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[摘要]“荡秋千”是孩童时代喜欢的运动，其中有丰富的物理内容。文章基于物理知识，就无阻力无助推、有阻力无助推及无阻力有助推三种情况进行分析。
[关键词]荡秋千；周期运动；摆角；摆动幅度
[中图分类号]G633.7[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08005202
一、引言
“荡秋千”作为孩童时代喜欢的运动，几乎每个人都曾经历或目睹过。然而，人们对其中的物理知识却知之甚少。常见且最简单的秋千由两根长度同为l的细绳和座板构成，两绳的一端被悬挂起来，另一端固定在座板的两端。一个坐在座板上的小女孩玩荡秋千运动，假设这是她人生的第一次“荡秋千”，没有任何技巧，只能在家长的帮助下才能荡起来。稍加留意，人们会注意到：（1）小女孩坐在座板上围绕一个平衡位置荡来荡去；（2）如果没有大人助推，小女孩的荡幅会越来越小，直至停止；（3）为了保证小女孩持续荡来荡去，必须有大人助推。然而，家长的助推是否得当，会直接影响到秋千摆动的规律和幅度。本文运用物理知识，对“荡秋千”过程中的现象进行分析。
二、理想情况下秋千运动规律分析
理想情况是指：（1）细绳长度l远长于摆动幅度；（2）相对于小女孩体重，细绳和座板的重量可忽略；（3）摆动过程中未受到任何阻力作用。在这样的理想情况下，小女孩荡秋千可模拟为质量为m的摆球的单摆运动[1]，如图1所示。摆球受到的重力为mg，其中g=9.8m/s2，该重力可以分解为沿细绳方向的平行分量F∥=mgcosθ和垂直于细绳方向的垂直分量F⊥=mgsinθ。只要摆角θ不超过临界角θc[2]，平行于细绳的重力分量F∥和细绳张力Fl大小相等、方向相反，以保证细绳始终处于直的状态，而垂直于细绳的重力分量mgsinθ驱使摆球来回摆动。运用牛顿第二定律，可以写出摆球沿摆动弧线切线方向的运动方程，即md2sdt2=-mgsinθ（1）
其中s是摆动弧长，θ是摆角，两者间的关系为θ=sl。根据理想情况的假设，sl，故θ很小，以至于sinθ≈θ，方程（1）可近似为
d2θdt2 glθ=0
（2）
该方程的解为θ=θcsin（ω0t φ0），其中ω0=gl，θc是最大摆角，φ0是初始相位。若取如图1所示的坐标轴，则沿x轴水平方向摆球相对于O点的位移为x（t）=lsinθ≈lθ，将方程（2）中的θ变换成x，可得到沿x轴水平方向摆球相对于O点的位移随时间变化的方程为
d2xdt2 ω20x=0
（3）
方程（3）的解为
x（t）=xmsin（ω0t φ0）
（4）
其中xm=lθc为水平方向最大摆动幅度。
利用初始条件：x（t=0）=xm和
dxdt|t=0=0
，得到φ0=90°。假设l=9.8m，则ω0=
gl=1
（rad/s），由此可得到沿水平方向相对于平衡点O的相对位移x/xm随时间变化图线，如图2中的实线所示。可见，在理想情况下，小女孩荡秋千实际上就是坐在座板上的小女孩在重力分量作用下围绕平衡点O做频率为ω0的周期性振动。
三、阻力和体重对“荡秋千”的影响
方程（3）所描述的秋千运动是一种简諧振动，秋千理应会一直荡下去，且与小女孩体重没有关系。但在实际荡秋千的过程中，人们会注意到，如果没有大人助推，秋千荡的幅度会越来越小，直至停止，且秋千荡的幅度随时间的衰减与荡秋千人的体重有关。究其原因是因为，上述方程是在没有任何阻力情况下推导出的，实际情况是，阻力总是存在的，最明显的阻力来自空气。可以想象，秋千荡得越快，阻力会越大，因此，可以合理假设，在荡秋千过程中，秋千会受到一个和摆动方向相反的阻力作用，且阻力的大小正比于秋千荡的快慢，即F阻=-βdxdt，其中β是常数。考虑阻力影响后，沿x轴水平方向秋千的运动方程可写为
md2xdt2 mω20x βdxdt=0
（5）
假如方程具有如下形式的尝试解
x（t）=xme-γtsin（ωt φ0）
（6）
其中γ和ω是两个待定常数。将尝试解代入方程（5）并整理后有
[（γ2-βmγ-ω2 ω20）sin（ωt φ0） （-2γω βmω）cos（ωt φ0）
]xme-γt=0
