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1 问题的提出师：谁能说说你是怎么求解的？理由是什么？生1：利用平面几何图形的特征，先求出圆心到直线的距离3d =，从而得到最小值为1dr？=，最大值为5dr+ =.
师：很好！能否从代数方面严格证明这个结论呢？
师：回答得很完整，很到位！他先通过画图，寻找到思路后再通过代数方法进行论证，说理很充分！那解决这个问题就有上面的三个方法了，大家比较一下，哪一种方法更为方便？哪一种方法又是解决圆锥曲线和直线位置关系问题的通性通法呢？
生4：对圆与直线的位置关系问题方法1较为方便，但方法2和3不仅可以适用于圆和直线，还适用于椭圆、双曲线、抛物线和直线的相关问题.
师：总结得漂亮！以后我们要针对不同问题选用恰当的解题方法，这样有助于简化解题过程和节约解题时间.由上面的讨论，我们知道圆上的点到直线的距离在1到5之间，不存在小于1或大于5的点.
如果把题目的条件和结论稍作变动，你会有何发现呢？
（问题提得比较发散.教师的本意是想让学生把圆或直线这两个定曲线变成动曲线来研究.）
生：发现？！
（在学生看来，这是一个非常简单的问题，运用平几知识一解了之，题目没有任何新意，学生对此本没有什么兴致.然经老师这一问“有何发现”，精神为之一振.教学中非常重要的问题之一是：在无疑处生疑，想方设法调动学生思维的积极性.）
师：对，只要认真观察、思考，必有重大发现！
（为进一步激发学生思维的积极性，教师有意夸大其辞.）
师：平面上到直线l距离等于1的点在哪里？这类题目能不能换个角度来思考？
生7：平面上到直线l距离等于1的点在与直线l平行的两条直线12， l l上，圆上有几个点到直线l的距离这个问题，就可以转化为研究动圆和直线12， l l的位置关系.
师生：太棒了！有效合理地转化，是解决数学问题的有效途径.
师：刚才是固定直线和圆的圆心位置不动，改变圆的半径，能否固定圆不动，改变直线的位置呢？
又经过几分钟的观察、思考后，学生们发现（让有所发现的学生逐个报告发现的结果）
生8：（题3）已知圆224xy+=上到直线30 xyC？+=距离等于1的点有1个，则实数C的值为________.
生9：（题4）已知圆224xy+=上到直线30 xyC？+=距离等于1的点有2、3、4个，则实数C的取值范围为______.
师：你们真的太棒了！竟然连高考题都编得出来呀！
（题5）在平面直角坐标系xoy中，已知圆上有且仅有四个点到直线1250xyc？+ =的距离为1，则实数C的取值范围是_____.
师：现在大家把刚才改编的题目1—5完成以下.（大约5分钟，几乎全部同学都完成了，而且正确率很高.学生的情绪因成功的喜悦越来越高涨！）
师：刻画直线的位置关系需要哪几个要素？
生：两个点或一个点加斜率.
师：刚才所给的直线是斜率确定的一组平行直线系，如果改成过定点的直线系，情况如何？
（题6）若圆22（2）（2）18xy？+？=上至少有三个不同点到直线：0l ax by+=的距离为2 2，则直线l的倾斜角的取值范围为______.
师：题6的关键在哪儿？
生10：关键在于如何画图.
师：那大家考虑一下，如何来画图？要注意一些特殊的要素！（经过了5分钟）
3 教后反思
3.1 教材是开展研究性学习的蓝本
高考命题“源于课本，高于课本”.课本是试题的根，在教学中，我们需要反思如何才能充分利用好课本例习题的功能.如何对例习题进行改编，从而放大课本经典例习题的作用，加深学生对例习题的理解.以课本上的数学知识为内容进行选题不仅可行，而且有效，教材是开展研究性学习的“资源库”，这些材料可以是数学概念、公式、定理、法则的提出过程，结论的推导过程，知识的发生、发展和形成的过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程等.教师可以把这些知识形成过程的教学设计为学生再发现，再创造的研究性学习活动.
