跃博士提出理解数学，理解学生，理解教学，理解技术概括为“四理解”，这就是我们教学的总指导。理解数学是解决“教什么”的问题，理解学生是为了解决“怎样教”的问题，理解教学就是解决“为什么这样教”的问题，理解技术就是要解决“用什么促进教”的问题。
一、基于“四理解”确定教学目标
本节课是高中数学4-4《坐标系与参数方程》选讲中第一讲第三节的内容，是在复习了平面直角坐标系，引入了极坐标系，以及掌握了极坐标与直角坐标的互化的基础上进一步学习《简单曲线的极坐标方程》，并且学生已经学习了解析几何与三角函数知识，对这节课的学习有一定的自主学习能力。这节在教参中的建议是2课时，本节课是第一课时。基于此，在理解教学和理解学生的基础上，圆的极坐标方程这一节的教学目标设计如下。
1.知识与技能目标
理解极坐标系下曲线与方程的关系，会求圆的极坐标方程，掌握圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，体会极坐标系下求点的轨迹方程。
2.过程与方法目标
通过教学，使学生体会类比，从特殊到一般及整体思想，进一步认识数形结合在数学中的重要性。
3.情感态度与价值观
培养学生观察，分析与推理，探究的能力以及获取知识的学习意识，激发学生的兴趣和热情，获得积极的情感体验。
二、基于“四理解”设计教学环节
1.引入环节
播放百岁山矿泉水视频，讲述广告背后蕴藏的故事情形，引出笛卡尔的心形曲线，研究方程ρ=a（1-sinθ）的结构特征，引出课题，不仅将数学文化渗透其中而且极大地调动了学生们的学习热情。
2.探究环节
（1）曲线的极坐标方程，基于高二学生知识经验逐步成熟，有一定的类比归纳推理能力这一认知特点，让学生自己类比直角坐标系曲线方程的概念推导极坐标系下曲线的方程，并且适时给出反例ρ=θ说明两者的不同，进一步深刻的理解了极坐标系下极角的多值性，从而学生自己通过类比得出了定义，很好的诠释了波利亚所说“类比和反例是获得发明的伟大源泉。”
（2）求曲线的极坐标方程，学生仍然类比直角坐标方程得出求极坐标方程的五步，充分调动学生的主动性，切实体会极坐标方程是曲线方程的另一种表征方式，拓宽了学生的视野。
3.应用环节
圆的极坐标方程
应用1：求圆的极坐标方程
例1：如图，已知圆心在C（a，0），半径为a，求圆的极坐标方程。
学生们交流课前导学案的预习结果，生成了4种方法：
教学时重点突出极坐标的思想，原理，以教材提供的资源着重演绎极坐标思想方法。一题多解拓宽学生思维广度，激发学生在解决问题中创新思维，式形结合从而达到研一题，悟一法，通一类的目的，为后面的学习在知识上和经验上奠定了基础。
变式训练：若圆心坐标为M（ρ0，θ0），圆的半径为r，求圆的方程.
基于例1的学习学生很快就给出了结果，r2=ρ2 ρ20-2ρ·ρ0cos（θ-θ0），当ρ0=r时，ρ=2rcos（θ-θ0）就是圆心在（r，θ0），半径为r的圆的极坐标方程。特别的当θ0=0，θ0=π2，θ0=π，θ0=3π2时即为我们前面研究的圆心在特殊位置的圆的极坐标方程，在这里体会由特殊到一般再由一般到特殊的研究方法。
应用2：圆的极坐标方程的转化
例2：已知一个圆的方程是ρ=53cosθ-5sinθ ，求圆心坐标和半径。
学生们利用直角坐标和极坐标的互化，化成直角坐标系下求解圆心和半径，强调互化中忽略自变量的范围发生不等价变换。部分学生对极坐标系的运算往往通过直角坐标的转换来运算，对于它的应用则浅尝辄止，极坐标没有变成一个学生解决问题的工具，而变成一种负担，这和新课标引入极坐标的初衷不符，所以教学中应强化极坐标系应用意识，顺势引导学生在极坐标系下处理问题，将原式化为ρ=10（cosθ·32-sinθ·12）=10cos（θ π6），所以圆心为（5，-π6）半径为5的圆。
综上所述，在“四理解”的指导下，教学自然、有序、高效，学生在学习过程中进一步中体会了类比，等价转换，数形结合，整体分类等数学思想，重温多种数学思想方法的美妙，极坐标不僅可以用另一种视觉看数学问题，开阔数学思维空间，而且提高学生对于数学应用意识的认识和理解。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]宫前长.新课程极坐标方程教学困惑、解惑与感悟[J].教学参谋，2015（19）：58-62.
[3]徐小琴，赵思林.基于“四个理解”的数学教学[J].数学教学通讯，2018（2）：5 29.
