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本文主要对定义在类数为1的虚二次域上的一类特殊椭圆曲线上的弱Mordell-Weil群进行研究，利用弱Mordell-Weil定理，通过双同源下降法以及Hensel引理研究了椭圆曲线上的Shafarevich-Tate群以及Selmer群，从而得到了该椭圆曲线在类数1的虚二次域上的秩与Selmer群的关系。引言中介绍了研究问题的背景以及研究意义，第一章叙述了基本符号以及证明所需要的基本结论，第二章给出了主要结果，最后第三章根据分类依次给出了确切的证明。