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摘 要：初中阶段，学生的学业任务增加，加之面临中考的压力，每门学科的发展水平都将影响学习成效。因此在解决数学问题时，寻求合理、简洁的解题方法是教师所面临的思考课题。而三角形面积法是学生处理三角形的高线、中线和角平分线与三角形面积关系的方法之一。文章将从不同角度阐述了三角形面积法在初中几何问题中的应用，为教师教学提供一些参考。
关键词：三角形面积法;初中;几何
一、 引言
初中数学课程标准中明确指出，数学教师应当激发学生的学习兴趣，为学生创建不同情境，提供真正的参与学习活动的机会，真正培养学生理解和掌握数学知识的技能以及方法，并将这些技能与方法活学活用。
使用三角形面积公式及其推论来证明平面几何题的方法，通常称为三角形面积法。在具体教学过程中，此方法却容易被教师和学生忽略，从而出现一些简单问题复杂化。因此，教师应当正确认识问题，并且引导学生合理利用三角形面积法解决一些数学问题，提升学生的几何学习能力。以下将从不同角度阐述三角形面积法在初中几何中的应用。
二、 在给定的条件中出现与高相关的线段
三角形的高线是常见的线段，它直接与三角形的面积相关，利用三角形面积法解决几何问题，离不开高线的使用。如图1，在△ABC中，AB=AC，点D为底边BC上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE DF是一个定值。该问题的解决思路是推导DE DF为定值所表示的线段，因此，可以通过引入特殊情况下验证推理：由点D为线段BC上任意一点，所以当点D与点B或点C重合时，线段DF是△ABC的高，此时DE DF等于AC边上的高线BG（如图2）。此时过点D作DH⊥BG交BG于点H，由矩形DFGH性质得出HG=DF，再由S△BDE=S△DHB，得出BH=DE，验证上述结论。
由于这类问题与三角形的高有关，若借助三角形面积法解决此问题就相对容易。具体如下：由三角形的面积计算公式知道，当两个三角形是等底或者同底时，将問题简化成推算高线之间的数量关系。例题中DE和DF都是与三角高形相关，若连接AD，则△ABC被分成两个三角形（如图3），所以S△ABC=S△ABD S△ACD。由于AB=AC，易得到DE DF=BG。这样通过应用三角形面积法简化问题，提高学生解题速度，拓展解题思路，树立学生数学建模思想等。
三、 在给定的条件中出现三角形的中线
使用三角形面积法时，除使用到三角形的高线之外，三角形的中线也是常用简化工具。如图4，在△ABC中，已知边BC、AC上的中线AD，BF交于点M，求证：MD=1/2AM。对于三角形重心性质的证明，教师在课堂上一般会使用添加平行线的方法，利用平行线分线段成比例的定理来解决相关问题。如图5过点D做DH∥BF交AC于点H，由D、F为中点，得CH=FH=1/2FC，AF=FC=2FH，再由DH∥MF，得MD∶AM=FH∶AF，从而得出MD=1/2AM。
这道题我们不妨用“三角形面积法”来解，根据同底等高或等底同高的两个三角形面积相等可得三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分。由此可知线段AM、MD可以看作是同高的两个△ABM和△DBM对应的底边。此时要得AM、MD数量关系，只要说明△DBM、△ABM的面积数量关系即可，所以连接MC（如图6），由BF、MF分别是△ABC与△AMC边AC上的中线，可知S△ABC=2S△CBF，S△AMB=S△CMF，由等式的性质可得S△ABM=S△CBM，由DM是△ABC中BC边上的中线，可知S△DBM=S△CDM=1/2S△CBM，等量代换之后，S△DBM=1/2S△ABM，得出结论MD=1/2AM。显然这种方法来论证简洁易懂。
另外，教师在对学生进行“三角形面积法”引导时，可举一反三，通过类比，建立相关数学模型，使学生进一步理解和正确地运用该方法。例如变式：
变式一：如图7，在△ABC中，已知点D是边BC上靠近B的一个三等分点，AD与AC上的中线BF交于点M，此时MD和AM之间有着什么样的数量关系？
变式二：如图8，在△ABC中，已知点D是边BC上靠近B的一个三等分点，点F是边AC上靠近点A的一个三等分点，AD与BF相交于点M，此时MD和AM之间有着什么样的数量关系？
在图6中连接MC，BF为中线的条件不变，由上面例子可推出S△ABM=S△CBM。由点D是边BC上靠近点B的一个三等分点得出S△DBM∶S△CBM=BD∶BC=1/3，S△DBM∶S△ABM=1/3，S△DBM∶S△CBM=MD∶AM=1/3，所以MD=1/3AM。而变式二则是在变式一的基础上深入探究。由点F是AC上靠近点A的一个三等分点，由△ABM和△CBM的面积关系得到S△ABF∶S△CBF=AF∶CF=1/2，S△AMF∶S△CMF=AF∶CF=1/2，S△ABM=S△ABF-S△AMF=1/2（S△CBM-S△CMF）=1/2S△CBM。可利用变式一结论推出MD=2/3AM。在对变式探究完成之后，教师还可以将问题进一步拓展.点D是边BC上靠近B的一个n等分点，点F为AC边上靠近点A的一个m等分点，在相互讨论之后，可以推导出如下关系：DM∶AM=（m-1）∶2n。通过以上这种由浅入深，由易到难的层层变式，学生既能更好掌握和正确使用此方法，且类比、建模等数学思想也得到提升。
