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【摘要】数学习题课应该根据阶段性教学内容将教学资源进行有机的融合，设计以提高学生的数学思维品质为目标，渗透如何数学思考、如何解决问题为主旨的数学活动.本课例在整合教学资源的基础上，有效地设计了层层递进的数学探究活动，在对比中发现问题、引发思考、探究结论、尝试运用，彰显数学思维品质，培养学生多方面的数学能力，提升了学生的数学学科素养.
【关键词】数学思维;数学能力;数学素养
笔者在平时课堂中观察发现，许多教师在习题课教学时，几乎都是利用试卷逐题对答案或大而化之讲讲，往往停留在方法的简单展示、题目剖析不系统不深入的现象.而章建跃先生指出：要树立数学整体观，从中学数学学科的整体结构、核心内容和重要思想上整体把握和认识数学教学内容，切实做到既见树木也见森林.在此基础上，进一步对中学数学知识进行系统梳理，再进行必要的补充、精简、调整、整理、统合，从而建立更加有利于学生学习的数学教学结构，并落实到数学课堂教学中去[1].林崇德教授指出：“教学的首要任务，是在传授知识的同时，灵活地发展和培养学生的智力和能力.”“思维是智力和能力的核心”，教学中应当“自始至终将思维的发展与培养放在首位”.所以笔者认为习题课要建立在章建跃先生提出的“三个理解、两个关键、一个核心”基础上，以知识为载体，思想方法为核心，提高解决问题能力为切入点，在课堂教学中充分体现思维的生长性、深刻性、灵活性、创造性，从而切实完善学生良好的思维品质，最终实现数学思维的生长和学科素养提升的目标.
1课例再现
1.1课例背景这是七年级学生学习完有理数和代数式之后，在期中复习时进行的拓展性教学活动.教学活动的主线是在利用数轴解决问题的过程中发生思维冲突、引发思考，进而提出问题、解决问题、归纳总结方法，最后再到知识方法应用.
1.2教学过程片断
教师：猜一猜，下面描述的是什么数学图形？
你胸怀宽广，
容纳了所有的有理数和无理数，
你是数字与图形的完美结合.
在你宁静的世界里，
正数、零、负数和谐地相处着.
最右边的箭头就是你前行的标志，
只有起点，没有终点，
尤如历史的车轮总是滚滚向前！
学生：数轴.
教师：这节课我们一起利用数轴解决问题.
设计意图用诗一样的语言描述数轴，赋以数轴以生命.让学生猜，不仅自然地揭示课题、激发学习兴趣，而且陶冶学生的情操，达到育人的目标.
活动探究一
读图（图1）获信息：
学生5：若要化简，就要先判断a b、a-b的正负性，再依据求绝对值法则求绝对值，最后再去括号合并同类项.
学生6：利用实物投影展示解题过程，并陈述解题每一步的依据.
设计意图读图是学生理解数学、数学思考和解决问题的重要手段，所以设计了具有开放性的读数轴获信息这一环节，不仅培养学生从图中搜集、分析和处理信息的能力，而且渗透了数形结合思想，为解决问题提供了生长点，同时发展了学生形象思维与抽象思维的能力.活动探究二
问题呈现：
①如图2，点A表示的数是，若点A沿数轴向右平移5个单位长度后表示的数是;
②点B在数轴上表示的数为-1.82，若点B沿数轴向右平移5个单位长度后表示的数是.
教师：针对问题①，你的方法是什么？
学生1：利用数轴，向右平移，数单位长度.
教师：比较问题①与问题②，你发现了什么？
学生2：问题①与问题②属于同样的问题，但问题①的方法不能迁移到问题②中.
教师：为什么方法不能迁移運用了呢？
学生3：由于是小数不是整数，所以无法利用数轴数单位长度解决.
教师：这样以来，我们可以确定怎样的探究主题？
学生4：点在数轴上平移，它所对应的数的变换法则？
教师：大家认为我们该怎样研究这个问题呢？你们独立思考后再小组讨论.
学生5：我们可以利用几个特殊的例子，总结出一般性的结论.
教师：请大家以小组为单位，每一个人都举一个例子，小组共同探讨研究.
经过小组合作、交流得到了探究结论：点在数轴上平移，它所对应的数变换法则是“向右加，向左减”.
教师：探究出结论，看一看同学们能否灵活地运用！
解决问题：
1、在数轴上点A表示的数为-3，距点A有2个单位长度的点表示的数是.
2、在数轴上点B表示的数为-2，若点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，则t秒后，点B表示的数为.