3.2 研究性学习的选题要注意平民化
著名数学教育家G·玻利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”由此可见选题的重要性.高中数学研究性学习的实施过程中，要考虑选题的起点不宜过高，要便于每个学生都能找到自己的切入口，都能在过程设计中体验自己的参与，都能在自主探索、合作交流中展示自己的所长，体验自身的价值，使不同水平的学生取得不同的提高，从而使绝大多数学生都能通过研究性学习树立起自信和兴趣.总的来讲，选择的问题难度尽可能处在学生的“最近发展区”内，以真正吸引学生参与到研究活动中，为促进全体学生全面发展，为学生终生学习打下坚实的基础.
3.3 课堂教学应是动态生成的
叶澜教授曾经指出：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和风景的因素，而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情的行程.”的确，课堂教学是一个渐进的、多层次和多角度的非线性序列，是师生及多种因素间动态的互相作用的推进过程.经验告诉我们：老师把学生看成了课堂学的主体，学生便成了课堂的思想者、活动者，课堂就充满了智慧，充满了生成，充满了活力，学生会感受到成功的快乐，而这种快乐又会成为学生学习数学更强的内驱力，这就是我们期盼已久的动态的生命课堂.它是自主与引领统一、教与学和谐、预设与生成并重的教学过程，体现了学生的主动与老师的灵动，关注了师生的生命体验，充满了生命气息与活力，使师生共同发展、和谐发展、持续发展成为可能.
3.4 学生的潜力是可以发掘的
数学新课程标准凸现了以人为本的教学理念，要求我们把课堂还给学生，让学生变得更加好问，让我们的课堂不再“安静”，而是充满活力和生机，让课堂成为孩子创新的摇篮，让学生真正成为课堂的主人.这节课事实证明：如果你相信学生，让学生主动研究，充分发表意见，你就会发现学生蕴涵着无穷的创造力，你就会觉得自己实在没有比学生太多的高明.教师只有充分尊重学生，耐心倾听学生的想法，及时鼓励点拨，适时提醒鞭策.营造一个宽松而又紧凑的、平和但又充满挑战的教学情境，使学生更加主动地参与到学习过程中，学生的巨大潜力才能得到最大限度的开发.很多事实证明，我们的学生都是好样的，教师务必树立这样的观念.
总而言之，研究性学习有利于新型师生关系的建立，有利于学生形成科学的思维品质、培养创新精神和实践能力，有利于学生更主动、灵活地获取知识，既夯实双基，又提高综合能力，为进一步的深入学习打下坚实基础.
师：很好！能否从代数方面严格证明这个结论呢？
师：回答得很完整，很到位！他先通过画图，寻找到思路后再通过代数方法进行论证，说理很充分！那解决这个问题就有上面的三个方法了，大家比较一下，哪一种方法更为方便？哪一种方法又是解决圆锥曲线和直线位置关系问题的通性通法呢？
生4：对圆与直线的位置关系问题方法1较为方便，但方法2和3不仅可以适用于圆和直线，还适用于椭圆、双曲线、抛物线和直线的相关问题.
师：总结得漂亮！以后我们要针对不同问题选用恰当的解题方法，这样有助于简化解题过程和节约解题时间.由上面的讨论，我们知道圆上的点到直线的距离在1到5之间，不存在小于1或大于5的点.
如果把题目的条件和结论稍作变动，你会有何发现呢？
（问题提得比较发散.教师的本意是想让学生把圆或直线这两个定曲线变成动曲线来研究.）
生：发现？！
（在学生看来，这是一个非常简单的问题，运用平几知识一解了之，题目没有任何新意，学生对此本没有什么兴致.然经老师这一问“有何发现”，精神为之一振.教学中非常重要的问题之一是：在无疑处生疑，想方设法调动学生思维的积极性.）
师：对，只要认真观察、思考，必有重大发现！
（为进一步激发学生思维的积极性，教师有意夸大其辞.）
师：平面上到直线l距离等于1的点在哪里？这类题目能不能换个角度来思考？
生7：平面上到直线l距离等于1的点在与直线l平行的两条直线12， l l上，圆上有几个点到直线l的距离这个问题，就可以转化为研究动圆和直线12， l l的位置关系.
师生：太棒了！有效合理地转化，是解决数学问题的有效途径.
师：刚才是固定直线和圆的圆心位置不动，改变圆的半径，能否固定圆不动，改变直线的位置呢？
又经过几分钟的观察、思考后，学生们发现（让有所发现的学生逐个报告发现的结果）
生8：（题3）已知圆224xy+=上到直线30 xyC？+=距离等于1的点有1个，则实数C的值为________.
