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摘要：作为一门学术理论体系十分完善的基础类学科，数学分析的思想和方法已经逐渐的渗透到了概率论当中，并对概率论产生了十分巨大的影响。由于在概率论中不断的引入数学分析的先进思想和分析方法，使得概率论也得到了快速的发展进步。与此同时，概率论中讲述的一些方法，可以将部分确定性的数学问题转变成随机性的数学问题，从而使原本十分困难的数学分析问题变得简单起来，进而被高效、快速、简捷的解决。因此，本文从数学分析和概率论两个角度出发，就二者之间相互的作用关系进行分析和研究。
关键词：数学分析；概率论；相互关系
引言
作为数学的两大分支，数学分析和概率论都有其自身的特点，其中数学分析属于典型的确定性数学，而概率论则是代表着随机性数学，所以，一直以来，二者的研究方向都是不同的。虽然受二者特性的影响，数学分析和概率论的发展方向大相径庭，但是由于二者同属数学领域，所以二者在研究和发展的过程还有着紧密结合的关系。其具体表现在：数学分析的不断发展可以为概率论的发展奠定坚实的基础，而概率论的随机性与反因果论也可以逐渐的渗透到数学分析中，并推动数学分析的不断发展。因此，对二者的关系进行研究和分析，对于解决二者在发展过程中遇到的问题具有较高的现实意义。
1.数学分析在概率论中的渗透
在上个世纪九十年代初期，苏俄著名的数学家就以测度论和集合论为基础，导入了概率论中的公理化体系，使得概率论得以快速的发展，在其发展的过程中，我们也可以看到数学分析的影子。
1.1集合论和概率论公理化体系
一般来讲，数学这门理论的研究对象都是带有某种结构或者是特性的集合体，所以，集合论也是整个数学理论的体系基础。数学中的集合论是在十九世纪严密的数学分析中被提炼出来的，并在之后的发展过程中与测度论相结合，成为了当前概率论中的公理化梯子。由此看来，这就是数学分析对概率论发展的一项巨大推动。另外，在数学分析中，积分的形式主要有勒贝尔积分和黎曼积分两种[1]。其中，黎曼积分是最先出现的，它在处理一些性质十分良好的函数时比较顺利，但当它遇到一些级数、积分、多元函数和极限交换的次序较多等比较难的数学问题时，处理起来便十分的困难。然而，随着勒贝尔积分的出现，黎曼积分中的难题也随之迎刃而解，数学理论中微积分理论也进化到了属于实变函数论的一个新阶段。与此同时，构成概率论公理化体系的集合论和测度论也得到了新的发展，二者间概率的相似性已经逐渐的显现了出来，关系被逐渐的确立下来，这就使得概率论的公理化体系建设更加坚实和科学。
1.2特征函数和傅立叶变换
在数学分析中，傅立叶级数、傅立叶积分和傅立叶变换等都是十分有效的问题分析工具，在数学分析这一领域中占据着重要的地位，同时也在这一领域发挥了重要的作用。另外，傅立叶级数、傅立叶积分和傅立叶变换也随着数学分析的发展渗透到了概率论的领域当中，其中，将傅立叶变换运用到分布函数或者密度函数之中，就会产生我们所说的“特征函数”。当“特征函数”出现时，便会提高对独立随机变量与随机变量序列两大数学问题的处理效率，是问题处理的更加简捷。
1.3雅克比行列式和随机变量函数分布
在数学分析之中，我们平时经常会接触到的函数通常都属于显函数，但在数学函数这一领域中，除了显函数之外，还常常会遇到另一种类型的函数，即：隐函数，特别是其中的隐函数组，遇见率更高。为了证实隐函数组这一函数类型是真实存在的，德国著名的数学家雅克比便在偏微分的方程式中，对隐函数组的存在进行了深入研究，并引入了我们所说的“雅克比行列式”来解决这一问题。同样如此，在数学理论的概率论中，应用“雅克比行列式”，可以有效的解决许多概率论当中的多维随机变量中函数的概率分布问题[2]。
1.4同阶数量级和极限定理
