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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.本卷满分150分，考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1.已知全集U={1，2，3，4，5}， 集合M={3，4，5}，N={1，2，5}， 则集合{1，2}可以表示为（ ）.
A.M∩N B.（
2.已知i为虚数单位，a∈R，若2-ia+i为纯虚数，则复数z=（2a+1）+2i的模为（ ）.
A.2 B.3 C.6 D. 11
3.已知平面向量a，b夹角为π6，且a·（a+b）=6，|a|=3，则|b|等于（ ）.
A.3 B.23 C.233 D. 2
4.已知等比数列{an}的各项都是正数，且a1，12a3，2a2成等差数列，则a9+a10a7+a8=（ ）.
A.2 B.3-22 C.3+22 D. 3
5.等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），则f ′（0）=（ ）.
A.26 B.29 C.212 D.215
6.已知一个算法的程序框图如图1所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（ ）.
图1
A.-1或1
B.-1或0
C.-2或0
D.-2或1
7.已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是（ ）.
图28.已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为C，点P是直线l：mx-y-5m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，则实数m的取值范围为（ ）.
A.[-1，1] B.[-2，2]
C.[3-34，3+34]D. [0，125]
9.已知变量x，y满足条件x-y≤0
3x-y-2≥0
x+y-6≥0，则目标函数z=2x+y（ ）.
A.有最小值3，最大值9
B.有最小值9，无最大值
C.有最小值8，无最大值
D.有最小值3，最大值8
10.已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（1-x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）-log5x的零点个数是（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.6
11.已知函数f（x）=2x （x≥2）
（x-1）3（x<2）若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）.
A.（0，1） B.（1，+∞）
C.（-1，0） D.（-∞，-1）
12.在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若a为无理数，则在过点P（a，-1/2）的所有直线中（ ）.
A.有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B.恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C.有且仅有一条直线至少过两个有理点
D.每条直线至多过一个有理点
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～24题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）
13.已知函数f（x）=2xx-1，则在点（2，f（2））处的切线方程为.
14. 已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为.
15.已知数列{an}满足an+2-2an+1+an=0（n∈N*），且a2=6，a6=-2，则数列{an}的前9项和S9=
16.在△ABC中，若角A为锐角，且AB=（2，3），AC=（3，m），则实数m的取值范围是
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=π3.
（Ⅰ） 若△ABC的面积等于3，求a，b；
（Ⅱ） 若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求A的值.
18.（本小题满分12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100].图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
图3（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m-n|>10”的概率.
图419.（本小题满分12分）如图4，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6.
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）求凸多面体ABCDE的体积.
20.（本小题满分12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，它的顶点构成的四边形面积为4.过点（m，0）做x2+y2=b2的切线l交椭圆C于A、B两点. （1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值.
21. （本小题满分12分）已知a∈R，函数f（x）=ax+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）.
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（0，e]上的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？ 若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.
图522.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图5，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C.
（1）求证：PA=PC；
（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：x=t
y=2+2t （t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的12，再将所得的曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-a|+1，a∈R
（1）当a=4时，解不等式f（x）<1+|2x+1|
（2）若f（x）≤2的解集为[0，2]，1m+1n=a（m>0，n>0）求证：m+2n≥3+22.
2016年高考模拟试卷答案
一、选择题
1.B 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.C
8.D 9.C 10.B 11.A 12.C
二、填空题
13.y=-2x+8 14.x2+（y-1）2=8
15.0 16.（-2，92）∪（92，+∞）
三、解答题
17. 解 （Ⅰ）根据三角形面积公式可知：S=3=12absinC=12ab32推得ab=4；
又根据余弦定理可知：cosC=12=a2+b2-c22ab=a2+b2-48推得a2+b2=8.
综上可得a=b=2.