四、 在给定的条件中出现角平分线
通常三角形面积法大多会使用在特殊的三角形中，如直角三角形、等腰三角形或者存在特殊角度的三角形（因为三角形若有特殊的角更容易准确计算出数值）。但是如果利用三角形角平分线性质，合理地使用三角形面积法解决一些数学问题，将会收获到意想不到的效果。如图9，AD是△ABC中∠BAC的平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC。此类问题，学生首先会想到角平分线定义，从两角相等的视角去解题。通过构造平行线，利用平行线分线段成比例定理证得结论成立。如图10，过点D作DE∥AC交AB于点E，得到BD∶DC=BE∶AE，BE∶AB=DE∶AC，再根据角平分线的定义以及平分线性质可以推出AE=DE，最后通过等量代换证出上述结论。我们不妨改用“三角形面积法”来解决此题，我们知道角平分线上任意一点到角两边的距离相等，由此联想到角平分线分成的两个三角形之间高相等，再根据同高或等高的两个三角形面积之比等于底边比。如图11，过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，由AD是∠BAC的平分线可知，通过等量代换就可完成证明。可见，当学生若能够熟练运用三角形角平分线定义和性质时，合理使用三角形面积法来解决问题显然更简单。再举一反三、变式的探究讲解，就能更好地落实初中数学几何问题的教学目标。
五、 总结
综上所述，初中数学课堂上如果使用三角形面积法，可以成功并快速地解出更多的几何题目。具体地说，就是一方面可以将平面多边形化成不同的三角形，通过三角形的面积之和计算出多边形的面积之和。另一方面也可以将一个三角形分割成不同的三角形，然后从不同角度计算出每一个三角形的面积，从而找出需要认证的数值或者公式等。因此，正确合理地使用“三角形面积法”解决一些数学几何问题，可提高学生分析问题、解决问题的能力和速度，培养学生的数学发散思维和逻辑思维等，进而提高学生的几何素养。
参考文献：
[1]沈小福.初中三角形内切圆的教学应用研究[J].数学学习与研究，2017（21）：114.
[2]王达海.初中二次函数三角形面积问题研究[J].课程教育研究：外语学法教法研究，2019（11）：56-57.
[3]廖红丽.“面积法”引入中学几何课堂[J].中学数学研究（下半月），2017（3）：27-29.
作者简介：
应文娣，福建省南平市，福建省南平市第三中学。
关键词：三角形面积法;初中;几何
一、 引言
初中数学课程标准中明确指出，数学教师应当激发学生的学习兴趣，为学生创建不同情境，提供真正的参与学习活动的机会，真正培养学生理解和掌握数学知识的技能以及方法，并将这些技能与方法活学活用。
使用三角形面积公式及其推论来证明平面几何题的方法，通常称为三角形面积法。在具体教学过程中，此方法却容易被教师和学生忽略，从而出现一些简单问题复杂化。因此，教师应当正确认识问题，并且引导学生合理利用三角形面积法解决一些数学问题，提升学生的几何学习能力。以下将从不同角度阐述三角形面积法在初中几何中的应用。
二、 在给定的条件中出现与高相关的线段
三角形的高线是常见的线段，它直接与三角形的面积相关，利用三角形面积法解决几何问题，离不开高线的使用。如图1，在△ABC中，AB=AC，点D为底边BC上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE DF是一个定值。该问题的解决思路是推导DE DF为定值所表示的线段，因此，可以通过引入特殊情况下验证推理：由点D为线段BC上任意一点，所以当点D与点B或点C重合时，线段DF是△ABC的高，此时DE DF等于AC边上的高线BG（如图2）。此时过点D作DH⊥BG交BG于点H，由矩形DFGH性质得出HG=DF，再由S△BDE=S△DHB，得出BH=DE，验证上述结论。
由于这类问题与三角形的高有关，若借助三角形面积法解决此问题就相对容易。具体如下：由三角形的面积计算公式知道，当两个三角形是等底或者同底时，将問题简化成推算高线之间的数量关系。例题中DE和DF都是与三角高形相关，若连接AD，则△ABC被分成两个三角形（如图3），所以S△ABC=S△ABD S△ACD。由于AB=AC，易得到DE DF=BG。这样通过应用三角形面积法简化问题，提高学生解题速度，拓展解题思路，树立学生数学建模思想等。
三、 在给定的条件中出现三角形的中线
使用三角形面积法时，除使用到三角形的高线之外，三角形的中线也是常用简化工具。如图4，在△ABC中，已知边BC、AC上的中线AD，BF交于点M，求证：MD=1/2AM。对于三角形重心性质的证明，教师在课堂上一般会使用添加平行线的方法，利用平行线分线段成比例的定理来解决相关问题。如图5过点D做DH∥BF交AC于点H，由D、F为中点，得CH=FH=1/2FC，AF=FC=2FH，再由DH∥MF，得MD∶AM=FH∶AF，从而得出MD=1/2AM。
