自从在1965年,Zabusky和Kruskal创立了孤子的概念以来,已经有相当多的研究者研究了各种类型的孤子,尤其是因为孤子在各领域的广泛应用,例如,非线性光纤,流体动力学,等离子体,凝聚态物理,固态层和天体物理学。与普通的具有稳定状态的孤子不同,畸形波是具有不稳定性和不可预测性的局域性结构。而且,畸形波也由于它在一些领域的潜在应用吸引了大批研究者,例如,海洋学,非线性光纤,凝聚态物理,大气动力力学和经济学。为了得到非线性偏微分方程的孤子和畸形波解,我们也尝试了一些解析和数值的方法。本文的主要内容如下:第一章作为绪论介绍了孤子和畸形波的起源,发展和现状。我们也讨论了一些解析的和数值的求解孤子和畸形波解的方法,如,双线性方法,修正的双线性方法和数值模拟。同时我们也阐明了本论文的主要工作和结构安排。第二章,我们研究了由(2+1)维复金兹堡-朗道方程描述的具有色散,光学滤波,非线性和线性增益的非线性光纤。也得到了方程的双线性Backlund变换,它能用来根据已知解构造新解。通过修正的双线性算子我们得到了方程的孤子解。根据孤子解,我们发现了当非线性或线性增益的绝对值增大时,孤子的振幅能够减小或增大;当色散或光学滤波的绝对值增强时,孤子的宽度可被压缩或放大。此外,我们也通过有限差分法研究了数值解的稳定性,我们主要以解析解为依据,将初始值增大,将白噪声作为初始值和将高斯脉冲作为初始值来做实验,最后发现孤子解是稳定的,不受有限初始值的影响。第三章,我们调查了非均匀介质中的(2+1)维变系数的Nizhinik-Novikov-Veselov方程,方程是一种各向同性的Lax可积的KdV型扩展方程。我们构造了方程的无穷守恒律。根据Wronskian行列式得到了方程的N孤子解。我们也用图片展现的方式讨论了孤子的传播和碰撞,并且发现了方程的变系数会影响孤子的速度和形状,然而孤子的振幅不会被它们影响。此外,我们也发现双孤子间的碰撞作用是弹性的。我们通过三线性的方法得到了方程的呼吸波解,并且发现当方程的变系数为周期性函数的时候,呼吸波呈现了加速减速行为;当方程的变系数为指数函数的时候,呼吸波呈现了压缩行为。而且当呼吸波解的周期趋向于无穷的时候,我们得到了方程的畸形波解,当方程的变系数为线性函数的时候,混合畸形波呈现了分离和融合的行为。在第四章中,我们调查研究了(2+1)维的变系数破裂孤子方程并求出了方程的双线性形式,进而求出了方程的单孤子,双孤子和三孤子解,而且方程的变系数关于孤子和孤子间的碰撞作用的影响也用图片的方式展现出来。孤子的速度会被方程的变系数影响,然而孤子的振幅不会被影响。在双孤子三孤子间的碰撞作用也用图片的方式来讨论:在发生碰撞之后,孤子除了在相位方面有变化,其他的例如形状和振幅方面没有任何影响,这也表明了孤子间的碰撞是弹性的。通过将计算时产生的截断误差当做微小的扰动,孤子的稳定性也用了数值的方式做了调查研究,这也显示了孤子可以在有微小扰动干扰的情况下稳定传播。在第五章中总结了本论文的主要结论与创新点,指出了本次研究的局限性,并对今后的研究工作进行了展望。