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利用轴对称性求最短距离或最长距离是近几年中考数学中的热门话题，因此成为我们钻研的重点。如何使学生在有限的复习时间内更高效地掌握此类问题呢？数学题千变万化，但万变不离其宗，就像一个不停旋转的圆，它始终都围绕着圆心转。只要我们能抓住问题的本质特征，把问题进行归类，就能帮助学生举一反三，触类旁通，最终使学生能够从点扩展到面。
利用轴对称性求线段之和的最小值或线段之差的最大值时，常常把某些点进行适当的轴对称变换，再把这些线段集中在一起，根据两点之间线段最短或三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，问题就可迎刃而解了。下面笔者就初中数学中可以利用轴对称性来解决的问题作一归纳、分析。
一、 利用轴对称性求线段之和的最小值
（一） 平面图形中的一动两定型
平面图形中已知两定点，在一条直线上找一点，使它与已知两定点的距离之和最小，或使它与已知两定点构成的三角形周长最小。
例1 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为 。
【分析】在梯形ABCD中，因为AB＝CD＝AD，易知梯形ABCD是等腰梯形，又直线MN是梯形ABCD的对称轴，所以直线MN是底边AD、BC的垂直平分线，连结PA，由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等知，PA＝PD，所以求PC＋PD的最小值就转化为求PC＋PA的最小值，即求AC的长度即可。
例2 已知抛物线y=ax2+c经过A（0，1），P（2，-3）。
（1） 求抛物线的解析式并判定C（，0）是否在此抛物线上；
（2） 点M是抛物线对称轴上的动点，连MP、MC，试求△PCM周长的最小值。
【分析】此题第二问是二次函数中利用轴对称性求三角形周长的最小值问题。由于PC的长度保持不变，要使△PCM的周长最小，只要使CM+MP的值最小即可，这样问题就转化成例1的类型。
（二） 空间图形中的一动两定型
空间图形中已知两定点，在一条曲线上找一点，使它与已知两定点的距离之和最小。
例3 如图，一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外A点爬到桶内B点去寻找食物。已知A点到桶口的距离AC为12cm，B点到桶口的距离BD为8cm，弧CD的长为15cm，若蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走？最短路程是多少？
【分析】此题的解决需要把空间图形转化为平面图形。如图，展开圆柱的侧面，问题中的空间两点A、B就转化成平面两点。原问题转化为在线段CD上找一点P，使PA+PB最短，所以，我们可以利用上题所构建的模型，作点B关于直线CD的对称点B′，连结AB′交直线CD于点P，则AB′的长就是所要求的最短路程。
（三） 利用一动两定型解决代数问题
在有些代数问题中，直接用代数方法不易解决，若利用轴对称构造几何图形解题就能得心应手了。
例4 求代数式+的最小值。
【分析】解此题可以有两种方法。
方法1 设y=+=+，因此可以理解为在x轴上找一个点，使它到点A（3，1）和B（-3，5）的距离之和最小。只要作出点A关于x轴的对称点A′（3，-1），A′B的长度即为代数式的最小值，其最小值为6。
方法2 如图，分别以PM=（3-x）、AM=1为直角边和以PN=（x+3）、BN=5为直角边构建两个直角△PAM、△PNB，使（3-x）和（x+3）在同一直线上，两条斜边就是PA和PB，长分别为和。因此，求代数式的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质，求出BA1的长，就是代数式的最小值。
（四） 两动一定型
已知一定点，分别在两条直线上找两点，使这两点与已知一定点的距离之和最小。
例5 如图，在?荀ABCD中，AD=6，AB=8，∠DAB=60°，P是∠DAB平分线上一动点，当点P从A到E沿着AE运动（不运动到A，E时），把P到直线AB的距离和到顶点B的距离的和记为y，求y的最小值。
【分析】作点B关于AE的对称点B′，过点B′作B′H⊥AB，垂足为H，则BP=B′P，所以y的最小值就是B′H的长。
例6 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 。
【分析】在此题中，只有点B是定点，M、N两点都是动点。利用角平分线的性质，我们先作出点N关于AD的对称点N′，则MN=MN′，如果点N是定点，那么当B、M、N′三点共线时，BN′的长就是BM+MN的最小值，而BN′大于或等于BH，所以BH的长就是BM+MN的最小值，容易算出BH=4。
（五） 两动两定型
已知两定点，分别在两条直线上找两点，使这两点与已知两定点构成的四边形周长最小。
例7 已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3），和点B（2，1）。
（1） 求此抛物线解析式；
（2） 点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD的周长的最小值。
