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一、写作背景
今年高考刚刚落下帷幕，笔者迫不及待地就甘肃数学卷进行了研究，发现第24题第一问与人教实验A版第10页11题在题设条件，解答过程，解题思想上完全一样，第二问与甘肃教育出版社出版的高效学案第7页例2又是如出一辙.就在考前一个月笔者给所教班级曾讲过，也三次布置过这道题目，于是就在考后的第二天笔者便在两个班级进行了测试.
二、解法探究
1.高考试题: 设a,b,c均为正数，且a+b+c=1.证明：
（Ⅰ)ab+bc+ca≤1 3;(2)a2 b
+b2 c
+c2 a≥1.
2.试题影子
(Ⅰ) (人教实验A版P10第11题)设a,b,c均为正数，且a+b+c=1.证明：a2+b2+c2≥
1 3.
(Ⅱ)影1：(甘教出版社高效学案P7例2)已知a,b,c均为正数，求证：
a2 b+
b2 c+c2 a
≥a+b+c.
影2:(甘教出版社高效学案P28例2)已知a,b均为正数,求证:a b
+b a
≥a+b.
3.笔者对高考试题及其影子的对比解法:
(1)比较法：（影子）
3(a2+b2+c2)-1
=3(a2+b2+c2)-(a+b+c)2
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac
=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)
=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,
所以a2+b2+c2≥1 3.
高考试题
3(ab+bc+ac)-1
=3(ab+bc+ac)-(a+b+c)2
=-(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=-1 2
［2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac］
=-1 2
［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］≤0,
所以ab+bc+ca≤1 3.
后记 ：比较法的实质是两边做差与0比较大小，此题关键是会把“1”用
(a+b+c)2代换，然后会配成完全平方;高考试题第二步
-
(a2+b2+c2-ab-bc-ac) 的配凑在不等式选讲4-5第8页书上有配凑证明过程.
(2)综合法
3(a2+b2+c2)
=a2+b2+c2+(2a2+2b2+2c2)
=a2+b2+c2+(a2+b2+b2+c2+c2+a2)
≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
=(a+b+c)2=1,所以a2+b2+c2≥1 3.
高考试题
3(ab+bc+ca)
=(ab+bc+ca)+2ab+2bc-2ca
≤a2+b2 2
+b2+c2 2
+c2+a2 2
+2ab+2bc+2ca
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2=1.
所以ab+bc+ca≤1 3.
后记： 综合法的关键是充分应用不等式的性质，特别是均值不等式的灵活运用，此题难点是会进行拆项，会逆用均值不等式
〖JP3〗ab≤a2+b2 2，会逆用
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2.
(3)
分析法：
要证a2+b2+c2≥1 3,
只要证3a2+3b2+3c2≥1,
需证3a2+3b2+3c≥
(a+b+c)2,
只要证3a2+3b2+3c2≥
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,需证2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≥0,
需证（a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0.
这显然成立.
所以a2+b2+c2≥1 3.
高考试题
要证ab+bc+ca≤1 3,
只要证3ab+3bc+3ca≤1.
需证3ab+3bc+3ca≤(a+b+c)2,
只要证
3ab+3bc+3ca≤a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,
需证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
只要证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,
需证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0.
这显然成立.所以ab+bc+ca≤1 3.
后记：通过对比可以发现课本习题和高考试题证明过程完全一样，如果课本习题掌握得好，此题证明过程将非常流畅.证明中的关键是会把“1”用
（a+b+c)2 代换,会证明
a2+b2+c2≥ab+bc+ca .课本第10页第6(2)
a+b+c≥ab+
bc+
ca,甘肃教育出版社高效学案第28页例1“已知a,b∈R,求证a2+b2+1≥ab+a+b”与此是同类题.
4.学生在解答中存在的问题
笔者在课堂上检测之后发现两个班八十多名学生中只有十多位学生在短时间内一次性解对了，为何不久刚做过三遍的题目效果如此不好呢？事后笔者就这道题从学生前期做题的态度，检测中解题的过程，再次讲解后的反思等方面进行了书面调查，发现存在以下问题：一是前期做题中根本没有弄懂，未进行研究和思考，只记了死过程，做了三次都按同种方法去做；二是平时学习中不注重课本知识学习，课后不注重巩固，上课听懂了，课后就没再管；三是缺乏反思意识，做完后没有弄懂题目考查的知识点，未记住关键性的知识（如“1”的整体代换，三项完全平方公式，配凑等），公式不会灵活应用（如均值不等式）；四是解题思路不流畅,不知道不等式证明常用的比较、分析、综合法；五是惧怕高考试题，认为是最后一道题，心理上已经退缩，认为自己没有勇气和能力做出来.