在数学问题中概率论研究的核心问题往往都是大数定律和中心极限定理，二者也是数理统计的基础性理论。在数学领域中，一方面，由于二者讨论的都是随机变量序列中的极限问题，所以属于概率论的领域；另一方面，由于二者研究的方向也与数学分析中包含的数列极限和函数极限相似度较高，并且存在着密切的联系。由此看来，数学分析中提出的同阶数量级也可以解决概率论中的大数定律和中心极限定理，因此，数学分析理论是概率论发展的基础。
1.5随机变量、分布函数和函数
函数作为数学分析中最基本的一项概念，在被引入到概率论的领域中后，它把概率论中的大多数问题都赋予了简化处理的能力，推动概率论进入了一个新的发展阶段。作为概率论中两个十分重要的理论概念，随机变量与分布函数也都属于函数的概念范畴，其中，随机变量X属于函数类别中的集函数，而分布函数则属于实函数[3]。在此对应关系下，由随机函数引发的随机事件，在概率论先被简化，然后再进行集合，最后被转变为实数，并随着样本空间的变化而变成书籍，此时，概率相应的集函数便被约化成为实函数。而分布函数则具有：单调有界、处处可导、可积、处处联系的优势。因此，将随机变量和分布函数导入到概率论当中，可以快速的结束概率论的古典时代，促进概率论公理化和体系化发展，并为其发展提供源源不断的动力。
2.数学分析中概率论的应用
从以上研究分析中可以发现，经过数学分析理论在概率论中不断的渗透，推动力概率论的快速发展。与此同时，概率论自身带有的随机性特点，也使得数学分析中的部分确定性的比较困难的问题得到了高效、简化、便捷的解决。
2.1不等式和数学期望
在数学分析中，不等式属于一项重要的内容，在数学分析领域十分常见，并且也是比较难解决的数学问题之一。一般情况下，数学分析中的不等式主要有级数不等式和积分不等式两大类。虽然数学分析中有许多的方法可以解决这两类不等式问题，但是每一种方式的解决过程都十分的复杂，不容易证明，一旦中间某个部分出现差错，则会对结果产生直接的影响。但是，如果利用概率论中的数学期望性质来解决数学分析中的不等式问题，则会充分的简化证明过程，从而使简化解决方式和证明过程。 2.2数学分析中中心极限定理的作用
概率论中的中心极限定理主要分为四大类，这些定理的提出与建立，不仅为概率论的发展提供了广阔的发展前景，还将
概率论和数学分析密切的联系了起来[4]。在数学分析中，极限是其进行问题分析的前提，在数学分析的微积分中，所有重要的概念和解决方法都是围绕着极限展开的，其中，部分构成比较复杂的极限问题，如果单纯的使用数学分析的方法，是无法计算的，但是如果引入概率论中的中心极限定理，则可以将问题简便解决。
2.3积分和随机变量函数
在数学分析中，积分概念是在对不规则面积、弧长和体积等问题的求证过程中产生的。在概率论中，连续性的随机变量函数包括分布律、分布函数和概率密度，其中分布律与分布函数属于求和关系；分布律与概率密度属于积分关系；分布函数与概率密度属于原函数和积分函数的关系。当然，要想以上关系成立，前提是随机函数属于连续的随机变量，所以，数学分析中的积分关系同概率论当中的随机变量函数之间存在着密切的联系[5]。另外，数学分析中部分无法计算的积分，也可以通过概率论当中的密度函数理论计算出来。
结论：
总而言之，通过以上的研究分析可以发现，在数学领域，数学分析和概率论二者是不可分割的，二者的发展都需要先进数学技术和理论来推动。同时，随着数学技术的不断发展，二者所影响的领域也会随之增加，并且解决问题的范围也会随之扩大。另外，由研究可以发现，数学分析属于概率论的基础性理论，能够有效地推动概率论的发展；概率论属于解决问题的一项理论，无论怎样的数学分析问题，它都可以通过随机性的方法对其进行有效的解决。
参考文献：
[1]刘幸东，谢彦君.论数学分析与概率论的相互关系[J].贵州师范学院学报，2011，03：16-19.
[2]张鑫.概率论公理化进程的历史研究[D].山东大学，2012.
[3]杨静，徐传胜.数学技术与概率论的发展[J].太原理工大学学报（社会科学版），2008，01：49-54.
