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求解数列的通项公式一直是高考试题中最常见的问题，尤其是利用递推公式求数列通项更是频繁出现.因此，许多教师在教学中，介绍了不少解题方法和技巧，如特征根法、不动点法.实际上，“归纳推理”可以解决一些常规方法不好解决的由递推公式求数列通项公式的问题.下面就结合近三年各地高考试题中求数列通项的问题，进行说明.
例1 （2008年辽宁卷21）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*），求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论.
解 由条件，得2bn=an+an+1，a2n+1=bnbn+1.
由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25.
猜测an=n(n+1)，bn=(n+1)2.
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立.
②假设当n=k时，结论成立，即
ak=k(k+1)，bk=(k+1)2.
那么当n=k+1时，
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2)，
bk+1=a2k+1bk=(k+2)2.
所以当n=k+1时，结论也成立.
由①②，可知an=n(n+1)，bn=(n+1)2对一切正整数都成立.
例2 （2008年重庆卷22）设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=a32n+1an+2(n∈N*)，若a2=14，求a2，a3，并猜想a2008的值（不需证明）.
解 ∵a1=2，a2=2-2，
故a3=a1a2-32=24，
a4=a2a3-32=2-8.
由此有a1=2(-2)0，a2=2(-2)2，a3=2(-2)2，a4=2(-2)3，
故猜想{an}的通项为an=2(-2)n-1(n∈N*).
∴a2008=2(-2)2007.
例3 （2009年江西卷理）各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq).当a=12，b=45时，求通项an.
解 由am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)，得
a1+an(1+a1)(1+an)=a2+an-1(1+a2)(1+an-1).
将a1=12，a2=45代入化简，得
an=2an-1+1an-1+2.
则a3=1314，a4=4041，猜想an=3n-123n-12+1=3n-13n+1.
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立.
②假设当n=k时，结论成立，即ak=3k-13k+1.
那么当n=k+1时，
ak+1=2ak+1ak+2=2•3k-13k+1+13k-13k+1+2=3k+1-13k+1+1.
所以当n=k+1时，结论也成立.
由①②，可知an=3n-13n+1对一切正整数都成立.
例4 （2007年天津理21）在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.求数列{an}的通项公式.
解 由a1=2，an+1=λan+ λn+1+(2-λ)2n(n∈N*)，
可得a2=λ2+4，a3=2λ3+8，a4=3λ4+16.
猜想an=(n-1)λn+2n.
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立.
②假设当n=k时，结论成立，即ak=(k-1)λk+2k.
那么当n=k+1时，
ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k
=(k-1)λk+1+λ•2k+λk+1+(2-λ)2k
=kλk+1+2k+1.
所以当n=k+1时，结论也成立.
由①②，可知an=(n-1)λn+2n对一切正整数都成立.
由以上例题的求解过程可以看出，利用“归纳推理”求数列通项时，首先要由题中的已知，求出数列的前几项，进行观察，找出规律，提出猜想.然后，再用数学归纳法进行证明.如果只观察数列的前几项，没有发现规律，不妨多求几项，以增加猜想的可信程度.
牛顿说过：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现.”“归纳推理”是探索数学规律的一种方法，著名的哥德巴赫猜想就是经过“归纳推理”获得的.既是猜想，不可能都是正确的，但是毕竟向真理逼近了一步.因此，我们要学会“归纳推理”，敢于猜想.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
例1 （2008年辽宁卷21）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*），求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论.
解 由条件，得2bn=an+an+1，a2n+1=bnbn+1.
由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25.
猜测an=n(n+1)，bn=(n+1)2.
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立.
②假设当n=k时，结论成立，即
ak=k(k+1)，bk=(k+1)2.
那么当n=k+1时，
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2)，
bk+1=a2k+1bk=(k+2)2.
所以当n=k+1时，结论也成立.
由①②，可知an=n(n+1)，bn=(n+1)2对一切正整数都成立.
例2 （2008年重庆卷22）设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=a32n+1an+2(n∈N*)，若a2=14，求a2，a3，并猜想a2008的值（不需证明）.
解 ∵a1=2，a2=2-2，
故a3=a1a2-32=24，
a4=a2a3-32=2-8.
由此有a1=2(-2)0，a2=2(-2)2，a3=2(-2)2，a4=2(-2)3，
故猜想{an}的通项为an=2(-2)n-1(n∈N*).
∴a2008=2(-2)2007.
例3 （2009年江西卷理）各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq).当a=12，b=45时，求通项an.
解 由am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)，得
a1+an(1+a1)(1+an)=a2+an-1(1+a2)(1+an-1).
将a1=12，a2=45代入化简，得
an=2an-1+1an-1+2.
则a3=1314，a4=4041，猜想an=3n-123n-12+1=3n-13n+1.
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立.
②假设当n=k时，结论成立，即ak=3k-13k+1.
那么当n=k+1时，
ak+1=2ak+1ak+2=2•3k-13k+1+13k-13k+1+2=3k+1-13k+1+1.
所以当n=k+1时，结论也成立.
由①②，可知an=3n-13n+1对一切正整数都成立.
例4 （2007年天津理21）在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.求数列{an}的通项公式.
解 由a1=2，an+1=λan+ λn+1+(2-λ)2n(n∈N*)，
可得a2=λ2+4，a3=2λ3+8，a4=3λ4+16.
猜想an=(n-1)λn+2n.
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立.
②假设当n=k时，结论成立，即ak=(k-1)λk+2k.
那么当n=k+1时，
ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k
=(k-1)λk+1+λ•2k+λk+1+(2-λ)2k
=kλk+1+2k+1.
所以当n=k+1时，结论也成立.
由①②，可知an=(n-1)λn+2n对一切正整数都成立.
由以上例题的求解过程可以看出，利用“归纳推理”求数列通项时，首先要由题中的已知，求出数列的前几项，进行观察，找出规律，提出猜想.然后，再用数学归纳法进行证明.如果只观察数列的前几项，没有发现规律，不妨多求几项，以增加猜想的可信程度.
牛顿说过：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现.”“归纳推理”是探索数学规律的一种方法，著名的哥德巴赫猜想就是经过“归纳推理”获得的.既是猜想，不可能都是正确的，但是毕竟向真理逼近了一步.因此，我们要学会“归纳推理”，敢于猜想.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文