（Ⅱ）sinC+sin（B-A）=2sin2A，
∴sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA
sinBcosA=2sinAcosA
当cosA=0时，A=π2
当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
联立a2+b2-ab=4
b=2a，得a=233，b=433，
∴b2=a2+c2，∵C=π3，∴A=π6，
综上A=π2或A=π6.
解二 sinC+sin（B-A）=2sin2A，
∴sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA
即sinBcosA=2sinAcosA
当cosA=0时，A=π2
当cosA≠0时，
2sinA=sinB=sin（23π-A）=32cosA+12sinA，
∴32sinA-32cosA=0
∴3sin（A-π6）=0，
∵0 ∴A-π6=0即A=π6.
综上A=π2或A=π6.
18. 解 （Ⅰ）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.018+0.040）=29.
所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人.
（Ⅱ）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x、y，成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况， 若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况， 若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有
共有6种情况，所以基本事件总数为10种， 事件“|m-n|>10”所包含的基本事件个数有6种.
∴P（|m-n|>10）=610=35.
19.解答 （1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD平面CDE，∴AE⊥CD.
在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE.
∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.
（2）解 在Rt△ADE中，AE=3，AD=6，
∴DE=AD2-AE2=33.
过点E做EF⊥AD于点F，∵AB⊥平面ADE，EF平面ADE，∴EF⊥AB.
∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD.
∵AD·EF=AE·DE，
∴EF=AE·DEAD=3×336=332.
又正方形ABCD的面积SABCD=36，
∴VABCDE=VE-ABCD=13SABCD·EF=13×36×332=183.故所求凸多面体ABCDE的体积为183.
20. 解 （1）∵e=32，
∴e2=c2a2=34，c2=34a2 ①
又∵它的顶点构成的四边形面积为4，
∴12×a×b×4=4，∴ab=2
②
由①②解得a2=4，b2=1，∴椭圆方程为x24+y2=1.
（2）（Ⅱ）由题意知，|m|≥1，当m=1时，切线l的方程为x=1，点A、B的坐标分别为（1，32），（1，-32），此时|AB|=3；
当m=-1时，同理可得|AB|=3；
当|m|>1时，设切线l的方程为y=k（x-m），
由y=k（x-m）
x24+y2=1，得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0，
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
则x1+x2=8k2m1+4k2，x1x2=4k2m2-41+4k2
又由l与圆x2+y2=1相切，得|km|k2+1=1，即m2k2=k2+1，
所以|AB|=（x2-x1）2+（y2-y1）2
= （1+k2）[64k4m2（1+4k2）2-4（4k2m2-4）1+4k2]=43|m|m2+3
由于当m=±1时，|AB|=3
所以，|AB|=43|m|m2+3，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）
因为|AB|=43|m|m2+3≤2且m=±3时|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
∴S△OAB的最大值为12×2×1=1.
21. 解 （1）∵f（x）=ax+lnx-1，∴f ′（x）=-ax2+1x=x-ax2.
令f ′（x）=0，得x=a.
①若a≤0，则f ′（x）>0，f（x）在区间（0，e]上单调递增.
②若0 当x∈（a，e]时，f ′（x）>0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，
③若a≥e，则f ′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减.
（2）∵g（x）=（lnx-1）ex+x，x∈（0，e]，g′（x）=（lnx-1）′ex+（lnx-1）（ex）′+1=exx+（lnx-1）ex+1=（1x+lnx-1）ex+1.由（1）可知，当a=1时，f（x）=1x+lnx-1.
此时f（x）在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，即1x+lnx-1≥0.
当x0∈（0，e]，ex0>0，1x0+lnx0-1≥0，∴g′（x0）=（1x0+lnx0-1）ex0+1≥1>0.
曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x0）=0有实数解. 而g′（x0）>0，即方程g′（x0）=0无实数解.
故不存在x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在x=x0处的切线与y轴垂直.
图622.解 （1）证明：连接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA.
∵PA与圆O相切于点A，∴∠OAP=90°.