生6：-1或-5.
生7：-2 2t.
教师：请大家反思解决问题过程中两种方法（一个是通过数轴数单位长度，一个是通过法则计算）的优缺点？
生8：通过数轴数单位长度形象直观，但具有局限性;而通过法则计算抽象，但简捷、通用.
设计意图要获取丰富深刻的数学内涵、科学有效的解题经验，始终离不开学生主体的深入探究.学生亲身经历了方法迁移→思维冲突→提出探究主题→确定探究方法→深入探究→归纳结论→解决问题等活动历程，培养了观察、比较、发现问题、提出问题、方法思想应用、数学思考、归纳等多种数学能力.这样的问题探究具有典型性、探究性和推广性，有效地锤炼了学生的数学思维，培养学生学会数学思考.活动探究三
问题呈现：
①如图3，点A、点B是数轴上两点，则这两点之间的距离为单位长度.
②如果点A、点B在数轴上表示的数分别是a，b（图4），则这两点之间的距离是多少？ 教师：通过两个问题解决的思维对比，你能在活动探究二获得的经验基础上确定本活动探究主题、探究方法，探究归纳出一般性结论吗？以小组为单位进行探究.
学生1：本题的探究主题是数轴上两点之间的距离计算方法.
学生2：探究方法与活动探究二一样，多举几个特殊例子，归纳出一般性结论.
学生3：归纳出结论是：AB=b-a.
教师：为什么不能是a-b呢？
学生4：a-b是负数了.
学生5：求a-b的绝对值也可以.
教师：AB=b-a或a-b，能不能统一一下结论形式呢？
学生6：AB=b-a或a-b.
解决问题：（个人独立思考）
1.数轴上表示1和-3的两个点之间的距离是.
2.数轴上表示x和2的两点之间的距离是.
3.式子x 3可以表示为数轴上哪两个数所对应的两点之间的距离？
4.若x表示一个有理数，式子x-1 x 3有最小值吗？若有，请求出最小值;若没有，请说理由.
教师：哪个小组代表发言？
学生1：利用总结的公式，可得答案是4.
学生2：x-2或2-x
学生3：要想知道是哪两个数所对应的两点之间的距离，就要将式子x 3变成公式的样子，所以将x 3变成x-（-3），因此x 3表示x与-3两个数所对应的点之间的距离.
对于问题4具有一定的难度，学生的逆向思维受限，所以教师适时点拔，引导学生在问题3的思维基础上，由数想形试试.
学生4：式子x-1 x 3可以变化为x-1 x-（-3），从数轴上可以理解为x与1、-3的距离之和，利用数轴，在x变化的过程中，发现x在1与-3之间距离之和最小，最小值为4，所以x-1 x 3最小值为4.
教师：问题4如果从数的角度很难解决，因此根据式子的特征联想到利用数轴来解决，体现了数形结合思想.题目中x是未知的，所以可以用运动的视角来审视x所对应的点.
设计意图学生在活动探究二中已经积累了一定的数学思考和活动的经验，所以这一探索活动完全放手给学生，承前启后地利用类比去探究、去构建.在探究的过程中进一步积累发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验与方法，渗透数形结合思想、转化思想，培养学生逆向思维能力、由数量特征联想几何特征的联想能力、从个体特征归纳一般特征的能力，在触类旁通中体验数学经验的威力，唤发数学思维活力.
2教学思考
2.1习题教学应体现数学思维的生长性
卜以楼的教学主张指出：生长型构架理念下的习题课，是一个让学生在更高视野下的构建知识的过程，也是一个让学生在更深思维下的感受生长的过程，还是一个让学在更精文化下的发展自我的过程，在实际操作中可以选准一条主干、突出一个主题、经历一次生长、实现一眸回顾[2].本课例以数轴解决问题为主题，从整体上设计了三个数学活动，有机融合，层层递进.在活动探究二中，通过条件的改变，引发数学思维冲突，深入思考，促使学生主动发现问题、提出研究主题、确定研究方法、深入研究并归纳总结结论，这样让学生经历问题解决的完整思维的生长过程，不但让学生获得了知识，而且积累了数学思考的方法、数学问题解决的活动经验，学生的解题素养也得到了提升.活动探究三是类比活动探究二进行有序、有效的深入研究，再一次让学生感受问题解决的完整思维生长过程，从而达到数学思维经验化、能力化、成长化.
