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孤子是非线性科学的一个重要分支,在数学、物理等领域有广泛应用,并且在金融领域可作为研究市场演化特征的理论基础。因此,孤子理论的研究具有重要意义。本文主要解析研究非线性系统的可积性及孤子的相互作用机制。通过对变系数、耦合非线性发展方程及方程族的研究,获得一系列研究结果,如非线性系统的可积性、解析孤子解、Hamilton结构及Liouville可积性等。本文共分为六个方面：(1) Darboux变换的构造及其在耦合非线性发展方程中的应用。(a)分别以Hirota-Maxwell-Bloch (H-MB)方程及广义非均匀H-MB方程、非均匀耦合非线性Schrodinger(NLS)方程为例,构造等谱和非等谱可积系统的Darboux变换；(b)利用Darboux变换构造H-MB方程的单孤子和双孤子解,由此研究孤子的产生机制、传播特性及相互作用；绘图分析广义非均匀H-MB方程的非均匀因素对孤子的发展特性及相互作用的影响；通过控制群速度色散、自相位调制、交叉相位调制及增益／损耗对应的参数,讨论非均匀耦合NLS方程孤子的相互作用机制及在非均匀光纤系统中的潜在应用；(c)利用Painleve检测确定广义非均匀H-MB方程的可积条件；基于Ablowitz-Kaup-Newell-Segur (AKNS)系统,构造H-MB方程及广义非均匀H-MB方程的Lax对；将2×2等谱AKNS谱问题推广到3×3非等谱情形,求得非均匀耦合NLS方程的Lax对。(2)广义非均匀H-MB方程的N次Darboux变换构造及孤子解的渐近分析。(a)构造广义非均匀H-MB方程的N次Darboux变换,得到方程的单孤子、双孤子及三孤子解,并整理为行列式形式；(b)讨论取不同参数值时孤子的传播特性及相互作用,并发现双孤子碰撞存在能量交换的现象；(c)利用渐近分析研究孤子碰撞前后的物理量,如能量、振幅、脉冲宽度、传播速度和初始相位；(d)给出该方程的前三个守恒律。(3)非线性发展方程族与无穷守恒律。(a)以KdV和AKNS方程族为例,介绍Lax对为算子和矩阵形式所对应的非线性发展方程族的构造过程；(b)以KdV和AKNS系统为例,研究Lax对为算子和矩阵形式所对应的无穷守恒律的构造过程,并推出H-MB方程的无穷守恒律；(c)以推广的离散谱问题为基础,推导离散系统的方程族及无穷守恒律。(4) Jaulent-Miodek(JM)谱问题的Hamilton结构、Darboux变换及新的类孤子解。(a)基于JM谱问题,推出JM方程族,并构造该JM方程族两种形式的Darboux变换；(b)利用辛—逆辛分解法,得到JM方程族的Hamilton结构,并证明该方程族在Liouville意义下是完全可积的；(c)通过两种形式的Darboux变换,可以分别构造JM方程族新的类孤子解,这些类孤子都由冲击波和钟形孤子构成；(d)研究两种类孤子的传播特性及相互作用。(5)等谱和一阶非等谱Kaup-Newell(KN)方程族之间的规范变换。(a)简要介绍规范变换的基本概念,引入等谱和一阶非等谱AKNS系统,得到等谱和一阶非等谱KN谱问题之间的规范变换；(b)求得等谱和一阶非等谱KN方程族之间的转化关系,并给出两个方程族的前三个方程；(c)以等谱和一阶非等谱KN系统为例,研究同一系统对应的等谱和非等谱谱问题之间的直接规范变换。(6)双线性方法及多线性分离变量法在(2+1)维色散长水波方程中的应用。(a)介绍双线性化常用的三种因变量变换及其它形式的因变量变换,以及相应的非线性发展方程的类型；(b)利用多线性分离变量法研究非线性局域激发模式,并列举几种常见局域解的函数形式；(c)对(2+1)维色散长水波方程进行Painleve分析,可得Painleve展开存在单奇异流形和双奇异流形展开两种形式,进而得到两种不同形式的因变量变换；(d)利用两种因变量变换,分别将方程双线性化和线性化,进而求得方程的解析孤子解及非线性局域激发模式,并通过绘图探讨孤子的传播特性和相互作用。