（3） 过点B作x轴的垂线，垂足为E点，点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的倍，试确定F的位置，使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短。（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）
【分析】（1） 抛物线的解析式为y=-2x2+4x+1。（2） 因为A、B是定点且长度不变，要使四边形ABCD的周长最小，只需使AD+CD+BC 的值最小，由于C、D两点未知，所以本题关键是找C、D两点，可考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。（3） 确定点F位置的方法：过点E作直线EM使对称轴与直线EM成45°角，则EM与对称轴的交点为所求的点F，点F的坐标是（1，1）。
（六） 三个动点型
一个动点在某个范围内运动，分别在两条直线上找另两个动点，使三个点构成的三角形周长最小。
例8 如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是 。当△PQR周长最小时，∠QPR的度数= 。
【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，则QP=QP1，RP=RP2，要使△PQR周长最小，只需P1QRP2四点共线即可，因此△PQR周长的最小值就是P1P2的长。
由以上几例可以看出，求线段和的最小值时，常常借助轴对称将两条线段转化到一条直线上，再利用“两点之间线段最短”进行求解。
二、 利用轴对称性求线段之差的最大值
已知两定点，在一条直线上找一点，使它与已知两定点的距离之差最大。
例9 如图，在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为P（5，5），点Q的坐标为Q（2，1）。问在x轴上是否存在点M，使MP-MQ的值最大，若存在，请写出点M的坐标，若不存在，请说明理由。
【分析】前面的例题都是求几条线段的和最短，而此题却是求两条线段的差最大。实际上，方法是一样的，只需找出点P或点Q关于x轴的对称点，这样解决起来就能得心应手了。如作出点Q关于x轴的对称点Q′，连结PQ′交x轴于点M，则MQ=MQ′，MP-MQ=MP-MQ′，根据三角形两边之差小于第三边，PQ′就是MP-MQ的最大值，PQ′=3，此时点M的坐标为M（，0）。
在数学教学中，教师既要注重培养学生良好的解题能力，又要注重培养学生的归纳反思能力；要及时了解到学生的实际情况，学生已经掌握的例题、习题，不宜再机械性地训练，而应抓住时机对问题进行变式、拓展、提升训练；要循序渐进地引导学生分析问题，归纳、反思问题，从而逐步提高学生灵活运用知识的能力。
利用轴对称性求线段之和的最小值或线段之差的最大值时，常常把某些点进行适当的轴对称变换，再把这些线段集中在一起，根据两点之间线段最短或三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，问题就可迎刃而解了。下面笔者就初中数学中可以利用轴对称性来解决的问题作一归纳、分析。
一、 利用轴对称性求线段之和的最小值
（一） 平面图形中的一动两定型
平面图形中已知两定点，在一条直线上找一点，使它与已知两定点的距离之和最小，或使它与已知两定点构成的三角形周长最小。
例1 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为 。
【分析】在梯形ABCD中，因为AB＝CD＝AD，易知梯形ABCD是等腰梯形，又直线MN是梯形ABCD的对称轴，所以直线MN是底边AD、BC的垂直平分线，连结PA，由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等知，PA＝PD，所以求PC＋PD的最小值就转化为求PC＋PA的最小值，即求AC的长度即可。
例2 已知抛物线y=ax2+c经过A（0，1），P（2，-3）。
（1） 求抛物线的解析式并判定C（，0）是否在此抛物线上；
（2） 点M是抛物线对称轴上的动点，连MP、MC，试求△PCM周长的最小值。
【分析】此题第二问是二次函数中利用轴对称性求三角形周长的最小值问题。由于PC的长度保持不变，要使△PCM的周长最小，只要使CM+MP的值最小即可，这样问题就转化成例1的类型。
（二） 空间图形中的一动两定型
空间图形中已知两定点，在一条曲线上找一点，使它与已知两定点的距离之和最小。
例3 如图，一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外A点爬到桶内B点去寻找食物。已知A点到桶口的距离AC为12cm，B点到桶口的距离BD为8cm，弧CD的长为15cm，若蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走？最短路程是多少？
【分析】此题的解决需要把空间图形转化为平面图形。如图，展开圆柱的侧面，问题中的空间两点A、B就转化成平面两点。原问题转化为在线段CD上找一点P，使PA+PB最短，所以，我们可以利用上题所构建的模型，作点B关于直线CD的对称点B′，连结AB′交直线CD于点P，则AB′的长就是所要求的最短路程。