2.2习题教学应体现数学思维的深刻性
习题课要着眼于学生发展，着眼于学生学习的的提升.让学生通过数学学习，积累一些思维素养，这样的教育才能让学生终生受益[3].本课例从知识、方法、能力的角度有效地将三个数学活动有机融合，全方位地锤炼学生的数学思维.活动中学生有效地利用数学概念、思想方法去对比发现问题、类比研究问题、从特殊归纳出一般性结论，促使学生在深度学习中明辩数学内在的联系，在完整的探究应用过程中深化数学思维，在结论的应用及思想方法的滲透中培养学生思维的深刻性，从而形成良好的数学思维品质，提升数学素养，让学生终身受益.
2.3习题教学应体现数学思维的灵活性
学生在解决具体问题时，总是用适用于这一具体问题的具体方法.如果对这种具体方法不加提炼、概括，那么适用性很小，不易产生迁移.为了提高解题质量，通过解题达到熟练掌握数学基本概念、基本思想的目的，使学生能举一反三，教师必须引导学生对这种具体方法进行再加工，从中提炼出可以适用于一般的、具有广泛应用性的数学思想方法[4].本课例通过具体问题中数据的变换，引发思维冲突，促使学生改变先前的思维过程，寻找解决问题的新途径，从而探究概括出点在数轴上平移时对应的数变化法则、数轴上两点之间的距离计算法则，再运用法则解决实际问题.在问题系统解决的过程中，学生的问题意识、思考的方向、研究方法的确定、从具体例子归纳概括、解决具体问题方法的灵活运用上无不体现数学思维的灵活性.
2.4习题教学应体现数学思维的创造性
数学教学其本质是在数学活动中培养学生的数学思维，而数学思维的创造性是创新能力的基石.所以在平时的教学过程中要设置一定的数学活动情境，加强数学思维创造性的培养.本课例设置了一定的思维场景，促使学生发生思维冲突，提出问题、讨论问题，在独立思考、小组交流的基础上突破常规，探索发现新的结论.在基础知识、基本方法的理解基础上进行信息整合、问题确立、概括归纳、迁移运用、问题解决等深度学习的过程中提高学生创新意识、创新思维、创新能力.特别是活动探究三中的问题4解决，学生能由式子x-1 x 3的表面特征，洞察到式子的本质，有效地从数量特征联想几何特征，从而创造性的利用形来解决数的问题，在此过程中学生感受成功的愉悦，唤发创新才能.
参考文献
[1]章建跃.数学教育随想录下卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017：658
[2][3]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版总社，2018：294-395，380
[4]章建跃.数学教育随想录上卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017：180
【关键词】数学思维;数学能力;数学素养
笔者在平时课堂中观察发现，许多教师在习题课教学时，几乎都是利用试卷逐题对答案或大而化之讲讲，往往停留在方法的简单展示、题目剖析不系统不深入的现象.而章建跃先生指出：要树立数学整体观，从中学数学学科的整体结构、核心内容和重要思想上整体把握和认识数学教学内容，切实做到既见树木也见森林.在此基础上，进一步对中学数学知识进行系统梳理，再进行必要的补充、精简、调整、整理、统合，从而建立更加有利于学生学习的数学教学结构，并落实到数学课堂教学中去[1].林崇德教授指出：“教学的首要任务，是在传授知识的同时，灵活地发展和培养学生的智力和能力.”“思维是智力和能力的核心”，教学中应当“自始至终将思维的发展与培养放在首位”.所以笔者认为习题课要建立在章建跃先生提出的“三个理解、两个关键、一个核心”基础上，以知识为载体，思想方法为核心，提高解决问题能力为切入点，在课堂教学中充分体现思维的生长性、深刻性、灵活性、创造性，从而切实完善学生良好的思维品质，最终实现数学思维的生长和学科素养提升的目标.
1课例再现
1.1课例背景这是七年级学生学习完有理数和代数式之后，在期中复习时进行的拓展性教学活动.教学活动的主线是在利用数轴解决问题的过程中发生思维冲突、引发思考，进而提出问题、解决问题、归纳总结方法，最后再到知识方法应用.
1.2教学过程片断
教师：猜一猜，下面描述的是什么数学图形？
你胸怀宽广，
容纳了所有的有理数和无理数，
你是数字与图形的完美结合.
在你宁静的世界里，
正数、零、负数和谐地相处着.
最右边的箭头就是你前行的标志，
只有起点，没有终点，
尤如历史的车轮总是滚滚向前！
学生：数轴.
教师：这节课我们一起利用数轴解决问题.
