论文部分内容阅读
向量作为沟通数和形的重要工具,是现代数学中的基本概念之一.用较少的课时，引入现代数学的一个重要知识，是适应时代发展对数学教学的需要，也是为学生提供一种重要的、有价值的数学工具，同时又创设了能促使学生从一种新角度来进行数学思维的情境，从而能更完整、更合理地构建学生的数学基本知识、基本技能.如何对本章进行教学呢?本文谈谈自己在本章教学后的一些看法,供大家参考.
本章概念及法则较多，与原学过的数的运算又不尽相同，围绕本章的重点及难点的教学，个人认为可以从处理好以下几个方面入手.
一、对“平面向量的实际背景及基本概念”的教学，应要求学生注意如下几点
1.向量是区别于数量的一种量，它由两个因素来确定——大小和方向，而数量只有大小没有方向，如力、位移、速度、加速度等都是向量.数量之间可以比较大小，而向量中由于方向不能比较大小，因此，对于向量来说，“大于”“小于”是没有意义的，即向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
2.向量在实际生活中应用很广泛，有些向量与其起点有关，如力是作用于一定点的向量；有些向量与其起点无关.由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以数学中我们只研究与起点无关的向量，即自由向量.当遇到与起点有关的向量时，可在一般原则下作特别处理（如平移向量）.
3.单位向量是模为1的向量，其坐标表示为e=(x,y)，x2+y2=1.
4.共线向量（也称平行向量），要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合.其中“共线”的含义不是平面几何中的“共线”含义.实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等（相等向量）；方向相同但模不等；方向相反但模相等（相反向量）；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
5.两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们相等.例如，a=b，就意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同.
由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点.由此可知，任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.这为以后用向量处理几何等问题带来方便.
6.零向量是模等于0的向量.它与数0是有区别的，其方向可看作任意，即课本中规定零向量与任意方向的向量平行.由于零向量的特殊性，在学习中应特别注意.
7.在数学研究中，往往用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.因此，也体现了数形结合的数学思想，为解决实际问题开拓了新天地.值得注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段.
二、对“平面向量的线性运算”教学中，要求学生注意以下几点
1.向量加法的两个法则中平行四边形法则在物理力学中已经很熟悉.三角形法则只要记住首尾相接这一做法就可以了，把用小写字母表示的向量用两个大写字母表示后，再作加法更便捷些.由于AB=-BA，把减法化为加法做更好.向量减法的实质是加法的逆运算，用有向线段表示，只要记住“连终点指向被减”就可以了.
2.当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不相同，且||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|；当a与b的方向相同时，向量a+b的方向与a，b的方向相同，且|a+b|=|a|+|b|；当a与b的方向相反，当|a|<|b|时，则a+b与b的方向相同，且|a+b|=|b|-|a|，当|a|>|b|时，则a+b与a的方向相同，且|a+b|=|a|-|b|.a-b的方向与大小，只要把-b看成上面的b就可以了.
3.以向量AB=a，AD=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线为AC=a+b，BD=b-a，DB=a-b，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该理解并记住.
4.数乘向量应注意当λ=0时，λa=0而不等于数0.当a=0时，λa=0.数乘可以把向量a的长度扩大（当|λ|>1时），也可以把向量a的长度缩短（当|λ|<1时），同时可以不改变向量a的方向（当λ>0时），也可以改变向量a的方向（当λ<0时）.实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算.比如λ+a，λ-a无法运算.
5.两个向量的和、差仍然是一个向量，数乘也仍然是一个向量.加、减、数乘都有其运算律，应注意这些运算律与数的运算律的联系与区别.
6.关于两向量共线的判定，请注意：如果两非零向量a，b，使a=λb(λ∈R)，那么a∥b；反之，如果向量平行，且b≠0，那么a=λb.这里的“反之”中，没有指出a是非零向量.这就是说a=0时，与λb的方向规定为平行.
