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勾股定理是继三角形三边关系之后用来描述特殊三角形三边关系的又一个重要的结论.它揭示了直角三角形三边长的内在联系,也为我们利用代数方法来研究几何图形提供了新的途径和方法.但是,在实际解题过程中,有些同学常常因为使用不当等原因造成错误,现归纳总结如下,帮助同学们走出误区.
一、审题不仔细
在直角三角形中,已知两边求第三边,如果没有分清直角边和斜边,错误地运用勾股定理就会造成漏解.
例1在Rt△ABC中,两边长分别为a=3cm,b=4cm,求第三边的长度.
错解:设的三边的长度为c,由勾股定理得,c==5.
错因分析:受思维定式的影响,认为直角三角形的两边为3和4时,第三边一定为5.而本题并未说明哪条是直角边哪条是斜边,所以要分类讨论.
正解:(1)当a、b为两直角边时, c为斜边, c==5 ;
(2)当b为斜边,a为直角边时, c为直角边, c==.
所以c 的长为5cm或cm.
例2在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且(a+b)(a-b)=c2,则().
A.∠A为直角B.∠C为直角
C.∠B为直角D.不是直角三角形
错解:B.
错因分析:习惯性地认为边c的对角∠C一定是直角.本题中的条件应转化为a2-b2=c2,即a2=b2+c2.
正解:∵a2-b2=c2,∴a2=b2+c2.
∴ a边所对的角∠A为直角. 故选A.
二、对题意理解不透
有的几何题并没有直接给出图形,我们应尽量画出图形,这样就可以有效地避免对问题考虑不全的情况发生,从而造成漏解的情况.
例3为美化环境,计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块边长为10m的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.
错解:如图1,设AB=10m,过点C作AB的垂直平分线交AB于D.
当AB为底边时,AD=DB=5m,因为S△ABC=•AB•CD=30,所以CD=6m,所以BC=AC== .等腰三角形绿地的另两边长为m.
错因分析:上述解法虽然进行了分类计算,却漏掉了两种情况:
(1)如图2,当AB为腰且三角形为锐角三角形时,AC=AB=10m,所以AD==8m,所以BD=2m,CB=2.
所以,等腰三角形绿地的另外两边长为10m,
2m.
(2)如图3,当AB为腰且三角形为钝角三角形时,AB=BC=10m,AD=AB+BD=18m,所以AC==6m.所以等腰三角形绿地的另两边长为10m,6m.
例4在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,求△ABC的周长.
错解:如图4,根据勾股定理,
BD2=AB2-AD2=132-122=25,
CD2=AC2-AD2=152-122=81,
∴BD=5,CD=9,BC=BD+CD=5+9=14.
此时,△ABC的周长为AB+BC+AC=13+14+15=42.
错因分析:△ABC可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.错解只考虑了△ABC是锐角三角形的情况而忽视了另一种情况.
正解:当△ABC是锐角三角形时,解法如上.
当△ABC是钝角三角形时,如图5,根据勾股定理,BD2=AB2-AD2=132-122=25,CD2=AC2-AD2=152-122=81,所以BD=5,CD=9,BC=CD-BD=9-5=4.此时△ABC的周长为AB+AC+BC=13+4+15=32,所以△ABC的周长为42或32.
三、忽视边角间的关系
勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的,我们在做题的时候一定要正确区分直角边和斜边,掌握三角形边角之间的对应关系.
例5已知一个三角形的三边长a=5,b=13,c=12,这个三角形是直角三角形吗?
错解:不是.在三角形中,利用勾股定理,a2+b2=194,c2=144. a2+b2≠c2,因此三角形不是直角三角形.
错因分析:虽然 a2+b2≠c2,但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形.首先分析三个边,边长最长的应为斜边,即b为斜边,b2=169,a2+c2=25+144=169,即a2+c2=b2,所以此三角形为直角三角形.
正解:是直角三角形.
例6在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,则AB2=________.
错解:在Rt△ABC中,利用勾股定理得,AB2=AC2+BC2=225.
错因分析:没有判定AB是直角边还是斜边,只是模糊地记住了勾股定理的原形,而没有注意到题目中并没有给出明确的条件.应分情况讨论:
(1)如果AB是斜边,利用勾股定理得,AB2=AC2+BC2=225;
(2)如果AB是直角边,因为BC>AC,所以BC为斜边,利用勾股定理得,AB2=BC2-AC2=63.
所以 AB2为225或63.
正解:225或63.
综上,运用勾股定理解题时,应注意:1.勾股定理的使用条件,即三角形必须是直角三角形;2.找准斜边和直角边,避免思维定式,防止因思考片面而造成的漏解或错解;3.注意勾股定理的变形使用.如a2+b2=c2可变形为a2=c2-b2,c2-a2=b2等;4.能够由实际问题构建直角三角形模型.