设计意图用诗一样的语言描述数轴，赋以数轴以生命.让学生猜，不仅自然地揭示课题、激发学习兴趣，而且陶冶学生的情操，达到育人的目标.
活动探究一
读图（图1）获信息：
学生5：若要化简，就要先判断a b、a-b的正负性，再依据求绝对值法则求绝对值，最后再去括号合并同类项.
学生6：利用实物投影展示解题过程，并陈述解题每一步的依据.
设计意图读图是学生理解数学、数学思考和解决问题的重要手段，所以设计了具有开放性的读数轴获信息这一环节，不仅培养学生从图中搜集、分析和处理信息的能力，而且渗透了数形结合思想，为解决问题提供了生长点，同时发展了学生形象思维与抽象思维的能力.活动探究二
问题呈现：
①如图2，点A表示的数是，若点A沿数轴向右平移5个单位长度后表示的数是;
②点B在数轴上表示的数为-1.82，若点B沿数轴向右平移5个单位长度后表示的数是.
教师：针对问题①，你的方法是什么？
学生1：利用数轴，向右平移，数单位长度.
教师：比较问题①与问题②，你发现了什么？
学生2：问题①与问题②属于同样的问题，但问题①的方法不能迁移到问题②中.
教师：为什么方法不能迁移運用了呢？
学生3：由于是小数不是整数，所以无法利用数轴数单位长度解决.
教师：这样以来，我们可以确定怎样的探究主题？
学生4：点在数轴上平移，它所对应的数的变换法则？
教师：大家认为我们该怎样研究这个问题呢？你们独立思考后再小组讨论.
学生5：我们可以利用几个特殊的例子，总结出一般性的结论.
教师：请大家以小组为单位，每一个人都举一个例子，小组共同探讨研究.
经过小组合作、交流得到了探究结论：点在数轴上平移，它所对应的数变换法则是“向右加，向左减”.
教师：探究出结论，看一看同学们能否灵活地运用！
解决问题：
1、在数轴上点A表示的数为-3，距点A有2个单位长度的点表示的数是.
2、在数轴上点B表示的数为-2，若点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，则t秒后，点B表示的数为.
生6：-1或-5.
生7：-2 2t.
教师：请大家反思解决问题过程中两种方法（一个是通过数轴数单位长度，一个是通过法则计算）的优缺点？
生8：通过数轴数单位长度形象直观，但具有局限性;而通过法则计算抽象，但简捷、通用.
设计意图要获取丰富深刻的数学内涵、科学有效的解题经验，始终离不开学生主体的深入探究.学生亲身经历了方法迁移→思维冲突→提出探究主题→确定探究方法→深入探究→归纳结论→解决问题等活动历程，培养了观察、比较、发现问题、提出问题、方法思想应用、数学思考、归纳等多种数学能力.这样的问题探究具有典型性、探究性和推广性，有效地锤炼了学生的数学思维，培养学生学会数学思考.活动探究三
问题呈现：
①如图3，点A、点B是数轴上两点，则这两点之间的距离为单位长度.
②如果点A、点B在数轴上表示的数分别是a，b（图4），则这两点之间的距离是多少？ 教师：通过两个问题解决的思维对比，你能在活动探究二获得的经验基础上确定本活动探究主题、探究方法，探究归纳出一般性结论吗？以小组为单位进行探究.
学生1：本题的探究主题是数轴上两点之间的距离计算方法.
学生2：探究方法与活动探究二一样，多举几个特殊例子，归纳出一般性结论.
学生3：归纳出结论是：AB=b-a.
教师：为什么不能是a-b呢？
学生4：a-b是负数了.
学生5：求a-b的绝对值也可以.
教师：AB=b-a或a-b，能不能统一一下结论形式呢？
学生6：AB=b-a或a-b.
解决问题：（个人独立思考）
1.数轴上表示1和-3的两个点之间的距离是.
2.数轴上表示x和2的两点之间的距离是.
3.式子x 3可以表示为数轴上哪两个数所对应的两点之间的距离？
4.若x表示一个有理数，式子x-1 x 3有最小值吗？若有，请求出最小值;若没有，请说理由.
教师：哪个小组代表发言？
学生1：利用总结的公式，可得答案是4.
学生2：x-2或2-x
学生3：要想知道是哪两个数所对应的两点之间的距离，就要将式子x 3变成公式的样子，所以将x 3变成x-（-3），因此x 3表示x与-3两个数所对应的点之间的距离.
对于问题4具有一定的难度，学生的逆向思维受限，所以教师适时点拔，引导学生在问题3的思维基础上，由数想形试试.