三、“平面向量的基本定理及坐标表示”的教学，要求学生掌握
1.该定理为向量的坐标表示奠定了理论基础，当基底是e1，e2，且夹角为90°，|e1|=|e2|=1时，其中λ，μ即为向量的坐标.由于基底的方向和模各不相同，因此，可建立多种坐标系，为解决问题开拓了新的天地.
2.该定理另一层意思是可将任何一个向量在给出两个基底e1，e2的条件下进行分解.
将e1，e2，a平移到同一起点O，分别延长e1=OA，e2=OB，过C点分别作OA，OB的平行线，交OA，OB的延长线于M，N，则有OM=λOA，ON=μOB，可得到a=λe1+μe2.
3.由该定理知，任一个平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题.因此，向量是数学中证明命题有效工具之一.
4.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来，这样很多几何问题的证明就转化为学生熟知的数量的运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一.对于向量的坐标运算一定要让学生掌握.
5.要把点的坐标与向量的坐标区别开，相等的向量的坐标是相同的.而起点、终点坐标可以不同.如A(1,2)，B(3,4)，AB=(2,2)；C(-1,3)，D(1,5)，CD=(2,2).
四、在“平面向量的数量积”的教学中，要求学生注意向量运算的特征
1.理解向量夹角的概念，规定0≤θ≤π；认识向量数量积的几何意义是：一个向量的长度乘以另一个向量在其上的射影值.注意这个射影值可正可负可以为零.所以我们说向量的数量积的结果是一个实数，不是向量.它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定.
2.数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法集合律.
对于实数a,b,c，有(ab)c=a(bc)，但对于向量a,b,c，有(a•b)c≠a(b•c).这里因为(a•b)c表示一个与c共线的向量，而a(b•c)表示一个与a共线的向量，而c与a一般并不共线，所以(a•b)c≠a(b•c).
使用运算符号时，a•b中的“•”要有别于数的运算中的乘号及今后要学到的向量积.
3.“如果ab=0，那么a,b中至少有一个为零”在向量中不成立.在向量中，若a•b=0，可以推出以下四种情况：（1）a=0，b≠0；（2）a≠0，b=0；（3）a=0且b=0；（4）a≠0，b≠0且a⊥b.因此，a=0或b=0是a•b=0的充分不必要条件.
4.“实数a,b,c，由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.如：取|a|=1，|b|=22，a与b的夹角为45°，|c|=12，a与c的夹角为0°.显然a•b=a•c=12，但b≠c.
5.由于数量积的学习，一些比较灵活的题目开始出现，因此，对一些性质应牢牢掌握，如a2=|a|2，cosθ=a•b|a|•|b|，a•b=0a⊥b等，用它们可以解决有关的长度、角度、垂直的问题.
6.利用数量积可判断两个向量是否垂直，判断由向量围成的三角形类型.这些判断需在非零向量的前提下，也要注意逻辑推理过程.
7.由于引入坐标，向量的长度、两向量平行、垂直的条件也可以用坐标表示，求两向量夹角也可以用坐标表示：
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为夹角，则
|a|=x21+y21，
a∥bx1y2-x2y1=0，
a⊥bx1x2+y1y2=0，
cosθ=x1x2+y1y2x21+y21•x22+y22.
五、在“平面向量应用举例”的教学中，要求掌握平面向量作为工具解决实际问题
1.平面向量在平面几何中的应用：（1）证明线段相等、平行，常用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常用向量平行（共线）的条件，a∥bx1y2-x2y1=0；（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥bx1x2+y1y2=0；求夹角问题，常用夹角公式cosθ=x1x2+y1y2x21+y21•x22+y22.
2.平面向量在物理几何中的应用，主要解决：向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；向量在速度的分解与合成中的应用.
另外，在《平面向量》整章的教学中要贯穿数学思想方法的教学，数形结合的思想、分类讨论的思想与转化归纳的思想都是平面向量学习中的重要思想.
以上是我对《平面向量》的教学反刍，与同行探讨.
【参考文献】
［1］数学必修4教师教学参考（普通高中课程标准）.人民教育出版社.
［2］数学必修4（普通高中课程标准实验教科书）.人民教育出版社.