上式成立的条件是中括号部分为0，由于sin（ωt φ0）和cos（ωt φ0）是两个正交函数，中括号部分为0的条件是两个正交函数前的系数同时为0，由此得到γ=
β2m
和ω=ω20-γ2，再由初始条件
dxdt|t=0=0
可确定初始位相为φ0=arctg（ωγ）。若选择
ω0=gl=1
（rad/s）和β=2（Ns/m），对体重为10kg和20kg的两个小女孩，则由式（6）计算可得到两小女孩沿水平方向相对于平衡点O的相对位移x/xm随时间变化情况，如图2中的实圆和空圆所示，可见她们荡秋千的幅度随时间延长会越来越小，且体重越轻秋千荡的幅度随时间的衰减越明显。
四、助推力对“荡秋千”的影响
对一个没有任何荡秋千技巧的小女孩，很明显，如果没有家长助推，秋千会很快停止。为了保证她持续荡来荡去，必须有家长助推。问题是，家长如何助推方可使秋千荡得有规律，且荡得越来越高？假设家长以沿负x方向的力助推小女孩荡秋千，且保持助推力的大小按F=-F0cosωt规律变化。为简单起见，近似认为相对于
助推力空气阻力可忽略，我们可以将秋千沿x轴水平方
向的运动方程写为
md2xdt2 mω20 F0cosωt=0
（7）
其中ω0=
gl=1
（rad/s）。考察方程（7）的形式，可以将其尝试解写成
x（t）=xmsin（ω0t φ0） Acosωt
（8）
将尝试解代入方程（7）则可得到
A=F0/mω20-ω2
。再利用初始条件x（t=0）=0和dxdt
|t=0=0
，得到
φ0=90°
和
xm=-F0/mω20-ω2=-A
。若写成归一化形式，则方程（7）的解为
x/xm=cosω0t-cosωt
（9）
考虑两种情况：
ω=1.1ω0
和ω=1.5ω0，则由式（9）计算可得到小女孩在家长助推下沿水平方向相对于平衡点O的相对位移随时间变化情况，如图3所示。
比较图3所示的两种情况，可以看到，当助推力频率ω和ω0差别较大时，如ω=1.5ω0的情况下，秋千荡的幅度忽大忽小，而当助推力频率ω接近ω0时，如ω=1.1ω0的情况下，秋千荡得不仅有规律而且幅度越来越大。
[参考文献]
成思源.用Mathematica软件计算单摆实验中大摆角的周期[J].中学教学参考，2016（5）：52-53.
（责任编辑易志毅）
[关键词]荡秋千；周期运动；摆角；摆动幅度
[中图分类号]G633.7[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08005202
一、引言
“荡秋千”作为孩童时代喜欢的运动，几乎每个人都曾经历或目睹过。然而，人们对其中的物理知识却知之甚少。常见且最简单的秋千由两根长度同为l的细绳和座板构成，两绳的一端被悬挂起来，另一端固定在座板的两端。一个坐在座板上的小女孩玩荡秋千运动，假设这是她人生的第一次“荡秋千”，没有任何技巧，只能在家长的帮助下才能荡起来。稍加留意，人们会注意到：（1）小女孩坐在座板上围绕一个平衡位置荡来荡去；（2）如果没有大人助推，小女孩的荡幅会越来越小，直至停止；（3）为了保证小女孩持续荡来荡去，必须有大人助推。然而，家长的助推是否得当，会直接影响到秋千摆动的规律和幅度。本文运用物理知识，对“荡秋千”过程中的现象进行分析。
二、理想情况下秋千运动规律分析
理想情况是指：（1）细绳长度l远长于摆动幅度；（2）相对于小女孩体重，细绳和座板的重量可忽略；（3）摆动过程中未受到任何阻力作用。在这样的理想情况下，小女孩荡秋千可模拟为质量为m的摆球的单摆运动[1]，如图1所示。摆球受到的重力为mg，其中g=9.8m/s2，该重力可以分解为沿细绳方向的平行分量F∥=mgcosθ和垂直于细绳方向的垂直分量F⊥=mgsinθ。只要摆角θ不超过临界角θc[2]，平行于细绳的重力分量F∥和细绳张力Fl大小相等、方向相反，以保证细绳始终处于直的状态，而垂直于细绳的重力分量mgsinθ驱使摆球来回摆动。运用牛顿第二定律，可以写出摆球沿摆动弧线切线方向的运动方程，即md2sdt2=-mgsinθ（1）
其中s是摆动弧长，θ是摆角，两者间的关系为θ=sl。根据理想情况的假设，sl，故θ很小，以至于sinθ≈θ，方程（1）可近似为
d2θdt2 glθ=0
（2）