运用勾股定理的逆定理时,应注意用三角形较小两边的平方和(a2+b2)与最大边的平方(c2)作比较,看它们是否满足a2+b2=c2,若满足,该三角形是直角三角形,否则不是直角三角形.
一、审题不仔细
在直角三角形中,已知两边求第三边,如果没有分清直角边和斜边,错误地运用勾股定理就会造成漏解.
例1在Rt△ABC中,两边长分别为a=3cm,b=4cm,求第三边的长度.
错解:设的三边的长度为c,由勾股定理得,c==5.
错因分析:受思维定式的影响,认为直角三角形的两边为3和4时,第三边一定为5.而本题并未说明哪条是直角边哪条是斜边,所以要分类讨论.
正解:(1)当a、b为两直角边时, c为斜边, c==5 ;
(2)当b为斜边,a为直角边时, c为直角边, c==.
所以c 的长为5cm或cm.
例2在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且(a+b)(a-b)=c2,则().
A.∠A为直角B.∠C为直角
C.∠B为直角D.不是直角三角形
错解:B.
错因分析:习惯性地认为边c的对角∠C一定是直角.本题中的条件应转化为a2-b2=c2,即a2=b2+c2.
正解:∵a2-b2=c2,∴a2=b2+c2.
∴ a边所对的角∠A为直角. 故选A.
二、对题意理解不透
有的几何题并没有直接给出图形,我们应尽量画出图形,这样就可以有效地避免对问题考虑不全的情况发生,从而造成漏解的情况.
例3为美化环境,计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块边长为10m的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.
错解:如图1,设AB=10m,过点C作AB的垂直平分线交AB于D.
当AB为底边时,AD=DB=5m,因为S△ABC=•AB•CD=30,所以CD=6m,所以BC=AC== .等腰三角形绿地的另两边长为m.
错因分析:上述解法虽然进行了分类计算,却漏掉了两种情况:
(1)如图2,当AB为腰且三角形为锐角三角形时,AC=AB=10m,所以AD==8m,所以BD=2m,CB=2.
所以,等腰三角形绿地的另外两边长为10m,
2m.
(2)如图3,当AB为腰且三角形为钝角三角形时,AB=BC=10m,AD=AB+BD=18m,所以AC==6m.所以等腰三角形绿地的另两边长为10m,6m.
例4在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,求△ABC的周长.
错解:如图4,根据勾股定理,
BD2=AB2-AD2=132-122=25,
CD2=AC2-AD2=152-122=81,
∴BD=5,CD=9,BC=BD+CD=5+9=14.
此时,△ABC的周长为AB+BC+AC=13+14+15=42.
错因分析:△ABC可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.错解只考虑了△ABC是锐角三角形的情况而忽视了另一种情况.
正解:当△ABC是锐角三角形时,解法如上.
当△ABC是钝角三角形时,如图5,根据勾股定理,BD2=AB2-AD2=132-122=25,CD2=AC2-AD2=152-122=81,所以BD=5,CD=9,BC=CD-BD=9-5=4.此时△ABC的周长为AB+AC+BC=13+4+15=32,所以△ABC的周长为42或32.
三、忽视边角间的关系
勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的,我们在做题的时候一定要正确区分直角边和斜边,掌握三角形边角之间的对应关系.
例5已知一个三角形的三边长a=5,b=13,c=12,这个三角形是直角三角形吗?
错解:不是.在三角形中,利用勾股定理,a2+b2=194,c2=144. a2+b2≠c2,因此三角形不是直角三角形.
错因分析:虽然 a2+b2≠c2,但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形.首先分析三个边,边长最长的应为斜边,即b为斜边,b2=169,a2+c2=25+144=169,即a2+c2=b2,所以此三角形为直角三角形.
正解:是直角三角形.
例6在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,则AB2=________.
错解:在Rt△ABC中,利用勾股定理得,AB2=AC2+BC2=225.
错因分析:没有判定AB是直角边还是斜边,只是模糊地记住了勾股定理的原形,而没有注意到题目中并没有给出明确的条件.应分情况讨论:
(1)如果AB是斜边,利用勾股定理得,AB2=AC2+BC2=225;
(2)如果AB是直角边,因为BC>AC,所以BC为斜边,利用勾股定理得,AB2=BC2-AC2=63.
所以 AB2为225或63.
正解:225或63.
综上,运用勾股定理解题时,应注意:1.勾股定理的使用条件,即三角形必须是直角三角形;2.找准斜边和直角边,避免思维定式,防止因思考片面而造成的漏解或错解;3.注意勾股定理的变形使用.如a2+b2=c2可变形为a2=c2-b2,c2-a2=b2等;4.能够由实际问题构建直角三角形模型.
运用勾股定理的逆定理时,应注意用三角形较小两边的平方和(a2+b2)与最大边的平方(c2)作比较,看它们是否满足a2+b2=c2,若满足,该三角形是直角三角形,否则不是直角三角形.