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摘要：在小学数学教学中，引入实验，引导学生通过实验操作、现象观察以及合情推理、数据分析，来建构知识、解决问题，可以大大提高学生对数学的兴趣和认识，同时发展学生的数学思维。具体而言，要做到：引导学生从生活经验到数学经验；帮助学生从数量感知到方法感悟；促进学生建构数学模型；促进学生发展推理能力。
关键词：数学实验数学经验方法感悟数学模型推理能力
一直以来，学习数学或学好数学在很多学生心目中是一座难以逾越的大山，甚至是一段无比艰苦的回忆。究其原因，是数学具有较强的抽象性、逻辑性，离学生的生活（感受）实际比较远，对学生的思维（推理）要求比较高，导致学生感觉数学难以理解、难以掌握，甚至产生畏惧、厌恶的情绪。
通常认为，只有物理、化学、生物学等自然科学需要实验和观察。其实不然，欧拉曾说：“数学这门科学需要观察，也需要实验。学生应该重走人类掌握数学的历程，从直观具体的实验阶段走入抽象的理论阶段。”当然，数学实验的对象不仅仅是仪器、设备，还包括具体的实物模型以及算式、图形等。而且，小学生的心理特征，决定了他们喜欢参与有趣的活动，喜欢从“玩”中学。因此，在小学数学教学中，引入实验，引导学生通过实验操作、现象观察以及合情推理、数据分析，来建构知识、解决问题，可以大大提高学生对数学的兴趣和认识，同时发展学生的数学思维。具体而言，要做到如下几个方面：
一、引导学生从生活经验到数学经验
儿童对周围的事物渴望有“第一手的经验”，比如，儿童走路时，喜欢趟过前面的一摊水，而不愿绕过去。进行数学实验是学生在数学学习过程中获得“第一手经验”的重要途径，这是任何讲解、演示所无法比拟的。在数学教学中，不能因为学生对某些知识已经具备一定的经验，就忽视数学实验的组织。
例如，教学苏教版小学数学四年级上册第六单元《可能性》时，学生对教材中提供的两个例题情境（摸球和摸牌）已经具备了一定的经验，因此，一些教师就通过播放多媒体课件或直接讲解，然后组织学生交流并进行点拨，来展开教学。其实，学生具备的只是生活经验，并没有达到数学思考的层面，因此在教学中，有必要组织学生进行相关的实验。
针对例题1的教学，我们可以组织全班学生分组实验，并控制一定的次数（如每组摸球10次）。通过对实验数据的分析，学生才能慢慢体会到：在这种情况下（口袋里只有一个红球和一个黄球），每次摸球之前不能确定摸出的是哪个球，只能知道不是红球就是黄球；小组之间，哪怕摸出的红球与黄球的频次是一样的，顺序也往往是不同的；总的来看，摸到红球与黄球的可能性是差不多的。
同样，在例题2的教学中，我们应该组织学生进行更多次的实验。通过实验数据的分析，学生的认知才会超越感性的生活经验，走向理性的数学思考。实验不仅可以验证感性的经验，即在这种情况下（四张牌中有三张红桃和一张黑桃），摸到红桃的次数比黑桃多；更可以启发理性的思考，即摸到A、2和3都是红桃，只有摸到4才是黑桃，而每一次摸牌摸到A、2、3或4的可能性是一样的（这一经验正是在例题1的实验中获得的）。
二、帮助学生从数量感知到方法感悟
根据皮亚杰的思维发展阶段理论，小学生的思维发展大致处于具体运算阶段（前期由前运算阶段向具体运算阶段过渡，后期由具体运算阶段向形式运算阶段过渡）。因此，在小学（尤其是第一学段的）数学教学中引入数学实验，能很好地契合学生的年龄特点（认知规律），从而有利于学生通过体验深度理解所学内容（尤其是通过实物建立具体运算的表象）。