（三） 利用一动两定型解决代数问题
在有些代数问题中，直接用代数方法不易解决，若利用轴对称构造几何图形解题就能得心应手了。
例4 求代数式+的最小值。
【分析】解此题可以有两种方法。
方法1 设y=+=+，因此可以理解为在x轴上找一个点，使它到点A（3，1）和B（-3，5）的距离之和最小。只要作出点A关于x轴的对称点A′（3，-1），A′B的长度即为代数式的最小值，其最小值为6。
方法2 如图，分别以PM=（3-x）、AM=1为直角边和以PN=（x+3）、BN=5为直角边构建两个直角△PAM、△PNB，使（3-x）和（x+3）在同一直线上，两条斜边就是PA和PB，长分别为和。因此，求代数式的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质，求出BA1的长，就是代数式的最小值。
（四） 两动一定型
已知一定点，分别在两条直线上找两点，使这两点与已知一定点的距离之和最小。
例5 如图，在?荀ABCD中，AD=6，AB=8，∠DAB=60°，P是∠DAB平分线上一动点，当点P从A到E沿着AE运动（不运动到A，E时），把P到直线AB的距离和到顶点B的距离的和记为y，求y的最小值。
【分析】作点B关于AE的对称点B′，过点B′作B′H⊥AB，垂足为H，则BP=B′P，所以y的最小值就是B′H的长。
例6 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 。
【分析】在此题中，只有点B是定点，M、N两点都是动点。利用角平分线的性质，我们先作出点N关于AD的对称点N′，则MN=MN′，如果点N是定点，那么当B、M、N′三点共线时，BN′的长就是BM+MN的最小值，而BN′大于或等于BH，所以BH的长就是BM+MN的最小值，容易算出BH=4。
（五） 两动两定型
已知两定点，分别在两条直线上找两点，使这两点与已知两定点构成的四边形周长最小。
例7 已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3），和点B（2，1）。
（1） 求此抛物线解析式；
（2） 点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD的周长的最小值。
（3） 过点B作x轴的垂线，垂足为E点，点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的倍，试确定F的位置，使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短。（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）
【分析】（1） 抛物线的解析式为y=-2x2+4x+1。（2） 因为A、B是定点且长度不变，要使四边形ABCD的周长最小，只需使AD+CD+BC 的值最小，由于C、D两点未知，所以本题关键是找C、D两点，可考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。（3） 确定点F位置的方法：过点E作直线EM使对称轴与直线EM成45°角，则EM与对称轴的交点为所求的点F，点F的坐标是（1，1）。
（六） 三个动点型
一个动点在某个范围内运动，分别在两条直线上找另两个动点，使三个点构成的三角形周长最小。
例8 如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是 。当△PQR周长最小时，∠QPR的度数= 。
【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，则QP=QP1，RP=RP2，要使△PQR周长最小，只需P1QRP2四点共线即可，因此△PQR周长的最小值就是P1P2的长。
由以上几例可以看出，求线段和的最小值时，常常借助轴对称将两条线段转化到一条直线上，再利用“两点之间线段最短”进行求解。
二、 利用轴对称性求线段之差的最大值
已知两定点，在一条直线上找一点，使它与已知两定点的距离之差最大。
例9 如图，在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为P（5，5），点Q的坐标为Q（2，1）。问在x轴上是否存在点M，使MP-MQ的值最大，若存在，请写出点M的坐标，若不存在，请说明理由。
【分析】前面的例题都是求几条线段的和最短，而此题却是求两条线段的差最大。实际上，方法是一样的，只需找出点P或点Q关于x轴的对称点，这样解决起来就能得心应手了。如作出点Q关于x轴的对称点Q′，连结PQ′交x轴于点M，则MQ=MQ′，MP-MQ=MP-MQ′，根据三角形两边之差小于第三边，PQ′就是MP-MQ的最大值，PQ′=3，此时点M的坐标为M（，0）。
在数学教学中，教师既要注重培养学生良好的解题能力，又要注重培养学生的归纳反思能力；要及时了解到学生的实际情况，学生已经掌握的例题、习题，不宜再机械性地训练，而应抓住时机对问题进行变式、拓展、提升训练；要循序渐进地引导学生分析问题，归纳、反思问题，从而逐步提高学生灵活运用知识的能力。