［3］吴汝龙.关于高中新教材《平面向量》的教学设想.江西：中学数学研究，2003（6）.
［4］韩相河，刘纾珮.平面向量.山东教育出版社,2001.
［5］孙丰良.平面向量.延边大学出版社，2002.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
本章概念及法则较多，与原学过的数的运算又不尽相同，围绕本章的重点及难点的教学，个人认为可以从处理好以下几个方面入手.
一、对“平面向量的实际背景及基本概念”的教学，应要求学生注意如下几点
1.向量是区别于数量的一种量，它由两个因素来确定——大小和方向，而数量只有大小没有方向，如力、位移、速度、加速度等都是向量.数量之间可以比较大小，而向量中由于方向不能比较大小，因此，对于向量来说，“大于”“小于”是没有意义的，即向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
2.向量在实际生活中应用很广泛，有些向量与其起点有关，如力是作用于一定点的向量；有些向量与其起点无关.由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以数学中我们只研究与起点无关的向量，即自由向量.当遇到与起点有关的向量时，可在一般原则下作特别处理（如平移向量）.
3.单位向量是模为1的向量，其坐标表示为e=(x,y)，x2+y2=1.
4.共线向量（也称平行向量），要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合.其中“共线”的含义不是平面几何中的“共线”含义.实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等（相等向量）；方向相同但模不等；方向相反但模相等（相反向量）；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
5.两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们相等.例如，a=b，就意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同.
由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点.由此可知，任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.这为以后用向量处理几何等问题带来方便.
6.零向量是模等于0的向量.它与数0是有区别的，其方向可看作任意，即课本中规定零向量与任意方向的向量平行.由于零向量的特殊性，在学习中应特别注意.
7.在数学研究中，往往用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.因此，也体现了数形结合的数学思想，为解决实际问题开拓了新天地.值得注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段.
二、对“平面向量的线性运算”教学中，要求学生注意以下几点
1.向量加法的两个法则中平行四边形法则在物理力学中已经很熟悉.三角形法则只要记住首尾相接这一做法就可以了，把用小写字母表示的向量用两个大写字母表示后，再作加法更便捷些.由于AB=-BA，把减法化为加法做更好.向量减法的实质是加法的逆运算，用有向线段表示，只要记住“连终点指向被减”就可以了.
2.当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不相同，且||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|；当a与b的方向相同时，向量a+b的方向与a，b的方向相同，且|a+b|=|a|+|b|；当a与b的方向相反，当|a|<|b|时，则a+b与b的方向相同，且|a+b|=|b|-|a|，当|a|>|b|时，则a+b与a的方向相同，且|a+b|=|a|-|b|.a-b的方向与大小，只要把-b看成上面的b就可以了.
3.以向量AB=a，AD=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线为AC=a+b，BD=b-a，DB=a-b，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该理解并记住.
4.数乘向量应注意当λ=0时，λa=0而不等于数0.当a=0时，λa=0.数乘可以把向量a的长度扩大（当|λ|>1时），也可以把向量a的长度缩短（当|λ|<1时），同时可以不改变向量a的方向（当λ>0时），也可以改变向量a的方向（当λ<0时）.实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算.比如λ+a，λ-a无法运算.
5.两个向量的和、差仍然是一个向量，数乘也仍然是一个向量.加、减、数乘都有其运算律，应注意这些运算律与数的运算律的联系与区别.
6.关于两向量共线的判定，请注意：如果两非零向量a，b，使a=λb(λ∈R)，那么a∥b；反之，如果向量平行，且b≠0，那么a=λb.这里的“反之”中，没有指出a是非零向量.这就是说a=0时，与λb的方向规定为平行.
三、“平面向量的基本定理及坐标表示”的教学，要求学生掌握
1.该定理为向量的坐标表示奠定了理论基础，当基底是e1，e2，且夹角为90°，|e1|=|e2|=1时，其中λ，μ即为向量的坐标.由于基底的方向和模各不相同，因此，可建立多种坐标系，为解决问题开拓了新的天地.
