【摘 要】
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平均曲率流（MCF）是黎曼流形中最重要的一类发展方程,简单地说,就是一族曲面在每点的“速度”等于该点的平均曲率.它的研究起源于几何形变、海岩风化等许多实际问题所演变出来的数学模型.在很多方面它与几何、分析、拓扑等许多其它学课有着深刻的联系.在平均曲率流中,一类重要的自相似特解就是self-shrinker,其满足二阶非线性椭圆型偏微分方程XN=-H.在对平均曲率流的研究中,一个重要的研究领域便是奇
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平均曲率流（MCF）是黎曼流形中最重要的一类发展方程,简单地说,就是一族曲面在每点的“速度”等于该点的平均曲率.它的研究起源于几何形变、海岩风化等许多实际问题所演变出来的数学模型.在很多方面它与几何、分析、拓扑等许多其它学课有着深刻的联系.在平均曲率流中,一类重要的自相似特解就是self-shrinker,其满足二阶非线性椭圆型偏微分方程XN=-H.在对平均曲率流的研究中,一个重要的研究领域便是奇性分析,我们知道,第一型奇点附近,做适当拉伸后的平均曲率流渐进收敛到一个自相似解,即self-shrinker.因此,对第一型奇点的分类等价于对self-shrinker的分类.Self-shrinker在探讨平均曲率流的奇性方面起着重要的作用,它描述了平均曲率流在给定第一型奇点处的所有可能的爆破.因此关于self-shrinker的研究对理解平均曲率流的奇性具有重要的作用.本文研究了self-shrinker的Morse指标的间隙性质,R4中self-shrinker曲面的刚性和分类问题,以及ξ-子流形的刚性性质.其主要内容如下:Morse指标控制下的刚性和间隙现象是微分几何变分研究中一个重要的问题,这启发了我们研究self-shrinker的Morse指标的刚性和间隙性质.我们讨论了加权面积泛函的第一变分公式和第二变化公式,并引入Jacobi算子L和self-shrinker的Morse指标的定义.简单地说,Morse指标是Jacobi算子的负特征值个数,它反映了self-shrinker的稳定性.对完备的self-shrinker,我们给出了刻画有限Morse指标与算子L特征值的关系.对任意余维等于p的逆紧n维self-shrinker,我们证明了其Morse指标大于等于余维p,同时还表明Morse指标等于p当且仅当是平面.随后我们还证明了如果self-shrinker不是平面,则其Morse指标一定大于等于n+p+1.对于广义柱面,我们计算了其Morse指标,这个结果也说明我们对Morse指标的下界估计是最优的.Gauss映照一直是研究曲面的重要工具,从而通过对R4中self-shrinker曲面的Gauss映照的研究,可以得到self-shrinker的许多性质.我们首先讨论了加权调和映照的概念,并且给出了到球面的加权调和映照的刻画.介绍了R4中曲面的Gauss映照的定义和Plücker坐标.通过对完备逆紧的self-shrinker的Gauss映照像的值分布的研究,我们证明了如果至少存在一个Gauss映照分量的像位于开半球面内或者位于整个球去掉一半大圆弧内,则一定是平面.作为这个结果的应用,我们证明了二个Bernstein型定理.最后对于Gauss映照分量的像都位于闭半球面内的self-shrinker曲面,我们给出了完整的分类.ξ-子流形是self-shrinker和λ-超曲面的推广,对ξ-子流形的研究可以加深对self-shrinker的了解.我们研究了ξ-子流形的Bernstein型定理和刚性定理.证明了完备逆紧的ξ-子流形具有多项式体积增长,并且给出了一个Bernstein型定理.最后,证明了ξ-子流形关于第二基本形式的一个刚性结果.
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