∴∠PAC=90°-∠OAB，∵OB⊥OP，
∴∠BCO=90°-∠OBA.∴∠BCO=∠PAC.
又∵∠BCO=∠PCA，∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC.
（2）假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N.
∵PA与圆O相切于点A，PN是圆O的割线，
∴PA2=PM·PN=（PO-OM）·（PO+ON）.
∵PO=5，OM=ON=3，PA2=（5-3）×（5+3）=16.∴PA=4.
由（1）知PC=PA=4.∴OC=1.在Rt△OAP中，cos∠AOP=OAOP=35.
AC2=OA2+OC2-2·OA·OC·cos∠AOP=9+1-2×3×1×35=325.
∴AC=325=4105.
23. 解 （1）直线l的普通方程为y=2x+2；曲线C的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4.
（2）由已知：C1方程为：
x2+y24=1，
设M（cosθ，2sinθ）为曲线C1上任意一点，M到直线l：2x-y+2=0的距离为
d=|2cosθ-2sinθ+2|5
=|22cos（θ+π4）+2|5.
∴当cos（θ+π4）=1时：
dmax=325=3105.
24. 解 （1）当a=4时，不等式f（x）<1+|2x+1|即为|x-4|<|2x+1|
①x≥4时，原不等式化为x-4<2x+1，得x>-5，故x≥4；
②-12≤x<4时，原不等式化为4-x<2x+1，得x>1，故1 ③x<-12时，原不等式化为4-x<-2x-1，得x<-5，故x<-5.
综合①、②、③知，原不等式的解集为（-∞，-5）∪（1，+∞）；
（2）证明：由f（x）≤2得|x-a|≤1，从而-1+a≤x≤1+a，
∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，
∴-1+a=0
1+a=2得a=1，∴1m+1n=a=1.
又m>0，n>0，
∴m+2n=（m+2n）（1m+1n）=3+（2nm+mn）≥3+22，
当且仅当m=1+2，n=1+22时，取等号，故m+2n≥3+22，得证.
（收稿日期：2015-12-12）m2+1·m+2m2+2m2+2
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1.已知全集U={1，2，3，4，5}， 集合M={3，4，5}，N={1，2，5}， 则集合{1，2}可以表示为（ ）.
A.M∩N B.（
2.已知i为虚数单位，a∈R，若2-ia+i为纯虚数，则复数z=（2a+1）+2i的模为（ ）.
A.2 B.3 C.6 D. 11
3.已知平面向量a，b夹角为π6，且a·（a+b）=6，|a|=3，则|b|等于（ ）.
A.3 B.23 C.233 D. 2
4.已知等比数列{an}的各项都是正数，且a1，12a3，2a2成等差数列，则a9+a10a7+a8=（ ）.
A.2 B.3-22 C.3+22 D. 3
5.等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），则f ′（0）=（ ）.
A.26 B.29 C.212 D.215
6.已知一个算法的程序框图如图1所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（ ）.
图1
A.-1或1
B.-1或0
C.-2或0
D.-2或1
7.已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是（ ）.
图28.已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为C，点P是直线l：mx-y-5m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，则实数m的取值范围为（ ）.
A.[-1，1] B.[-2，2]
C.[3-34，3+34]D. [0，125]
9.已知变量x，y满足条件x-y≤0
3x-y-2≥0
x+y-6≥0，则目标函数z=2x+y（ ）.
A.有最小值3，最大值9
B.有最小值9，无最大值
C.有最小值8，无最大值
D.有最小值3，最大值8
10.已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（1-x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）-log5x的零点个数是（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.6
11.已知函数f（x）=2x （x≥2）
（x-1）3（x<2）若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）.
A.（0，1） B.（1，+∞）
C.（-1，0） D.（-∞，-1）
12.在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若a为无理数，则在过点P（a，-1/2）的所有直线中（ ）.