2.该定理另一层意思是可将任何一个向量在给出两个基底e1，e2的条件下进行分解.
将e1，e2，a平移到同一起点O，分别延长e1=OA，e2=OB，过C点分别作OA，OB的平行线，交OA，OB的延长线于M，N，则有OM=λOA，ON=μOB，可得到a=λe1+μe2.
3.由该定理知，任一个平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题.因此，向量是数学中证明命题有效工具之一.
4.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来，这样很多几何问题的证明就转化为学生熟知的数量的运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一.对于向量的坐标运算一定要让学生掌握.
5.要把点的坐标与向量的坐标区别开，相等的向量的坐标是相同的.而起点、终点坐标可以不同.如A(1,2)，B(3,4)，AB=(2,2)；C(-1,3)，D(1,5)，CD=(2,2).
四、在“平面向量的数量积”的教学中，要求学生注意向量运算的特征
1.理解向量夹角的概念，规定0≤θ≤π；认识向量数量积的几何意义是：一个向量的长度乘以另一个向量在其上的射影值.注意这个射影值可正可负可以为零.所以我们说向量的数量积的结果是一个实数，不是向量.它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定.
2.数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法集合律.
对于实数a,b,c，有(ab)c=a(bc)，但对于向量a,b,c，有(a•b)c≠a(b•c).这里因为(a•b)c表示一个与c共线的向量，而a(b•c)表示一个与a共线的向量，而c与a一般并不共线，所以(a•b)c≠a(b•c).
使用运算符号时，a•b中的“•”要有别于数的运算中的乘号及今后要学到的向量积.
3.“如果ab=0，那么a,b中至少有一个为零”在向量中不成立.在向量中，若a•b=0，可以推出以下四种情况：（1）a=0，b≠0；（2）a≠0，b=0；（3）a=0且b=0；（4）a≠0，b≠0且a⊥b.因此，a=0或b=0是a•b=0的充分不必要条件.
4.“实数a,b,c，由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.如：取|a|=1，|b|=22，a与b的夹角为45°，|c|=12，a与c的夹角为0°.显然a•b=a•c=12，但b≠c.
5.由于数量积的学习，一些比较灵活的题目开始出现，因此，对一些性质应牢牢掌握，如a2=|a|2，cosθ=a•b|a|•|b|，a•b=0a⊥b等，用它们可以解决有关的长度、角度、垂直的问题.
6.利用数量积可判断两个向量是否垂直，判断由向量围成的三角形类型.这些判断需在非零向量的前提下，也要注意逻辑推理过程.
7.由于引入坐标，向量的长度、两向量平行、垂直的条件也可以用坐标表示，求两向量夹角也可以用坐标表示：
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为夹角，则
|a|=x21+y21，
a∥bx1y2-x2y1=0，
a⊥bx1x2+y1y2=0，
cosθ=x1x2+y1y2x21+y21•x22+y22.
五、在“平面向量应用举例”的教学中，要求掌握平面向量作为工具解决实际问题
1.平面向量在平面几何中的应用：（1）证明线段相等、平行，常用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常用向量平行（共线）的条件，a∥bx1y2-x2y1=0；（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥bx1x2+y1y2=0；求夹角问题，常用夹角公式cosθ=x1x2+y1y2x21+y21•x22+y22.
2.平面向量在物理几何中的应用，主要解决：向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；向量在速度的分解与合成中的应用.
另外，在《平面向量》整章的教学中要贯穿数学思想方法的教学，数形结合的思想、分类讨论的思想与转化归纳的思想都是平面向量学习中的重要思想.
以上是我对《平面向量》的教学反刍，与同行探讨.
【参考文献】
［1］数学必修4教师教学参考（普通高中课程标准）.人民教育出版社.
［2］数学必修4（普通高中课程标准实验教科书）.人民教育出版社.
［3］吴汝龙.关于高中新教材《平面向量》的教学设想.江西：中学数学研究，2003（6）.
［4］韩相河，刘纾珮.平面向量.山东教育出版社,2001.
［5］孙丰良.平面向量.延边大学出版社，2002.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文