例如，教学苏教版小学数学二年级上册第一单元“100以内加法和减法（三）”例题3时，解决问题“要让两串彩珠同样多，你有什么办法”的前两种方法“小军再穿4个彩珠”和“把芳芳穿的彩珠拿走4个”，对于学生来说是没有任何困难的；但是第三种方法“拿出芳芳穿的2个彩珠给小军”，学生往往只能看懂教材上直观的图示和教学光盘中动态的演示，不能领悟到其中的数学思想，不能脱离直观图示解决这类问题。对此，可组织学生进行摆小棒（或圆片）的数学实验，并不断改变两种量和两种量的相差数。这样，学生才能渐渐感悟：当两种量的相差数是单数时，不能通过相互调剂变得同样多；当两种量的相差数是双数时，只要从较大量中拿出相差数的一半给较小量即可。这样的感悟對于二年级的学生来说，尽管无须运用语言表达，但是可以很好地培养数感，为今后利用计算的方法解决此类问题埋下种子，也为今后学习“平均数”问题中的“以多补少”思想奠定基础。
三、促进学生建构数学模型
小学高年级学生的思维发展正在由具体运算阶段逐步向形式运算阶段过渡，其思维方式也正在由形象思维逐步向抽象思维过渡。因此，这一阶段的数学实验不应只是简单地操作具体的实物，而应该侧重于引领学生经历尝试、猜想、验证等探究活动，发展抽象思维，建构数学模型。
例如，教学苏教版小学数学五年级下册《因数与倍数的概念》时，学生已经具备一定的空间想象力，因此，我们可以改变教材中的安排，不组织学生用小正方形摆长方形的方法开展数学实验，而组织学生采用画示意图或直接演算的方法开展数学实验，在此基础上，引导学生有序地写出1×12=12，2×6=12，3×4=12三个算式，从而引入数学概念，建构数学模型。
再如，教学苏教版小学数学五年级下册《和与积的奇偶性》时，对于两个数相加的和的奇偶性的探索，教材让学生自由举例猜想、验证（不完全归纳），而我们可以在学生举例的基础上，引导学生从奇偶性的角度，将两个相加的数分为两个偶数、两个奇数以及一个和0246802468和1357913579和0246813579
图1奇数与一个偶数三种情况，并根据一个数的奇偶性是由这个数的个位决定的以及两个数相加的和的个位是由这两个数的个位决定的，设计三个表格（见图1）作为进一步实验探究的模型，引导学生有序穷举猜想、验证（演绎推理基础上的完全归纳），提高数学模型的说服力和可信度。
四、促进学生发展推理能力
数学实验不仅可以应用于新知探究的教学，而且可以应用于解决问题的教学。在解决问题的过程中，数学实验的合理介入可以帮助学生进行更为深入的思考，有效促进学生推理（分析、判断）能力的发展。
例如，有这样一个问题：小明和小刚同时各抛出一枚硬币。这两枚硬币落下后如果朝上的面相同，算小明赢；朝上的面不同，算小刚赢。这个游戏规则公平吗？为什么？对于这个问题，学生一般会分析两枚硬币落地后朝上的面的情况，往往能想到两个正面、两个反面和一正一反三种情况，从而判断出这个游戏规则不公平。这里，学生缺失了理解，“一正一反”实际上包含两种不同的情况，即“1号硬币正面朝上，2号硬币反面朝上”与“1号硬币反面朝上，2号硬币正面朝上”。此时，教师要组织学生进行数学实验：同桌两位学生各自记住自己的硬币（可以编号），同时抛出自己的硬币，观察情况。通过分析两枚硬币落地后朝上的面的情况，学生会渐渐明白共有四种不同的情况，进而做出合理的判断。
再如，有这样一个问题：一张纸厚度约为0.1毫米，连续对折多少次后，它的厚度会超过你的身高？见到这个问题，学生往往会积极地进行实验：通过合作将一张A3纸连续对折，然后记录纸的层数，计算纸的厚度。但是，学生很快会发现这是一个无法直接用实验来完成的任务，因为一张纸连续对折的次数是有限的（通常在六七次）。此时，教师要引导学生通过前面有限次的对折实验发现，每对折一次，纸的层数与厚度就变为原来的两倍。进而认识到，这个问题能否通过操作实现已经不重要了，因为可以通过“0.1 mm×2×2×2×…”的推算来解决。
参考文献：
[1] 【美】R.W.柯普兰.儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义[M].李其维，康清镳译.上海：上海教育出版社，1985.
