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著名数学家笛卡尔说过：“我们所解决的每一个问题，将成为一种模式，用于解决其他问题.”下面举例说明一个基本模型在解题中的应用.
基本模型：如图1，点E是线段AB上的一点，
且∠CAE=∠EBD=∠CED=90°，则△CAE∽△EBD.
特别：当CE=DE时，△CAE≌△EBD.
一、使用模型
例1如图2，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长.
解析：图中存在基本模型.
因为EF=EC，所以Rt△EDC≌Rt△FAE，
所以AE=CD，设AE=x，则CD=x，
又因为2（AB+CD）=32，即2（x+4+x）=32.
解之得：x=6 即AE的长为6 cm.
二、扩展模型
例2在直线l上依次摆放七个正方形（如图3），已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=.
解析：图中是一个基本模型的扩展
由基本模型可知：△ABC≌△CDE，所以CD=AB，在Rt△CDE中，CD
2+DE2=CE2.
即AB2+DE2=CE2，所以S1+S2=1，同理S3+S4=3，所以
S1+S2+S3+S4=1+3=4.
三、建立模型
例3如图4，已知：△ABC中，ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长为（ ）
（A） 217（B） 25（C）
42（D） 7
解析：过A作AD⊥l3，过C作CE⊥l3，垂足分别为D、E，建立基本模型
.
因为Rt△ADB≌△BEC，所以BE=AD=3，CE=2+3=5，
在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2=32+52=34，
因为AC2=2BC2=2×34=68，所以AC=2
17，故选（A）.
四、联想模型
例4如图5，矩形ABCG（AB （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
解析：解决问题时要想到基本模型：
设AB=CD=a，BC=DE=b，PB=x，
则PD=x-a-b，
由基本模型可知：△ABP∽△PDE，
所以ABPD=
PBDE，即
ax-a-b
=xb，
整理得：x2-（a+b）x-ab=0.
因为Δ=[-（a+b）]2-4×1×（-ab）=（a+b）2+4ab>0，
所以方程有两个不相等的实数根，
即满足条件的点P有两个，故选（C）.
五、逆用模型
例5如图6，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，
要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、
△CDP两两相似，则a、b间的关系一定满足（ ）
（A） a≥12b （B） a≥b
（C） a≥32b
（D） a≥2b
解析：因为△ABP为直角三角形，而△ABP与△APD又相似，所以△APD也是直角三角形，而只有∠APD=90°，所以图中只有存在基本模型，才能满足△ABP、△APD、△CDP两两相似.逆用基本模型得：△ABP∽△PCD，所以
ABPB
=PCCD，
即
bPB
=a-PBb，
整理得：PB2-a·PB+b2=0，
因为Δ=（-a）2-4b2≥0，所以a≥2b，故选（D）.
[BP（]
六、猜想模型
例6：如图：铁路上A、B两点相距25km，
C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
已知，DA=15km，CB=10km，现要在铁路AB上
修建一个大特产收购站E，合得C、D两村到E
站的距离相等，则E站应修建在离A站 km处.
分析：猜想模型：即假设DE⊥EC，且DE=CE，则△DAE≌△EBC，则AE=CB=10，即E站应修建在离A站10km处.
解：设AE=x，则BE=25-x 因为DE=EC 所以DE2=EC2
即x2+152=（25-x）2+102 解之得：x=10
所以E站应修建在离A站10km处
七、发现模型
例7：如图：在正方形ABCD中，E为CD的中点，F在BC上，且BF=3FC，
求tan∠EAF的值.
分析：善于发现图中的基本模型是解题的关键.
解：设FC=a 因为BF=3FC=3a 则BC=4a
所以DE=EC=2a
因为
所以 且∠ADE=∠ECF=90°
所以△ADE∽△ECF 所以
且∠DAE=∠FEC 因为∠DAE+∠AED=90°
所以∠CEF+∠AED=90° 所以∠AEF=90°
在Rt△AEF中，tan∠EAF=
八、变换模型
例8：如图：已知等边△ABC沿MN折叠，使点A落到BC边的D处，
若BD∶DC=2∶1，求 的值.
分析：由题意可知：∠B=∠C=∠MDN=60°，由基本模型可知：当模型中的垂直变为60°时，结论仍成立.
解：由折叠可知：∠A=∠MDN
因为△ABC是等边三角形
所以∠B=∠C=∠MDN=60°
由变换基本模型可知：△MBD∽△DCN
根据相似三角形周长的比等于相似比得：
由折叠可知：AM=MD，AN=ND
又因为BD∶DC=2∶1 设CD=x，则BD=2x AB=BC=AC=3x
所以
基本模型：如图1，点E是线段AB上的一点，
且∠CAE=∠EBD=∠CED=90°，则△CAE∽△EBD.