三、教学启示
（一）高考复习要重视课本的教学功能
课本是经过专家反复推敲的，是学习数学基础知识，形成基本技能的“蓝本”，能力是在知识的传授和学习中逐步培养和发展起来的.笔者曾在2012年第12期《考试•高考数学》杂志上发表的《研析高考试题，给力高考复习——寻找高考试题影子，探求高考复习策略》一文中阐明过高考复习应当回归课本，夯实基础，吃透教材，用活教材这一观点.到底如何引导学生回归课本呢？
1.用事实说话.教师要多研究高考试题，找到高考试题在课本上，平时训练中的影子，通过对比解答的过程，让学生真正感受二者在解答思路，知识点等方面相同之处，引起学生学习的兴趣，进而引导学生重视课本知识.
2.用方法引导.提到回归课本，一大部分学生就知道记课本的概念，公式，做课后题，其效果可想而知.教师要教给学生回归课本的方法，引导学生第一轮复习中重视知识的形成过程，树立一轮复习当做上新课来学习，彻底弄懂以前留下的疑点问题，复习中可以布置课本上典型的例题习题，抽查一些知识点了解学生回归情况，真正达到一轮复习的目的.
（二）高考复习师生要重视解题后的反思.
当代著名数学教育家波利亚在《怎么解题》中给出了解答数学问题的四个阶段：弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾.简而言之，在数学解题中要有以下几个步骤：审题—探究—表达—反思.然而在实践中，教师和学生的兴奋点往往集中在答案上，缺乏解题后的反思，致使题目稍作变化就停滞不前.到底如何做好解后反思呢？反思什么呢？
1.教师要反思自己的教学行为.美国心理学家G.J.Posner给出了一个教师成长的简洁公式：教师成长=经验+反思.教师应当自觉地对教学活动进行反思，应当不断地责问自己：今天的教学是否达到了预期目标？教学内容是否有助于学生未来的发展？创设的情景活动是否合理？数学解题是否符合学生的认识发展？为何一道题讲了一遍学生做了三遍还是不会？问题就出在课堂教学学生一味的被动接受，教师没有给学生思考的空间，没有打开学生思维的火花，教师是有责任的.
2.学生要反思自己的学习行为.解后反思可以深化学生对知识的理解，优化学生解题思路，提高学生思维的灵活性，帮助学生理解问题本质，提升解题境界.
（1）反思解题过程.引导学生做完一道题目后，对自己的解题过程和解题思路进行思考，找出解题中的关键点、难点、突破口（如本例中的“1”的整体代换，三项完全平方公式，配凑等是解题的关键），要归纳解题中涉及的基本概念、定理、法则、公式，反思解题中的重要方法（如不等式证明的三种常见方法）和基本技巧，进而理顺解题思路.
（2）反思错误原因.在解题过程中由于对知识理解存在偏差或者是缺陷，或者受到某些信息的主导和干扰，导致解答出现错误.通过反思要寻找自己是知识上、思维上、公式运用上还是其他方面出现漏洞，纠正理解上的偏差，笔者测后的调查就是基于此目的.
（3）反思一题多解.解题后尝试运用不同的数学方法，通过尝试一题多解（如比较法、分析法、综合法），能够帮助学生多角度思考问题，通过多题一解（多道题用同一种方法）做到举一反三，触类旁通，同时总结出通性通法，从而理解问题本质，避免陷入题海.笔者在调查中看到学生在证明中遇到了困难原因之一就是学生在三遍的解答中受到了教师解题思路的干扰，没有变通，寻找其他解法，彻底弄懂问题的实质.
“思路决定出路”.敢问高考复习之路在哪里？“路”就在教材中，就在师生复习备考的反思中.在这条路上我们都会遇到各种困难和挫折，为了避免步入歧途，陷入题海之中，教师就要制定好完备的复习计划，明确高考考查的目的和方向，这样的复习才更有效.