[4]王胜青.新课改背景下的师专“概率论与数理统计”教学研究[D].西北师范大学，2004.
[5]王彬，林静.论数学统一性在概率论教学中的应用[J].教育教学论坛，2014，24：75-76.
作者简介：籍琳（1993-），女，山西运城人，信息与计算科学专业。
关键词：数学分析；概率论；相互关系
引言
作为数学的两大分支，数学分析和概率论都有其自身的特点，其中数学分析属于典型的确定性数学，而概率论则是代表着随机性数学，所以，一直以来，二者的研究方向都是不同的。虽然受二者特性的影响，数学分析和概率论的发展方向大相径庭，但是由于二者同属数学领域，所以二者在研究和发展的过程还有着紧密结合的关系。其具体表现在：数学分析的不断发展可以为概率论的发展奠定坚实的基础，而概率论的随机性与反因果论也可以逐渐的渗透到数学分析中，并推动数学分析的不断发展。因此，对二者的关系进行研究和分析，对于解决二者在发展过程中遇到的问题具有较高的现实意义。
1.数学分析在概率论中的渗透
在上个世纪九十年代初期，苏俄著名的数学家就以测度论和集合论为基础，导入了概率论中的公理化体系，使得概率论得以快速的发展，在其发展的过程中，我们也可以看到数学分析的影子。
1.1集合论和概率论公理化体系
一般来讲，数学这门理论的研究对象都是带有某种结构或者是特性的集合体，所以，集合论也是整个数学理论的体系基础。数学中的集合论是在十九世纪严密的数学分析中被提炼出来的，并在之后的发展过程中与测度论相结合，成为了当前概率论中的公理化梯子。由此看来，这就是数学分析对概率论发展的一项巨大推动。另外，在数学分析中，积分的形式主要有勒贝尔积分和黎曼积分两种[1]。其中，黎曼积分是最先出现的，它在处理一些性质十分良好的函数时比较顺利，但当它遇到一些级数、积分、多元函数和极限交换的次序较多等比较难的数学问题时，处理起来便十分的困难。然而，随着勒贝尔积分的出现，黎曼积分中的难题也随之迎刃而解，数学理论中微积分理论也进化到了属于实变函数论的一个新阶段。与此同时，构成概率论公理化体系的集合论和测度论也得到了新的发展，二者间概率的相似性已经逐渐的显现了出来，关系被逐渐的确立下来，这就使得概率论的公理化体系建设更加坚实和科学。
1.2特征函数和傅立叶变换
在数学分析中，傅立叶级数、傅立叶积分和傅立叶变换等都是十分有效的问题分析工具，在数学分析这一领域中占据着重要的地位，同时也在这一领域发挥了重要的作用。另外，傅立叶级数、傅立叶积分和傅立叶变换也随着数学分析的发展渗透到了概率论的领域当中，其中，将傅立叶变换运用到分布函数或者密度函数之中，就会产生我们所说的“特征函数”。当“特征函数”出现时，便会提高对独立随机变量与随机变量序列两大数学问题的处理效率，是问题处理的更加简捷。
1.3雅克比行列式和随机变量函数分布
在数学分析之中，我们平时经常会接触到的函数通常都属于显函数，但在数学函数这一领域中，除了显函数之外，还常常会遇到另一种类型的函数，即：隐函数，特别是其中的隐函数组，遇见率更高。为了证实隐函数组这一函数类型是真实存在的，德国著名的数学家雅克比便在偏微分的方程式中，对隐函数组的存在进行了深入研究，并引入了我们所说的“雅克比行列式”来解决这一问题。同样如此，在数学理论的概率论中，应用“雅克比行列式”，可以有效的解决许多概率论当中的多维随机变量中函数的概率分布问题[2]。
1.4同阶数量级和极限定理
在数学问题中概率论研究的核心问题往往都是大数定律和中心极限定理，二者也是数理统计的基础性理论。在数学领域中，一方面，由于二者讨论的都是随机变量序列中的极限问题，所以属于概率论的领域；另一方面，由于二者研究的方向也与数学分析中包含的数列极限和函数极限相似度较高，并且存在着密切的联系。由此看来，数学分析中提出的同阶数量级也可以解决概率论中的大数定律和中心极限定理，因此，数学分析理论是概率论发展的基础。