A.有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B.恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C.有且仅有一条直线至少过两个有理点
D.每条直线至多过一个有理点
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～24题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）
13.已知函数f（x）=2xx-1，则在点（2，f（2））处的切线方程为.
14. 已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为.
15.已知数列{an}满足an+2-2an+1+an=0（n∈N*），且a2=6，a6=-2，则数列{an}的前9项和S9=
16.在△ABC中，若角A为锐角，且AB=（2，3），AC=（3，m），则实数m的取值范围是
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=π3.
（Ⅰ） 若△ABC的面积等于3，求a，b；
（Ⅱ） 若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求A的值.
18.（本小题满分12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100].图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
图3（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m-n|>10”的概率.
图419.（本小题满分12分）如图4，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6.
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）求凸多面体ABCDE的体积.
20.（本小题满分12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，它的顶点构成的四边形面积为4.过点（m，0）做x2+y2=b2的切线l交椭圆C于A、B两点. （1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值.
21. （本小题满分12分）已知a∈R，函数f（x）=ax+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）.
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（0，e]上的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？ 若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.
图522.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图5，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C.
（1）求证：PA=PC；
（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：x=t
y=2+2t （t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的12，再将所得的曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-a|+1，a∈R
（1）当a=4时，解不等式f（x）<1+|2x+1|
（2）若f（x）≤2的解集为[0，2]，1m+1n=a（m>0，n>0）求证：m+2n≥3+22.
2016年高考模拟试卷答案
一、选择题
1.B 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.C
8.D 9.C 10.B 11.A 12.C
二、填空题
13.y=-2x+8 14.x2+（y-1）2=8
15.0 16.（-2，92）∪（92，+∞）
三、解答题
17. 解 （Ⅰ）根据三角形面积公式可知：S=3=12absinC=12ab32推得ab=4；
又根据余弦定理可知：cosC=12=a2+b2-c22ab=a2+b2-48推得a2+b2=8.
综上可得a=b=2.
（Ⅱ）sinC+sin（B-A）=2sin2A，
∴sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA
sinBcosA=2sinAcosA
当cosA=0时，A=π2
当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
联立a2+b2-ab=4
b=2a，得a=233，b=433，
∴b2=a2+c2，∵C=π3，∴A=π6，
综上A=π2或A=π6.
解二 sinC+sin（B-A）=2sin2A，
∴sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA
即sinBcosA=2sinAcosA
当cosA=0时，A=π2
当cosA≠0时，
2sinA=sinB=sin（23π-A）=32cosA+12sinA，
∴32sinA-32cosA=0
∴3sin（A-π6）=0，
∵0
综上A=π2或A=π6.
18. 解 （Ⅰ）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.018+0.040）=29.
所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人.
（Ⅱ）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x、y，成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况， 若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况， 若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有
共有6种情况，所以基本事件总数为10种， 事件“|m-n|>10”所包含的基本事件个数有6种.
∴P（|m-n|>10）=610=35.
19.解答 （1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD平面CDE，∴AE⊥CD.
在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE.
∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.
（2）解 在Rt△ADE中，AE=3，AD=6，
∴DE=AD2-AE2=33.
过点E做EF⊥AD于点F，∵AB⊥平面ADE，EF平面ADE，∴EF⊥AB.
∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD.
∵AD·EF=AE·DE，
∴EF=AE·DEAD=3×336=332.
又正方形ABCD的面积SABCD=36，
∴VABCDE=VE-ABCD=13SABCD·EF=13×36×332=183.故所求凸多面体ABCDE的体积为183.
20. 解 （1）∵e=32，
∴e2=c2a2=34，c2=34a2 ①
又∵它的顶点构成的四边形面积为4，
∴12×a×b×4=4，∴ab=2
②
由①②解得a2=4，b2=1，∴椭圆方程为x24+y2=1.
