【摘 要】
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设p（·）:Rn →（0,∞）是一个变指标函数,且满足全局log-H（?）lder连续条件和0＜p-≤p+＜∞,其中 p-:=ess infx∈Rnp（x）,p+:=ess supx∈Rnp（x）.本文的主要目的有三个方面.1.设Ω是Rn上的一个真开子集.在第二章中,我们首先通过径向极大函数在Ω上引进了变指标Hardy空间Hp（·）（Ω）,然后得到了空间Hp（·）（Ω）的主极大函数特征和原子特征.
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设p（·）:Rn →（0,∞）是一个变指标函数,且满足全局log-H（?）lder连续条件和0＜p-≤p+＜∞,其中 p-:=ess infx∈Rnp（x）,p+:=ess supx∈Rnp（x）.本文的主要目的有三个方面.1.设Ω是Rn上的一个真开子集.在第二章中,我们首先通过径向极大函数在Ω上引进了变指标Hardy空间Hp（·）（Ω）,然后得到了空间Hp（·）（Ω）的主极大函数特征和原子特征.此外,我们在Ω上引进了变指标H（?）lder空间Λp（·）,q,d（Ω）.作为Hp（·）（Ω）的原子特征的应用,我们证明了Hp（·）（Ω）的对偶空间是Λp（·）,q,d（Ω）.上述结果将Miyachi（Studia Math 95:205-228,1990）中的主要结果推广到了变指标的情形.2.设n≥2,Ω（?）Rn是一个有界的非切向可允许区域（简称,NTA区域）.假设LD是L2（Ω）上的带Dirichlet边界条件且系数是实值的、有界可测的一个二阶散度型椭圆算子.在第三章中,我们首先建立了相关于算子LD的变指标Hardy空间HLDp（·）（Ω）的分子特征.特别地,当LD是非负自伴算子时,我们进一步得到了HLDp（·）（Ω）的原子特征和极大函数特征.其次,通过将变指标Hardy空间Hp（·）（Rn）以及它的局部型hp（·）（Rn）的任意元素分别限制在Ω上,我们引进了“几何化”变指标Hardy空间Hrp（·）（Ω）以及它的局部型hrp（·）（Ω）,然后证明了当p-∈(n/n+θ,1]时,Hp（·）（Ω）=Hrp（·）（Ω）=HLDp（·）（Ω）=hrp（·）（Ω）且拟范数等价,其中θ ∈(0,1]是由LD生成的热核{pt,LD}t＞0的H（?）lder连续的临界指标.作为应用,我们证明了 Riesz变换▽LD-1/2当1＜p-≤p+≤2时在变指标Lebesgue空间Lp（·）（Ω）上、当 0＜p-≤p+≤1时从HLDp（·）（Ω）到 Lp（·）（Ω）、以及当n/n+1＜p-≤p+≤1时从HLDp（·）（Ω）到Hp（·）（Ω）的有界性.与此同时,我们也证明了分数次积分LDβ当1＜p（·）＜q（·）＜∞时从Lp（·）（Ω）到Lq（·）（Ω）、当 0＜p（·）≤ 1＜q（·）＜∞时从HLDp（·）（Ω）到Lq（·）（Ω）、以及当0＜p（·）＜q（·）≤1时从HLDp（·）（Ω）到HLDq（·）（Ω）的有界性,其中β∈（0,n/2）且1/p（·）-1q（·）=2β/n.作为推论,我们也得到了LD在Ω上的非齐次Dirichlet问题当1＜p-≤p+≤2时在Lp（·）（Ω）上、以及当n/n+1＜p-≤p+≤1时在Hp（·）（Ω）上的全局梯度估计.最后,我们也建立了空间Hrp（·）（Ω）上的一个div-curl引理和BMOp（·）（Ω）=BMOzp（·）且范数等价,其中 BMOzp（·）（Ω）:={f∈ BMOp（·）（Rn）:supp（f）（?）Ω},BMOp（·）（Rn）和 BMOp（·）（Ω）分别是Rn上和区域Ω上的变指标BMO空间,以及Ω是Ω（?）Rn的闭包.即使当p（·）≡p∈（0,∞）或Ω（?）Rn是一个有界的Lipschitz区域时,上述结果也是新的.3.设n ≥ 3,Ω是Rn上的一个强Lipschitz区域.假设LΩ:=-Δ+V是L2（Ω）上的带Dirichlet边界条件的一个Schr（?）dinger算子,其中Δ是Laplace算子,非负位势V属于逆H（?）lder类RHq0（Rn）对某个q0 ∈(n/2,∞].在第四章中,我们首先通过相关于算子LΩ的Lusin面积函数在Ω上引进了变指标Hardy空间HLΩp（·）（Ω）,且通过相关于Rn上的Schr（?）dinger算子LRn:=-Δ+V的变指标Hardy空间HLRnp（·）（Rn）引进了“几何化”变指标Hardy空间HLRn,rp（·）（Ω）,然后证明了HLΩp（·）（Ω）=HLRn,rp（·）（Ω）且拟范数等价.作为应用,当Ω是Rn上的一个有界的单连通半凸区域,且非负位势V属于逆H（?）lder类RHq0（Rn）对某个q0∈(max{n/2,2},∞]时,证明了算子VLΩ-1和▽2LΩ-1从HLRn,rp（·）（Ω）到变指标Lebesgue空间Lp（·）（Ω）以及从HLRn,rp（·）（Ω）到其自身是有界的.作为推论,得到了相应的Schr（?）dinger方程的非齐次Dirichlet问题在变指标Hardy空间HLRn,rp（·）（Ω）尺度下的二阶正则性.
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