学生4：式子x-1 x 3可以变化为x-1 x-（-3），从数轴上可以理解为x与1、-3的距离之和，利用数轴，在x变化的过程中，发现x在1与-3之间距离之和最小，最小值为4，所以x-1 x 3最小值为4.
教师：问题4如果从数的角度很难解决，因此根据式子的特征联想到利用数轴来解决，体现了数形结合思想.题目中x是未知的，所以可以用运动的视角来审视x所对应的点.
设计意图学生在活动探究二中已经积累了一定的数学思考和活动的经验，所以这一探索活动完全放手给学生，承前启后地利用类比去探究、去构建.在探究的过程中进一步积累发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验与方法，渗透数形结合思想、转化思想，培养学生逆向思维能力、由数量特征联想几何特征的联想能力、从个体特征归纳一般特征的能力，在触类旁通中体验数学经验的威力，唤发数学思维活力.
2教学思考
2.1习题教学应体现数学思维的生长性
卜以楼的教学主张指出：生长型构架理念下的习题课，是一个让学生在更高视野下的构建知识的过程，也是一个让学生在更深思维下的感受生长的过程，还是一个让学在更精文化下的发展自我的过程，在实际操作中可以选准一条主干、突出一个主题、经历一次生长、实现一眸回顾[2].本课例以数轴解决问题为主题，从整体上设计了三个数学活动，有机融合，层层递进.在活动探究二中，通过条件的改变，引发数学思维冲突，深入思考，促使学生主动发现问题、提出研究主题、确定研究方法、深入研究并归纳总结结论，这样让学生经历问题解决的完整思维的生长过程，不但让学生获得了知识，而且积累了数学思考的方法、数学问题解决的活动经验，学生的解题素养也得到了提升.活动探究三是类比活动探究二进行有序、有效的深入研究，再一次让学生感受问题解决的完整思维生长过程，从而达到数学思维经验化、能力化、成长化.
2.2习题教学应体现数学思维的深刻性
习题课要着眼于学生发展，着眼于学生学习的的提升.让学生通过数学学习，积累一些思维素养，这样的教育才能让学生终生受益[3].本课例从知识、方法、能力的角度有效地将三个数学活动有机融合，全方位地锤炼学生的数学思维.活动中学生有效地利用数学概念、思想方法去对比发现问题、类比研究问题、从特殊归纳出一般性结论，促使学生在深度学习中明辩数学内在的联系，在完整的探究应用过程中深化数学思维，在结论的应用及思想方法的滲透中培养学生思维的深刻性，从而形成良好的数学思维品质，提升数学素养，让学生终身受益.
2.3习题教学应体现数学思维的灵活性
学生在解决具体问题时，总是用适用于这一具体问题的具体方法.如果对这种具体方法不加提炼、概括，那么适用性很小，不易产生迁移.为了提高解题质量，通过解题达到熟练掌握数学基本概念、基本思想的目的，使学生能举一反三，教师必须引导学生对这种具体方法进行再加工，从中提炼出可以适用于一般的、具有广泛应用性的数学思想方法[4].本课例通过具体问题中数据的变换，引发思维冲突，促使学生改变先前的思维过程，寻找解决问题的新途径，从而探究概括出点在数轴上平移时对应的数变化法则、数轴上两点之间的距离计算法则，再运用法则解决实际问题.在问题系统解决的过程中，学生的问题意识、思考的方向、研究方法的确定、从具体例子归纳概括、解决具体问题方法的灵活运用上无不体现数学思维的灵活性.
2.4习题教学应体现数学思维的创造性
数学教学其本质是在数学活动中培养学生的数学思维，而数学思维的创造性是创新能力的基石.所以在平时的教学过程中要设置一定的数学活动情境，加强数学思维创造性的培养.本课例设置了一定的思维场景，促使学生发生思维冲突，提出问题、讨论问题，在独立思考、小组交流的基础上突破常规，探索发现新的结论.在基础知识、基本方法的理解基础上进行信息整合、问题确立、概括归纳、迁移运用、问题解决等深度学习的过程中提高学生创新意识、创新思维、创新能力.特别是活动探究三中的问题4解决，学生能由式子x-1 x 3的表面特征，洞察到式子的本质，有效地从数量特征联想几何特征，从而创造性的利用形来解决数的问题，在此过程中学生感受成功的愉悦，唤发创新才能.
参考文献
[1]章建跃.数学教育随想录下卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017：658
[2][3]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版总社，2018：294-395，380
[4]章建跃.数学教育随想录上卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017：180