我们知道，每一个同学的相貌特征、性格品质、学习、劳动态度，爱好兴趣都有所不同，因而思考问题获得的方法都有所区别.每个同学的解答是我们思考解题方法多样性的源泉，所以在平时的教学中，利用工作之余能做一些收集工作，对下一届的教学应该有所帮助.现就一个填空题的解法呈现给大家，供大家参考.
　　题目：如图1，△ABC的外接圆的圆心为
　　O，
　　AB=2，AC=3，BC=7，则
　　AO·BC等于.
　　图1 图2
　　方法一 利用三角形中正弦、余弦定理和数量积的定义直接解题
　　解：在△ABC中，由余弦定理得，cosA=
　　AB2+AC2-BC22AB·AC=
　　12，
　　所以∠A=60°， 连OB，OC（如图2），则∠BOC=120°.
　　由正弦定理得，OB=R=
　　12 BCsinA
　　=213.
　　所以AO·BC
　　=（AB+BO）·BC
　　=AB·BC+BO·
　　BC
　　=AB·（BA+AC）+
　　BO·（BO+OC）=
　　-AB2+AB·AC
　　+BO2+OB·OC
　　=-22+2×3×cos60°+
　　（213）2-（
　　213）2cos120°
　　=52
　　.
　　方法二 利用向量垂直的数量积为零和圆的垂径分弦定理解题
　　解： 取BC的中点D，连OD，AD，（如图3），则OD⊥BC，
　　所以OD⊥
　　BC，所以
　　OD·BC=0，
　　所以AO·BC
　　=（AD+DO）·BC
　　=AD·BC，
　　又AD=12（AB+AC），
　　所以AO·BC=
　　12
　　（AB+AC）·BC
　　=12（AB+AC）
　　·（AC-AB）=12
　　（AC2-AB2）=
　　12
　　（32-22）=52.
　　图3 图4
　　方法三 利用向量垂直的数量积为零和圆的直径所对的圆周角为直角简化解题
　　解：延长AO与圆交于E（如图4），则AO=
　　12AE，
　　连BE，EC，则AB⊥BE，AC⊥CE，
　　所以AB·BE=0，
　　AC·CE=0，
　　所以AO·BC=
　　12AE·
　　（BA+AC）=
　　12
　　AE·BA+12
　　AE·AC
　　=12
　　（AB+BE）
　　·BA+12（AC+
　　CE）·AC=
　　12（-AB2）+
　　12AC2
　　=
　　12（-22）+12
　　×32=52.
　　方法四 建立坐标系，转化为向量的代数运算
　　解：过B作BD⊥AC于D，由余弦定理得，
　　cosA=
　　AB2+AC2-BC22AB·AC=
　　12，
　　所以∠A=60°，所以AD=ABcosB=1.
　　图5
　　以D为原点，AC所在的直线为x轴，建立直角坐标系（如图5），则A（1，0），C（-2，0），B（0，
　　3），
　　设圆O的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
　　则
　　1+D+F=0
　　4-2D+F=0
　　3+3E+F=0
　　， 得
　　D=1
　　E=-33
　　F=-2
　　，
　　所以圆O的方程为x2+y2+x-33y-2=0，即
　　（x+12）2+（y-36）2=
　　73，
　　所以圆心O（-12，
　　36），所以
　　AO=（-
　　32，
　　36），
　　BC=（-2，-
　　3），
　　所以
　　AO·BC=（-
　　32）×（-2）+
　　36×（-
　　3）=3-
　　12=
　　52.
　　方法五 采用设而不求，巧用余弦定理求解
　　解：连OB、OC，则OA=OB=OC=R，
　　所以在△AOB中， 由余弦定理得cos∠AOB=
　　AO2+OB2-AB22AO·OB=
　　2R2-AB22R2，
　　在△AOC中， 由余弦定理得cos∠AOC=
　　AO2+OC2-AC2
　　2AO·OC=2R2-AC22R2，
　　所以AO·BC=
　　AO·（BO+OC）=
　　OA·OB-
　　OA·OC
　　=
　　|OA||OB|
　　cos∠
　　AOB-|OA||OC|cos∠AOC=R2
　　2R2-222R2-R2
　　2R2-322R2
　　=（
　　R2-2）-（R2-92
　　）=52.