[2] 郭庆松.小学数学实验的内涵、价值与实施[J].小学数学教育，2016（4）.
关键词：数学实验数学经验方法感悟数学模型推理能力
一直以来，学习数学或学好数学在很多学生心目中是一座难以逾越的大山，甚至是一段无比艰苦的回忆。究其原因，是数学具有较强的抽象性、逻辑性，离学生的生活（感受）实际比较远，对学生的思维（推理）要求比较高，导致学生感觉数学难以理解、难以掌握，甚至产生畏惧、厌恶的情绪。
通常认为，只有物理、化学、生物学等自然科学需要实验和观察。其实不然，欧拉曾说：“数学这门科学需要观察，也需要实验。学生应该重走人类掌握数学的历程，从直观具体的实验阶段走入抽象的理论阶段。”当然，数学实验的对象不仅仅是仪器、设备，还包括具体的实物模型以及算式、图形等。而且，小学生的心理特征，决定了他们喜欢参与有趣的活动，喜欢从“玩”中学。因此，在小学数学教学中，引入实验，引导学生通过实验操作、现象观察以及合情推理、数据分析，来建构知识、解决问题，可以大大提高学生对数学的兴趣和认识，同时发展学生的数学思维。具体而言，要做到如下几个方面：
一、引导学生从生活经验到数学经验
儿童对周围的事物渴望有“第一手的经验”，比如，儿童走路时，喜欢趟过前面的一摊水，而不愿绕过去。进行数学实验是学生在数学学习过程中获得“第一手经验”的重要途径，这是任何讲解、演示所无法比拟的。在数学教学中，不能因为学生对某些知识已经具备一定的经验，就忽视数学实验的组织。
例如，教学苏教版小学数学四年级上册第六单元《可能性》时，学生对教材中提供的两个例题情境（摸球和摸牌）已经具备了一定的经验，因此，一些教师就通过播放多媒体课件或直接讲解，然后组织学生交流并进行点拨，来展开教学。其实，学生具备的只是生活经验，并没有达到数学思考的层面，因此在教学中，有必要组织学生进行相关的实验。
针对例题1的教学，我们可以组织全班学生分组实验，并控制一定的次数（如每组摸球10次）。通过对实验数据的分析，学生才能慢慢体会到：在这种情况下（口袋里只有一个红球和一个黄球），每次摸球之前不能确定摸出的是哪个球，只能知道不是红球就是黄球；小组之间，哪怕摸出的红球与黄球的频次是一样的，顺序也往往是不同的；总的来看，摸到红球与黄球的可能性是差不多的。
同样，在例题2的教学中，我们应该组织学生进行更多次的实验。通过实验数据的分析，学生的认知才会超越感性的生活经验，走向理性的数学思考。实验不仅可以验证感性的经验，即在这种情况下（四张牌中有三张红桃和一张黑桃），摸到红桃的次数比黑桃多；更可以启发理性的思考，即摸到A、2和3都是红桃，只有摸到4才是黑桃，而每一次摸牌摸到A、2、3或4的可能性是一样的（这一经验正是在例题1的实验中获得的）。
二、帮助学生从数量感知到方法感悟
根据皮亚杰的思维发展阶段理论，小学生的思维发展大致处于具体运算阶段（前期由前运算阶段向具体运算阶段过渡，后期由具体运算阶段向形式运算阶段过渡）。因此，在小学（尤其是第一学段的）数学教学中引入数学实验，能很好地契合学生的年龄特点（认知规律），从而有利于学生通过体验深度理解所学内容（尤其是通过实物建立具体运算的表象）。
例如，教学苏教版小学数学二年级上册第一单元“100以内加法和减法（三）”例题3时，解决问题“要让两串彩珠同样多，你有什么办法”的前两种方法“小军再穿4个彩珠”和“把芳芳穿的彩珠拿走4个”，对于学生来说是没有任何困难的；但是第三种方法“拿出芳芳穿的2个彩珠给小军”，学生往往只能看懂教材上直观的图示和教学光盘中动态的演示，不能领悟到其中的数学思想，不能脱离直观图示解决这类问题。对此，可组织学生进行摆小棒（或圆片）的数学实验，并不断改变两种量和两种量的相差数。这样，学生才能渐渐感悟：当两种量的相差数是单数时，不能通过相互调剂变得同样多；当两种量的相差数是双数时，只要从较大量中拿出相差数的一半给较小量即可。这样的感悟對于二年级的学生来说，尽管无须运用语言表达，但是可以很好地培养数感，为今后利用计算的方法解决此类问题埋下种子，也为今后学习“平均数”问题中的“以多补少”思想奠定基础。