今年高考刚刚落下帷幕，笔者迫不及待地就甘肃数学卷进行了研究，发现第24题第一问与人教实验A版第10页11题在题设条件，解答过程，解题思想上完全一样，第二问与甘肃教育出版社出版的高效学案第7页例2又是如出一辙.就在考前一个月笔者给所教班级曾讲过，也三次布置过这道题目，于是就在考后的第二天笔者便在两个班级进行了测试.
二、解法探究
1.高考试题: 设a,b,c均为正数，且a+b+c=1.证明：
（Ⅰ)ab+bc+ca≤1 3;(2)a2 b
+b2 c
+c2 a≥1.
2.试题影子
(Ⅰ) (人教实验A版P10第11题)设a,b,c均为正数，且a+b+c=1.证明：a2+b2+c2≥
1 3.
(Ⅱ)影1：(甘教出版社高效学案P7例2)已知a,b,c均为正数，求证：
a2 b+
b2 c+c2 a
≥a+b+c.
影2:(甘教出版社高效学案P28例2)已知a,b均为正数,求证:a b
+b a
≥a+b.
3.笔者对高考试题及其影子的对比解法:
(1)比较法：（影子）
3(a2+b2+c2)-1
=3(a2+b2+c2)-(a+b+c)2
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac
=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)
=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,
所以a2+b2+c2≥1 3.
高考试题
3(ab+bc+ac)-1
=3(ab+bc+ac)-(a+b+c)2
=-(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=-1 2
［2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac］
=-1 2
［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］≤0,
所以ab+bc+ca≤1 3.
后记 ：比较法的实质是两边做差与0比较大小，此题关键是会把“1”用
(a+b+c)2代换，然后会配成完全平方;高考试题第二步
-
(a2+b2+c2-ab-bc-ac) 的配凑在不等式选讲4-5第8页书上有配凑证明过程.
(2)综合法
3(a2+b2+c2)
=a2+b2+c2+(2a2+2b2+2c2)
=a2+b2+c2+(a2+b2+b2+c2+c2+a2)
≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
=(a+b+c)2=1,所以a2+b2+c2≥1 3.
高考试题
3(ab+bc+ca)
=(ab+bc+ca)+2ab+2bc-2ca
≤a2+b2 2
+b2+c2 2
+c2+a2 2
+2ab+2bc+2ca
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2=1.
所以ab+bc+ca≤1 3.
后记： 综合法的关键是充分应用不等式的性质，特别是均值不等式的灵活运用，此题难点是会进行拆项，会逆用均值不等式
〖JP3〗ab≤a2+b2 2，会逆用
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2.
(3)
分析法：
要证a2+b2+c2≥1 3,
只要证3a2+3b2+3c2≥1,
需证3a2+3b2+3c≥
(a+b+c)2,
只要证3a2+3b2+3c2≥
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,需证2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≥0,
需证（a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0.
这显然成立.
所以a2+b2+c2≥1 3.
高考试题
要证ab+bc+ca≤1 3,
只要证3ab+3bc+3ca≤1.
需证3ab+3bc+3ca≤(a+b+c)2,
只要证
3ab+3bc+3ca≤a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,
需证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
只要证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,
需证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0.
这显然成立.所以ab+bc+ca≤1 3.
后记：通过对比可以发现课本习题和高考试题证明过程完全一样，如果课本习题掌握得好，此题证明过程将非常流畅.证明中的关键是会把“1”用
（a+b+c)2 代换,会证明
a2+b2+c2≥ab+bc+ca .课本第10页第6(2)
a+b+c≥ab+
bc+
ca,甘肃教育出版社高效学案第28页例1“已知a,b∈R,求证a2+b2+1≥ab+a+b”与此是同类题.
4.学生在解答中存在的问题
笔者在课堂上检测之后发现两个班八十多名学生中只有十多位学生在短时间内一次性解对了，为何不久刚做过三遍的题目效果如此不好呢？事后笔者就这道题从学生前期做题的态度，检测中解题的过程，再次讲解后的反思等方面进行了书面调查，发现存在以下问题：一是前期做题中根本没有弄懂，未进行研究和思考，只记了死过程，做了三次都按同种方法去做；二是平时学习中不注重课本知识学习，课后不注重巩固，上课听懂了，课后就没再管；三是缺乏反思意识，做完后没有弄懂题目考查的知识点，未记住关键性的知识（如“1”的整体代换，三项完全平方公式，配凑等），公式不会灵活应用（如均值不等式）；四是解题思路不流畅,不知道不等式证明常用的比较、分析、综合法；五是惧怕高考试题，认为是最后一道题，心理上已经退缩，认为自己没有勇气和能力做出来.