1.5随机变量、分布函数和函数
函数作为数学分析中最基本的一项概念，在被引入到概率论的领域中后，它把概率论中的大多数问题都赋予了简化处理的能力，推动概率论进入了一个新的发展阶段。作为概率论中两个十分重要的理论概念，随机变量与分布函数也都属于函数的概念范畴，其中，随机变量X属于函数类别中的集函数，而分布函数则属于实函数[3]。在此对应关系下，由随机函数引发的随机事件，在概率论先被简化，然后再进行集合，最后被转变为实数，并随着样本空间的变化而变成书籍，此时，概率相应的集函数便被约化成为实函数。而分布函数则具有：单调有界、处处可导、可积、处处联系的优势。因此，将随机变量和分布函数导入到概率论当中，可以快速的结束概率论的古典时代，促进概率论公理化和体系化发展，并为其发展提供源源不断的动力。
2.数学分析中概率论的应用
从以上研究分析中可以发现，经过数学分析理论在概率论中不断的渗透，推动力概率论的快速发展。与此同时，概率论自身带有的随机性特点，也使得数学分析中的部分确定性的比较困难的问题得到了高效、简化、便捷的解决。
2.1不等式和数学期望
在数学分析中，不等式属于一项重要的内容，在数学分析领域十分常见，并且也是比较难解决的数学问题之一。一般情况下，数学分析中的不等式主要有级数不等式和积分不等式两大类。虽然数学分析中有许多的方法可以解决这两类不等式问题，但是每一种方式的解决过程都十分的复杂，不容易证明，一旦中间某个部分出现差错，则会对结果产生直接的影响。但是，如果利用概率论中的数学期望性质来解决数学分析中的不等式问题，则会充分的简化证明过程，从而使简化解决方式和证明过程。 2.2数学分析中中心极限定理的作用
概率论中的中心极限定理主要分为四大类，这些定理的提出与建立，不仅为概率论的发展提供了广阔的发展前景，还将
概率论和数学分析密切的联系了起来[4]。在数学分析中，极限是其进行问题分析的前提，在数学分析的微积分中，所有重要的概念和解决方法都是围绕着极限展开的，其中，部分构成比较复杂的极限问题，如果单纯的使用数学分析的方法，是无法计算的，但是如果引入概率论中的中心极限定理，则可以将问题简便解决。
2.3积分和随机变量函数
在数学分析中，积分概念是在对不规则面积、弧长和体积等问题的求证过程中产生的。在概率论中，连续性的随机变量函数包括分布律、分布函数和概率密度，其中分布律与分布函数属于求和关系；分布律与概率密度属于积分关系；分布函数与概率密度属于原函数和积分函数的关系。当然，要想以上关系成立，前提是随机函数属于连续的随机变量，所以，数学分析中的积分关系同概率论当中的随机变量函数之间存在着密切的联系[5]。另外，数学分析中部分无法计算的积分，也可以通过概率论当中的密度函数理论计算出来。
结论：
总而言之，通过以上的研究分析可以发现，在数学领域，数学分析和概率论二者是不可分割的，二者的发展都需要先进数学技术和理论来推动。同时，随着数学技术的不断发展，二者所影响的领域也会随之增加，并且解决问题的范围也会随之扩大。另外，由研究可以发现，数学分析属于概率论的基础性理论，能够有效地推动概率论的发展；概率论属于解决问题的一项理论，无论怎样的数学分析问题，它都可以通过随机性的方法对其进行有效的解决。
参考文献：
[1]刘幸东，谢彦君.论数学分析与概率论的相互关系[J].贵州师范学院学报，2011，03：16-19.
[2]张鑫.概率论公理化进程的历史研究[D].山东大学，2012.
[3]杨静，徐传胜.数学技术与概率论的发展[J].太原理工大学学报（社会科学版），2008，01：49-54.
[4]王胜青.新课改背景下的师专“概率论与数理统计”教学研究[D].西北师范大学，2004.
[5]王彬，林静.论数学统一性在概率论教学中的应用[J].教育教学论坛，2014，24：75-76.
作者简介：籍琳（1993-），女，山西运城人，信息与计算科学专业。