（2）（Ⅱ）由题意知，|m|≥1，当m=1时，切线l的方程为x=1，点A、B的坐标分别为（1，32），（1，-32），此时|AB|=3；
当m=-1时，同理可得|AB|=3；
当|m|>1时，设切线l的方程为y=k（x-m），
由y=k（x-m）
x24+y2=1，得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0，
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
则x1+x2=8k2m1+4k2，x1x2=4k2m2-41+4k2
又由l与圆x2+y2=1相切，得|km|k2+1=1，即m2k2=k2+1，
所以|AB|=（x2-x1）2+（y2-y1）2
= （1+k2）[64k4m2（1+4k2）2-4（4k2m2-4）1+4k2]=43|m|m2+3
由于当m=±1时，|AB|=3
所以，|AB|=43|m|m2+3，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）
因为|AB|=43|m|m2+3≤2且m=±3时|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
∴S△OAB的最大值为12×2×1=1.
21. 解 （1）∵f（x）=ax+lnx-1，∴f ′（x）=-ax2+1x=x-ax2.
令f ′（x）=0，得x=a.
①若a≤0，则f ′（x）>0，f（x）在区间（0，e]上单调递增.
②若0
③若a≥e，则f ′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减.
（2）∵g（x）=（lnx-1）ex+x，x∈（0，e]，g′（x）=（lnx-1）′ex+（lnx-1）（ex）′+1=exx+（lnx-1）ex+1=（1x+lnx-1）ex+1.由（1）可知，当a=1时，f（x）=1x+lnx-1.
此时f（x）在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，即1x+lnx-1≥0.
当x0∈（0，e]，ex0>0，1x0+lnx0-1≥0，∴g′（x0）=（1x0+lnx0-1）ex0+1≥1>0.
曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x0）=0有实数解. 而g′（x0）>0，即方程g′（x0）=0无实数解.
故不存在x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在x=x0处的切线与y轴垂直.
图622.解 （1）证明：连接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA.
∵PA与圆O相切于点A，∴∠OAP=90°.
∴∠PAC=90°-∠OAB，∵OB⊥OP，
∴∠BCO=90°-∠OBA.∴∠BCO=∠PAC.
又∵∠BCO=∠PCA，∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC.
（2）假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N.
∵PA与圆O相切于点A，PN是圆O的割线，
∴PA2=PM·PN=（PO-OM）·（PO+ON）.
∵PO=5，OM=ON=3，PA2=（5-3）×（5+3）=16.∴PA=4.
由（1）知PC=PA=4.∴OC=1.在Rt△OAP中，cos∠AOP=OAOP=35.
AC2=OA2+OC2-2·OA·OC·cos∠AOP=9+1-2×3×1×35=325.
∴AC=325=4105.
23. 解 （1）直线l的普通方程为y=2x+2；曲线C的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4.
（2）由已知：C1方程为：
x2+y24=1，
设M（cosθ，2sinθ）为曲线C1上任意一点，M到直线l：2x-y+2=0的距离为
d=|2cosθ-2sinθ+2|5
=|22cos（θ+π4）+2|5.
∴当cos（θ+π4）=1时：
dmax=325=3105.
24. 解 （1）当a=4时，不等式f（x）<1+|2x+1|即为|x-4|<|2x+1|
①x≥4时，原不等式化为x-4<2x+1，得x>-5，故x≥4；
②-12≤x<4时，原不等式化为4-x<2x+1，得x>1，故1
综合①、②、③知，原不等式的解集为（-∞，-5）∪（1，+∞）；
（2）证明：由f（x）≤2得|x-a|≤1，从而-1+a≤x≤1+a，
∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，
∴-1+a=0
1+a=2得a=1，∴1m+1n=a=1.
又m>0，n>0，
∴m+2n=（m+2n）（1m+1n）=3+（2nm+mn）≥3+22，
当且仅当m=1+2，n=1+22时，取等号，故m+2n≥3+22，得证.
（收稿日期：2015-12-12）m2+1·m+2m2+2m2+2