三、教学启示
（一）高考复习要重视课本的教学功能
课本是经过专家反复推敲的，是学习数学基础知识，形成基本技能的“蓝本”，能力是在知识的传授和学习中逐步培养和发展起来的.笔者曾在2012年第12期《考试•高考数学》杂志上发表的《研析高考试题，给力高考复习——寻找高考试题影子，探求高考复习策略》一文中阐明过高考复习应当回归课本，夯实基础，吃透教材，用活教材这一观点.到底如何引导学生回归课本呢？
1.用事实说话.教师要多研究高考试题，找到高考试题在课本上，平时训练中的影子，通过对比解答的过程，让学生真正感受二者在解答思路，知识点等方面相同之处，引起学生学习的兴趣，进而引导学生重视课本知识.
2.用方法引导.提到回归课本，一大部分学生就知道记课本的概念，公式，做课后题，其效果可想而知.教师要教给学生回归课本的方法，引导学生第一轮复习中重视知识的形成过程，树立一轮复习当做上新课来学习，彻底弄懂以前留下的疑点问题，复习中可以布置课本上典型的例题习题，抽查一些知识点了解学生回归情况，真正达到一轮复习的目的.
（二）高考复习师生要重视解题后的反思.
当代著名数学教育家波利亚在《怎么解题》中给出了解答数学问题的四个阶段：弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾.简而言之，在数学解题中要有以下几个步骤：审题—探究—表达—反思.然而在实践中，教师和学生的兴奋点往往集中在答案上，缺乏解题后的反思，致使题目稍作变化就停滞不前.到底如何做好解后反思呢？反思什么呢？
1.教师要反思自己的教学行为.美国心理学家G.J.Posner给出了一个教师成长的简洁公式：教师成长=经验+反思.教师应当自觉地对教学活动进行反思，应当不断地责问自己：今天的教学是否达到了预期目标？教学内容是否有助于学生未来的发展？创设的情景活动是否合理？数学解题是否符合学生的认识发展？为何一道题讲了一遍学生做了三遍还是不会？问题就出在课堂教学学生一味的被动接受，教师没有给学生思考的空间，没有打开学生思维的火花，教师是有责任的.
2.学生要反思自己的学习行为.解后反思可以深化学生对知识的理解，优化学生解题思路，提高学生思维的灵活性，帮助学生理解问题本质，提升解题境界.
（1）反思解题过程.引导学生做完一道题目后，对自己的解题过程和解题思路进行思考，找出解题中的关键点、难点、突破口（如本例中的“1”的整体代换，三项完全平方公式，配凑等是解题的关键），要归纳解题中涉及的基本概念、定理、法则、公式，反思解题中的重要方法（如不等式证明的三种常见方法）和基本技巧，进而理顺解题思路.
（2）反思错误原因.在解题过程中由于对知识理解存在偏差或者是缺陷，或者受到某些信息的主导和干扰，导致解答出现错误.通过反思要寻找自己是知识上、思维上、公式运用上还是其他方面出现漏洞，纠正理解上的偏差，笔者测后的调查就是基于此目的.
（3）反思一题多解.解题后尝试运用不同的数学方法，通过尝试一题多解（如比较法、分析法、综合法），能够帮助学生多角度思考问题，通过多题一解（多道题用同一种方法）做到举一反三，触类旁通，同时总结出通性通法，从而理解问题本质，避免陷入题海.笔者在调查中看到学生在证明中遇到了困难原因之一就是学生在三遍的解答中受到了教师解题思路的干扰，没有变通，寻找其他解法，彻底弄懂问题的实质.
“思路决定出路”.敢问高考复习之路在哪里？“路”就在教材中，就在师生复习备考的反思中.在这条路上我们都会遇到各种困难和挫折，为了避免步入歧途，陷入题海之中，教师就要制定好完备的复习计划，明确高考考查的目的和方向，这样的复习才更有效.