三、促进学生建构数学模型
小学高年级学生的思维发展正在由具体运算阶段逐步向形式运算阶段过渡，其思维方式也正在由形象思维逐步向抽象思维过渡。因此，这一阶段的数学实验不应只是简单地操作具体的实物，而应该侧重于引领学生经历尝试、猜想、验证等探究活动，发展抽象思维，建构数学模型。
例如，教学苏教版小学数学五年级下册《因数与倍数的概念》时，学生已经具备一定的空间想象力，因此，我们可以改变教材中的安排，不组织学生用小正方形摆长方形的方法开展数学实验，而组织学生采用画示意图或直接演算的方法开展数学实验，在此基础上，引导学生有序地写出1×12=12，2×6=12，3×4=12三个算式，从而引入数学概念，建构数学模型。
再如，教学苏教版小学数学五年级下册《和与积的奇偶性》时，对于两个数相加的和的奇偶性的探索，教材让学生自由举例猜想、验证（不完全归纳），而我们可以在学生举例的基础上，引导学生从奇偶性的角度，将两个相加的数分为两个偶数、两个奇数以及一个和0246802468和1357913579和0246813579
图1奇数与一个偶数三种情况，并根据一个数的奇偶性是由这个数的个位决定的以及两个数相加的和的个位是由这两个数的个位决定的，设计三个表格（见图1）作为进一步实验探究的模型，引导学生有序穷举猜想、验证（演绎推理基础上的完全归纳），提高数学模型的说服力和可信度。
四、促进学生发展推理能力
数学实验不仅可以应用于新知探究的教学，而且可以应用于解决问题的教学。在解决问题的过程中，数学实验的合理介入可以帮助学生进行更为深入的思考，有效促进学生推理（分析、判断）能力的发展。
例如，有这样一个问题：小明和小刚同时各抛出一枚硬币。这两枚硬币落下后如果朝上的面相同，算小明赢；朝上的面不同，算小刚赢。这个游戏规则公平吗？为什么？对于这个问题，学生一般会分析两枚硬币落地后朝上的面的情况，往往能想到两个正面、两个反面和一正一反三种情况，从而判断出这个游戏规则不公平。这里，学生缺失了理解，“一正一反”实际上包含两种不同的情况，即“1号硬币正面朝上，2号硬币反面朝上”与“1号硬币反面朝上，2号硬币正面朝上”。此时，教师要组织学生进行数学实验：同桌两位学生各自记住自己的硬币（可以编号），同时抛出自己的硬币，观察情况。通过分析两枚硬币落地后朝上的面的情况，学生会渐渐明白共有四种不同的情况，进而做出合理的判断。
再如，有这样一个问题：一张纸厚度约为0.1毫米，连续对折多少次后，它的厚度会超过你的身高？见到这个问题，学生往往会积极地进行实验：通过合作将一张A3纸连续对折，然后记录纸的层数，计算纸的厚度。但是，学生很快会发现这是一个无法直接用实验来完成的任务，因为一张纸连续对折的次数是有限的（通常在六七次）。此时，教师要引导学生通过前面有限次的对折实验发现，每对折一次，纸的层数与厚度就变为原来的两倍。进而认识到，这个问题能否通过操作实现已经不重要了，因为可以通过“0.1 mm×2×2×2×…”的推算来解决。
参考文献：
[1] 【美】R.W.柯普兰.儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义[M].李其维，康清镳译.上海：上海教育出版社，1985.
[2] 郭庆松.小学数学实验的内涵、价值与实施[J].小学数学教育，2016（4）.