注：本文系山西省教育科学“十三五”规划2019年度课题“基于四理解的高中数学教学设计的实践研究”（编号GH-19360）阶段性研究成果。
（作者单位：山西省太原市第五中学校，山西 太原 030012）
关键词：四个理解;圆的极坐标方程;类比思想
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）12-088-1
章建跃博士提出理解数学，理解学生，理解教学，理解技术概括为“四理解”，这就是我们教学的总指导。理解数学是解决“教什么”的问题，理解学生是为了解决“怎样教”的问题，理解教学就是解决“为什么这样教”的问题，理解技术就是要解决“用什么促进教”的问题。
一、基于“四理解”确定教学目标
本节课是高中数学4-4《坐标系与参数方程》选讲中第一讲第三节的内容，是在复习了平面直角坐标系，引入了极坐标系，以及掌握了极坐标与直角坐标的互化的基础上进一步学习《简单曲线的极坐标方程》，并且学生已经学习了解析几何与三角函数知识，对这节课的学习有一定的自主学习能力。这节在教参中的建议是2课时，本节课是第一课时。基于此，在理解教学和理解学生的基础上，圆的极坐标方程这一节的教学目标设计如下。
1.知识与技能目标
理解极坐标系下曲线与方程的关系，会求圆的极坐标方程，掌握圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，体会极坐标系下求点的轨迹方程。
2.过程与方法目标
通过教学，使学生体会类比，从特殊到一般及整体思想，进一步认识数形结合在数学中的重要性。
3.情感态度与价值观
培养学生观察，分析与推理，探究的能力以及获取知识的学习意识，激发学生的兴趣和热情，获得积极的情感体验。
二、基于“四理解”设计教学环节
1.引入环节
播放百岁山矿泉水视频，讲述广告背后蕴藏的故事情形，引出笛卡尔的心形曲线，研究方程ρ=a（1-sinθ）的结构特征，引出课题，不仅将数学文化渗透其中而且极大地调动了学生们的学习热情。
2.探究环节
（1）曲线的极坐标方程，基于高二学生知识经验逐步成熟，有一定的类比归纳推理能力这一认知特点，让学生自己类比直角坐标系曲线方程的概念推导极坐标系下曲线的方程，并且适时给出反例ρ=θ说明两者的不同，进一步深刻的理解了极坐标系下极角的多值性，从而学生自己通过类比得出了定义，很好的诠释了波利亚所说“类比和反例是获得发明的伟大源泉。”
（2）求曲线的极坐标方程，学生仍然类比直角坐标方程得出求极坐标方程的五步，充分调动学生的主动性，切实体会极坐标方程是曲线方程的另一种表征方式，拓宽了学生的视野。
3.应用环节
圆的极坐标方程
应用1：求圆的极坐标方程
例1：如图，已知圆心在C（a，0），半径为a，求圆的极坐标方程。
学生们交流课前导学案的预习结果，生成了4种方法：
教学时重点突出极坐标的思想，原理，以教材提供的资源着重演绎极坐标思想方法。一题多解拓宽学生思维广度，激发学生在解决问题中创新思维，式形结合从而达到研一题，悟一法，通一类的目的，为后面的学习在知识上和经验上奠定了基础。
变式训练：若圆心坐标为M（ρ0，θ0），圆的半径为r，求圆的方程.
基于例1的学习学生很快就给出了结果，r2=ρ2 ρ20-2ρ·ρ0cos（θ-θ0），当ρ0=r时，ρ=2rcos（θ-θ0）就是圆心在（r，θ0），半径为r的圆的极坐标方程。特别的当θ0=0，θ0=π2，θ0=π，θ0=3π2时即为我们前面研究的圆心在特殊位置的圆的极坐标方程，在这里体会由特殊到一般再由一般到特殊的研究方法。
应用2：圆的极坐标方程的转化
例2：已知一个圆的方程是ρ=53cosθ-5sinθ ，求圆心坐标和半径。
学生们利用直角坐标和极坐标的互化，化成直角坐标系下求解圆心和半径，强调互化中忽略自变量的范围发生不等价变换。部分学生对极坐标系的运算往往通过直角坐标的转换来运算，对于它的应用则浅尝辄止，极坐标没有变成一个学生解决问题的工具，而变成一种负担，这和新课标引入极坐标的初衷不符，所以教学中应强化极坐标系应用意识，顺势引导学生在极坐标系下处理问题，将原式化为ρ=10（cosθ·32-sinθ·12）=10cos（θ π6），所以圆心为（5，-π6）半径为5的圆。
综上所述，在“四理解”的指导下，教学自然、有序、高效，学生在学习过程中进一步中体会了类比，等价转换，数形结合，整体分类等数学思想，重温多种数学思想方法的美妙，极坐标不僅可以用另一种视觉看数学问题，开阔数学思维空间，而且提高学生对于数学应用意识的认识和理解。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]宫前长.新课程极坐标方程教学困惑、解惑与感悟[J].教学参谋，2015（19）：58-62.
[3]徐小琴，赵思林.基于“四个理解”的数学教学[J].数学教学通讯，2018（2）：5 29.
注：本文系山西省教育科学“十三五”规划2019年度课题“基于四理解的高中数学教学设计的实践研究”（编号GH-19360）阶段性研究成果。
（作者单位：山西省太原市第五中学校，山西 太原 030012）