该方程的解为θ=θcsin（ω0t φ0），其中ω0=gl，θc是最大摆角，φ0是初始相位。若取如图1所示的坐标轴，则沿x轴水平方向摆球相对于O点的位移为x（t）=lsinθ≈lθ，将方程（2）中的θ变换成x，可得到沿x轴水平方向摆球相对于O点的位移随时间变化的方程为
d2xdt2 ω20x=0
（3）
方程（3）的解为
x（t）=xmsin（ω0t φ0）
（4）
其中xm=lθc为水平方向最大摆动幅度。
利用初始条件：x（t=0）=xm和
dxdt|t=0=0
，得到φ0=90°。假设l=9.8m，则ω0=
gl=1
（rad/s），由此可得到沿水平方向相对于平衡点O的相对位移x/xm随时间变化图线，如图2中的实线所示。可见，在理想情况下，小女孩荡秋千实际上就是坐在座板上的小女孩在重力分量作用下围绕平衡点O做频率为ω0的周期性振动。
三、阻力和体重对“荡秋千”的影响
方程（3）所描述的秋千运动是一种简諧振动，秋千理应会一直荡下去，且与小女孩体重没有关系。但在实际荡秋千的过程中，人们会注意到，如果没有大人助推，秋千荡的幅度会越来越小，直至停止，且秋千荡的幅度随时间的衰减与荡秋千人的体重有关。究其原因是因为，上述方程是在没有任何阻力情况下推导出的，实际情况是，阻力总是存在的，最明显的阻力来自空气。可以想象，秋千荡得越快，阻力会越大，因此，可以合理假设，在荡秋千过程中，秋千会受到一个和摆动方向相反的阻力作用，且阻力的大小正比于秋千荡的快慢，即F阻=-βdxdt，其中β是常数。考虑阻力影响后，沿x轴水平方向秋千的运动方程可写为
md2xdt2 mω20x βdxdt=0
（5）
假如方程具有如下形式的尝试解
x（t）=xme-γtsin（ωt φ0）
（6）
其中γ和ω是两个待定常数。将尝试解代入方程（5）并整理后有
[（γ2-βmγ-ω2 ω20）sin（ωt φ0） （-2γω βmω）cos（ωt φ0）
]xme-γt=0
上式成立的条件是中括号部分为0，由于sin（ωt φ0）和cos（ωt φ0）是两个正交函数，中括号部分为0的条件是两个正交函数前的系数同时为0，由此得到γ=
β2m
和ω=ω20-γ2，再由初始条件
dxdt|t=0=0
可确定初始位相为φ0=arctg（ωγ）。若选择
ω0=gl=1
（rad/s）和β=2（Ns/m），对体重为10kg和20kg的两个小女孩，则由式（6）计算可得到两小女孩沿水平方向相对于平衡点O的相对位移x/xm随时间变化情况，如图2中的实圆和空圆所示，可见她们荡秋千的幅度随时间延长会越来越小，且体重越轻秋千荡的幅度随时间的衰减越明显。
四、助推力对“荡秋千”的影响
对一个没有任何荡秋千技巧的小女孩，很明显，如果没有家长助推，秋千会很快停止。为了保证她持续荡来荡去，必须有家长助推。问题是，家长如何助推方可使秋千荡得有规律，且荡得越来越高？假设家长以沿负x方向的力助推小女孩荡秋千，且保持助推力的大小按F=-F0cosωt规律变化。为简单起见，近似认为相对于
助推力空气阻力可忽略，我们可以将秋千沿x轴水平方
向的运动方程写为
md2xdt2 mω20 F0cosωt=0
（7）
其中ω0=
gl=1
（rad/s）。考察方程（7）的形式，可以将其尝试解写成
x（t）=xmsin（ω0t φ0） Acosωt
（8）
将尝试解代入方程（7）则可得到
A=F0/mω20-ω2
。再利用初始条件x（t=0）=0和dxdt
|t=0=0
，得到
φ0=90°
和
xm=-F0/mω20-ω2=-A
。若写成归一化形式，则方程（7）的解为
x/xm=cosω0t-cosωt
（9）
考虑两种情况：
ω=1.1ω0
和ω=1.5ω0，则由式（9）计算可得到小女孩在家长助推下沿水平方向相对于平衡点O的相对位移随时间变化情况，如图3所示。
比较图3所示的两种情况，可以看到，当助推力频率ω和ω0差别较大时，如ω=1.5ω0的情况下，秋千荡的幅度忽大忽小，而当助推力频率ω接近ω0时，如ω=1.1ω0的情况下，秋千荡得不仅有规律而且幅度越来越大。
[参考文献]
成思源.用Mathematica软件计算单摆实验中大摆角的周期[J].中学教学参考，2016（5）：52-53.
（责任编辑易志毅）