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压缩感知是一种全新的采样理论,利用信号的稀疏性,集采样和压缩为一体,能够以非常低的采样率精确重建信号.最近压缩感知引起了学者的广泛关注,得到了迅速的发展,并在医学图像处理、信息论、雷达成像、模式识别等许多领域都有很重要的应用.压缩感知研究稀疏信号的重建,数学上归结为欠定线性方程组的求解,该线性方程组的系数矩阵(即测量矩阵)满足一定的性质时,就能通过有效的算法重建该信号.重建算法是压缩感知理论的重要组成部分,直接关系着压缩感知理论应用的成效.本文研究压缩感知理论的一种贪婪算法和基于Laplace拟范数的阈值算法、改进测量矩阵性质的加权方法,以及针对核磁共振成像和相位恢复问题的重建算法,主要贡献和创新点如下:1.最小二乘法是贪婪算法的重要部分,结合最小二乘,改进了拟Newton迭代投影(quasi-Newton iterative projection,QNIP)算法.基于限制等距性(restricted isometry property,RIP),给出了该算法的收敛性证明.仿真实验表明该算法具有良好的重建性能;2.基于研究Laplace拟范数的性质,得到Laplace正则化模型的阈值点及它的解可以拟解析地由阈值形式表示出来,并据此得到了相应的阈值算法.仿真结果表明,和lp(0 ≤ p ≤1)阈值算法相比,Laplace阈值算法有相近的运行时间,但有更高的重建率;3.由于压缩感知重建算法要求测量矩阵具有小的限制等距常数(restricted isometry constant,RIC),而许多成像系统中的测量矩阵并不满足该条件,故而限制了压缩感知的应用.为此,基于奇异值分解,我们提出一种对于测量矩阵的加权方法,并证明了一定情形下,这个加权方法改进了RIC,这就扩宽了压缩感知的应用范围.并将此加权方法初步应用到计算机断层扫描(computed tomography,CT)中.仿真结果表明该加权方法提高了重建效果;4.研究了压缩感知在核磁共振成像(magnetic resonance imaging,MRI)中的应用.结合Hessian Schatten范数和自适应字典,得到了一种新的正则化重建模型,并利用分裂Bregman迭代方法将重建模型分裂为几个子问题,进而设计出相应的算法.针对MR图像,用不同采样方案和采样率,在无噪和有噪情景下的仿真结果表明了该算法的有效性;5.相位恢复问题的测量数据丢失了相的信息,可以看成非线性的压缩感知,故我们将压缩感知中典型的正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit,OMP)算法扩展到相位恢复问题中,得到针对相位恢复问题的一种新的贪婪算法.给出了该算法的精确重建条件,并得到了该算法的改进版本.仿真结果表明了该算法的有效性和鲁棒性.