这道题我们不妨用“三角形面积法”来解，根据同底等高或等底同高的两个三角形面积相等可得三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分。由此可知线段AM、MD可以看作是同高的两个△ABM和△DBM对应的底边。此时要得AM、MD数量关系，只要说明△DBM、△ABM的面积数量关系即可，所以连接MC（如图6），由BF、MF分别是△ABC与△AMC边AC上的中线，可知S△ABC=2S△CBF，S△AMB=S△CMF，由等式的性质可得S△ABM=S△CBM，由DM是△ABC中BC边上的中线，可知S△DBM=S△CDM=1/2S△CBM，等量代换之后，S△DBM=1/2S△ABM，得出结论MD=1/2AM。显然这种方法来论证简洁易懂。
另外，教师在对学生进行“三角形面积法”引导时，可举一反三，通过类比，建立相关数学模型，使学生进一步理解和正确地运用该方法。例如变式：
变式一：如图7，在△ABC中，已知点D是边BC上靠近B的一个三等分点，AD与AC上的中线BF交于点M，此时MD和AM之间有着什么样的数量关系？
变式二：如图8，在△ABC中，已知点D是边BC上靠近B的一个三等分点，点F是边AC上靠近点A的一个三等分点，AD与BF相交于点M，此时MD和AM之间有着什么样的数量关系？
在图6中连接MC，BF为中线的条件不变，由上面例子可推出S△ABM=S△CBM。由点D是边BC上靠近点B的一个三等分点得出S△DBM∶S△CBM=BD∶BC=1/3，S△DBM∶S△ABM=1/3，S△DBM∶S△CBM=MD∶AM=1/3，所以MD=1/3AM。而变式二则是在变式一的基础上深入探究。由点F是AC上靠近点A的一个三等分点，由△ABM和△CBM的面积关系得到S△ABF∶S△CBF=AF∶CF=1/2，S△AMF∶S△CMF=AF∶CF=1/2，S△ABM=S△ABF-S△AMF=1/2（S△CBM-S△CMF）=1/2S△CBM。可利用变式一结论推出MD=2/3AM。在对变式探究完成之后，教师还可以将问题进一步拓展.点D是边BC上靠近B的一个n等分点，点F为AC边上靠近点A的一个m等分点，在相互讨论之后，可以推导出如下关系：DM∶AM=（m-1）∶2n。通过以上这种由浅入深，由易到难的层层变式，学生既能更好掌握和正确使用此方法，且类比、建模等数学思想也得到提升。
四、 在给定的条件中出现角平分线
通常三角形面积法大多会使用在特殊的三角形中，如直角三角形、等腰三角形或者存在特殊角度的三角形（因为三角形若有特殊的角更容易准确计算出数值）。但是如果利用三角形角平分线性质，合理地使用三角形面积法解决一些数学问题，将会收获到意想不到的效果。如图9，AD是△ABC中∠BAC的平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC。此类问题，学生首先会想到角平分线定义，从两角相等的视角去解题。通过构造平行线，利用平行线分线段成比例定理证得结论成立。如图10，过点D作DE∥AC交AB于点E，得到BD∶DC=BE∶AE，BE∶AB=DE∶AC，再根据角平分线的定义以及平分线性质可以推出AE=DE，最后通过等量代换证出上述结论。我们不妨改用“三角形面积法”来解决此题，我们知道角平分线上任意一点到角两边的距离相等，由此联想到角平分线分成的两个三角形之间高相等，再根据同高或等高的两个三角形面积之比等于底边比。如图11，过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，由AD是∠BAC的平分线可知，通过等量代换就可完成证明。可见，当学生若能够熟练运用三角形角平分线定义和性质时，合理使用三角形面积法来解决问题显然更简单。再举一反三、变式的探究讲解，就能更好地落实初中数学几何问题的教学目标。
五、 总结
综上所述，初中数学课堂上如果使用三角形面积法，可以成功并快速地解出更多的几何题目。具体地说，就是一方面可以将平面多边形化成不同的三角形，通过三角形的面积之和计算出多边形的面积之和。另一方面也可以将一个三角形分割成不同的三角形，然后从不同角度计算出每一个三角形的面积，从而找出需要认证的数值或者公式等。因此，正确合理地使用“三角形面积法”解决一些数学几何问题，可提高学生分析问题、解决问题的能力和速度，培养学生的数学发散思维和逻辑思维等，进而提高学生的几何素养。
参考文献：
[1]沈小福.初中三角形内切圆的教学应用研究[J].数学学习与研究，2017（21）：114.
[2]王达海.初中二次函数三角形面积问题研究[J].课程教育研究：外语学法教法研究，2019（11）：56-57.
[3]廖红丽.“面积法”引入中学几何课堂[J].中学数学研究（下半月），2017（3）：27-29.
作者简介：
应文娣，福建省南平市，福建省南平市第三中学。