特别：当CE=DE时，△CAE≌△EBD.
一、使用模型
例1如图2，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长.
解析：图中存在基本模型.
因为EF=EC，所以Rt△EDC≌Rt△FAE，
所以AE=CD，设AE=x，则CD=x，
又因为2（AB+CD）=32，即2（x+4+x）=32.
解之得：x=6 即AE的长为6 cm.
二、扩展模型
例2在直线l上依次摆放七个正方形（如图3），已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=.
解析：图中是一个基本模型的扩展
由基本模型可知：△ABC≌△CDE，所以CD=AB，在Rt△CDE中，CD
2+DE2=CE2.
即AB2+DE2=CE2，所以S1+S2=1，同理S3+S4=3，所以
S1+S2+S3+S4=1+3=4.
三、建立模型
例3如图4，已知：△ABC中，ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长为（ ）
（A） 217（B） 25（C）
42（D） 7
解析：过A作AD⊥l3，过C作CE⊥l3，垂足分别为D、E，建立基本模型
.
因为Rt△ADB≌△BEC，所以BE=AD=3，CE=2+3=5，
在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2=32+52=34，
因为AC2=2BC2=2×34=68，所以AC=2
17，故选（A）.
四、联想模型
例4如图5，矩形ABCG（AB
解析：解决问题时要想到基本模型：
设AB=CD=a，BC=DE=b，PB=x，
则PD=x-a-b，
由基本模型可知：△ABP∽△PDE，
所以ABPD=
PBDE，即
ax-a-b
=xb，
整理得：x2-（a+b）x-ab=0.
因为Δ=[-（a+b）]2-4×1×（-ab）=（a+b）2+4ab>0，
所以方程有两个不相等的实数根，
即满足条件的点P有两个，故选（C）.
五、逆用模型
例5如图6，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，
要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、
△CDP两两相似，则a、b间的关系一定满足（ ）
（A） a≥12b （B） a≥b
（C） a≥32b
（D） a≥2b
解析：因为△ABP为直角三角形，而△ABP与△APD又相似，所以△APD也是直角三角形，而只有∠APD=90°，所以图中只有存在基本模型，才能满足△ABP、△APD、△CDP两两相似.逆用基本模型得：△ABP∽△PCD，所以
ABPB
=PCCD，
即
bPB
=a-PBb，
整理得：PB2-a·PB+b2=0，
因为Δ=（-a）2-4b2≥0，所以a≥2b，故选（D）.
[BP（]
六、猜想模型
例6：如图：铁路上A、B两点相距25km，
C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
已知，DA=15km，CB=10km，现要在铁路AB上
修建一个大特产收购站E，合得C、D两村到E
站的距离相等，则E站应修建在离A站 km处.
分析：猜想模型：即假设DE⊥EC，且DE=CE，则△DAE≌△EBC，则AE=CB=10，即E站应修建在离A站10km处.
解：设AE=x，则BE=25-x 因为DE=EC 所以DE2=EC2
即x2+152=（25-x）2+102 解之得：x=10
所以E站应修建在离A站10km处
七、发现模型
例7：如图：在正方形ABCD中，E为CD的中点，F在BC上，且BF=3FC，
求tan∠EAF的值.
分析：善于发现图中的基本模型是解题的关键.
解：设FC=a 因为BF=3FC=3a 则BC=4a
所以DE=EC=2a
因为
所以 且∠ADE=∠ECF=90°
所以△ADE∽△ECF 所以
且∠DAE=∠FEC 因为∠DAE+∠AED=90°
所以∠CEF+∠AED=90° 所以∠AEF=90°
在Rt△AEF中，tan∠EAF=
八、变换模型
例8：如图：已知等边△ABC沿MN折叠，使点A落到BC边的D处，
若BD∶DC=2∶1，求 的值.
分析：由题意可知：∠B=∠C=∠MDN=60°，由基本模型可知：当模型中的垂直变为60°时，结论仍成立.
解：由折叠可知：∠A=∠MDN
因为△ABC是等边三角形
所以∠B=∠C=∠MDN=60°
由变换基本模型可知：△MBD∽△DCN
根据相似三角形周长的比等于相似比得：
由折叠可知：AM=MD，AN=ND
又因为BD∶DC=2∶1 设CD=x，则BD=2x AB=BC=AC=3x
所以