生9：（题4）已知圆224xy+=上到直线30 xyC？+=距离等于1的点有2、3、4个，则实数C的取值范围为______.
师：你们真的太棒了！竟然连高考题都编得出来呀！
（题5）在平面直角坐标系xoy中，已知圆上有且仅有四个点到直线1250xyc？+ =的距离为1，则实数C的取值范围是_____.
师：现在大家把刚才改编的题目1—5完成以下.（大约5分钟，几乎全部同学都完成了，而且正确率很高.学生的情绪因成功的喜悦越来越高涨！）
师：刻画直线的位置关系需要哪几个要素？
生：两个点或一个点加斜率.
师：刚才所给的直线是斜率确定的一组平行直线系，如果改成过定点的直线系，情况如何？
（题6）若圆22（2）（2）18xy？+？=上至少有三个不同点到直线：0l ax by+=的距离为2 2，则直线l的倾斜角的取值范围为______.
师：题6的关键在哪儿？
生10：关键在于如何画图.
师：那大家考虑一下，如何来画图？要注意一些特殊的要素！（经过了5分钟）
3 教后反思
3.1 教材是开展研究性学习的蓝本
高考命题“源于课本，高于课本”.课本是试题的根，在教学中，我们需要反思如何才能充分利用好课本例习题的功能.如何对例习题进行改编，从而放大课本经典例习题的作用，加深学生对例习题的理解.以课本上的数学知识为内容进行选题不仅可行，而且有效，教材是开展研究性学习的“资源库”，这些材料可以是数学概念、公式、定理、法则的提出过程，结论的推导过程，知识的发生、发展和形成的过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程等.教师可以把这些知识形成过程的教学设计为学生再发现，再创造的研究性学习活动.
3.2 研究性学习的选题要注意平民化
著名数学教育家G·玻利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”由此可见选题的重要性.高中数学研究性学习的实施过程中，要考虑选题的起点不宜过高，要便于每个学生都能找到自己的切入口，都能在过程设计中体验自己的参与，都能在自主探索、合作交流中展示自己的所长，体验自身的价值，使不同水平的学生取得不同的提高，从而使绝大多数学生都能通过研究性学习树立起自信和兴趣.总的来讲，选择的问题难度尽可能处在学生的“最近发展区”内，以真正吸引学生参与到研究活动中，为促进全体学生全面发展，为学生终生学习打下坚实的基础.
3.3 课堂教学应是动态生成的
叶澜教授曾经指出：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和风景的因素，而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情的行程.”的确，课堂教学是一个渐进的、多层次和多角度的非线性序列，是师生及多种因素间动态的互相作用的推进过程.经验告诉我们：老师把学生看成了课堂学的主体，学生便成了课堂的思想者、活动者，课堂就充满了智慧，充满了生成，充满了活力，学生会感受到成功的快乐，而这种快乐又会成为学生学习数学更强的内驱力，这就是我们期盼已久的动态的生命课堂.它是自主与引领统一、教与学和谐、预设与生成并重的教学过程，体现了学生的主动与老师的灵动，关注了师生的生命体验，充满了生命气息与活力，使师生共同发展、和谐发展、持续发展成为可能.
3.4 学生的潜力是可以发掘的
数学新课程标准凸现了以人为本的教学理念，要求我们把课堂还给学生，让学生变得更加好问，让我们的课堂不再“安静”，而是充满活力和生机，让课堂成为孩子创新的摇篮，让学生真正成为课堂的主人.这节课事实证明：如果你相信学生，让学生主动研究，充分发表意见，你就会发现学生蕴涵着无穷的创造力，你就会觉得自己实在没有比学生太多的高明.教师只有充分尊重学生，耐心倾听学生的想法，及时鼓励点拨，适时提醒鞭策.营造一个宽松而又紧凑的、平和但又充满挑战的教学情境，使学生更加主动地参与到学习过程中，学生的巨大潜力才能得到最大限度的开发.很多事实证明，我们的学生都是好样的，教师务必树立这样的观念.
总而言之，研究性学习有利于新型师生关系的建立，有利于学生形成科学的思维品质、培养创新精神和实践能力，有利于学生更主动、灵活地获取知识，既夯实双基，又提高综合能力，为进一步的深入学习打下坚实基础.