Skorohod[87]，[88]首次构造了带连续系数的随机微分方程的弱解，此后随机微分方程的弱解便得到了广泛的研究，且在随机微分方程理论的发展中起到了非常重要的作用。上世纪七十年代，日本和苏联概率学家将弱解与强解建立了联系，在阐述弱解存在性、强解存在性、依分布唯一性及依轨道唯一性之间的关系上做出了重要贡献。　　平均场随机微分方程，也称为McKean-Vlasov方程，在经济、金融、物理学、统计力学、量子力学和量子化学等领域有着广泛的应用。近几十年，许多学者研究了平均场随机微分方程的弱解。在这些工作中，有很多用经典的随机微分方程理论中（即不在平均场框架下）的鞅问题方法来研究McKean-Vlasov方程的弱解。　　本论文研究了以下两种情况的平均场随机微分方程弱解的存在性和依分布唯一性:(ⅰ)漂移系数依赖于解过程和解的分布，以及(ⅱ)漂移系数和扩散系数均依赖于解的状态和解的分布。进一步将弱解的存在性、依分布唯一性结论应用到对2-人零和随机微分对策的研究中，其中对策的动态系统为受双重控制的平均场正倒向随机微分方程。　　Pardoux和Peng[75]在1990年首次引入非线性倒向随机微分方程，从那时起，倒向随机微分方程理论便被广泛地应用于很多领域，尤其是在金融数学、偏微分方程、随机最优控制以及随机微分对策等方面。倒向随机微分方程理论发展迅速，现已成为随机分析理论中的一个非常重要的组成部分。基于非线性倒向随机微分方程理论，不同形式的倒向随机微分方程也得到了迅速地发展，例如，平均场倒向随机微分方程、解耦的正倒向随机微分方程、完全耦合的正倒向随机微分方程、及由布朗运动和泊松跳过程共同驱动的正倒向随机微分方程、带反射的正倒向随机微分方程等等。　　本论文还研究了带跳的平均场（正）倒向随机微分方程、与值函数耦合的带跳的平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性、比较定理，并给出相应积分-偏微分方程解的概率解释。　　下面将进一步详细的介绍论文的内容及结构。　　第一章引言主要介绍了论文第二章到第五章中研究的主要问题。　　在第二章中，我们研究平均场随机微分方程，其扩散系数σ(s，X.s)关于解过程X的路径Lipschitz，且其漂移系数b(s，X.∧s，QXs)关于解过程X仅满足可测，同时连续（在1-Wasserstein距离的意义下）依赖于解过程的分布。我们首先证明了上述平均场随机微分方程弱解的存在性及依分布唯一性。然后我们将结论应用到对2-人零和随机微分对策的研究中，其动态系统由受双重控制的平均场正倒向随机微分方程描述，且状态方程的漂移系数关于状态过程仅满足可测的条件。在Isaacs条件下，我们证明了推广鞍点控制的存在性。　　本章的主要创新点:首次研究了此类平均场随机微分方程弱解的依分布唯一性，并且在Isaacs条件下得到了推广的鞍点控制。　　本章基于:　　LI,J.，MIN,H.，Weak solutions of mean-field stochastic differential equations andapplications tozero-sum stochastic differential games, SIAM J.Control Optim.，已接收。　　在第三章中，受第二章的启发，我们进一步研究平均场随机微分方程的弱解，考虑漂移系数b(s，Xs，QXs)与扩散系数σ（s，Xs，QXs）均依赖于解的状态及解的分布的情况。在系数有界，连续（关于测度在2-Wasserstein距离的意义下）条件下，我们借助推广的局部鞅问题，证明平均场随机微分方程弱解的存在性以及解的依分布唯一性。　　本章的主要创新点:我们将McKean-Vlasov方程的It(o)公式推广到了更一般的情况;不同于前人的工作，我们首次运用推广的局部鞅问题，研究平均场随机微分方程弱解的存在性和依分布唯一性。　　本章基于:　　LI,J.，MIN,H.，The existence and the uniqueness in laω of weak solutions ofmean-field stochastic differential equations，已投稿。　　在第四章中，我们主要研究带泊松跳的平均场倒向随机微分方程。首先，在线性增长和Lipschitz条件下我们得到带跳的平均场随机微分方程解的存在唯一性。然后主要证明了带跳的平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性、解关于参数的连续依赖性，以及比较定理。最后证明了解耦的带跳的平均场正倒向随机微分方程解的存在唯一性，及相应偏微分方程粘性解的存在唯一性。　　本章的主要创新点:在带跳的情况下，研究了平均场（正）倒向随机微分方程，并给出相应积分-偏微分方程解的概率解释。　　本章来自于:　　LI,J.，MIN,H.，Controlled mean-field backωard stochastic differential equationsωith jumps involving the valueunction, Journal of Systems Science and Complexity,已接收。　　受第四章研究内容的启发，第五章主要研究一种全新的带跳的受控平均场倒向随机微分方程，即与相关控制问题的值函数耦合的带跳的受控平均场倒向随机微分方程。首先，在一定的Lipschitz条件和线性增长，单调性条件下运用迭代的方法我们证明了上述方程解的存在唯一性以及比较定理。然后我们借助推广的随机倒向半群的概念得到了值函数的动态规划原理。最后，我们证明了如此定义的值函数是相应非局部Hamilton-Jacobi-Bellman积分-偏微分方程的粘性解，且在适当的连续函数空间中为唯一的粘性解。　　本章的主要创新点:在带跳的情况下，研究与值函数耦合的倒向随机微分方程;采用不同于Peng的倒向半群的方法，更加直接的证明了相应Hamilton-Jacobi-Bellman方程粘性解的存在唯一性。　　本章来自于:　　LI,J.，MIN,H.，Controlled mean-field backward stochastic differential equationswith jumps involving the value function,Journal of Systems Science and Complexity,已接收。