仿射代数几何是代数几何的一个分支,主要研究仿射空间及其多项式映射,多项式自同构的认知和结构是其中的两个基本问题,有两个相应的著名的公开问题:雅可比猜测和Tame生成子问题.雅可比猜测雅可比行列式为非零常数的多项式映射可逆.雅可比猜测的研究涉及到数学中的很多领域,引起了很多学者的兴趣.迄今为止,2维以上的雅可比猜测仍然是公开的,并且已经约化到Druzkowski映射的情形.为了研究Druzkowski映射,Gorni等引入了 D幂零矩阵,证明了 D幂零矩阵置换相似于严格上三角矩阵.为了构造更一般的Druzkowski映射,我们推广了 D幂零矩阵,引入并研究了拟D幂零矩阵.在第二章中,我们首先利用主子式给出了拟D幂零矩阵的刻画,然后确定了不可约拟D幂零矩阵的结构,最后给出了拟D幂零矩阵的Frobenius标准型:其中A11,A44,U都是严格上三角矩阵,a ∈ {0,1},u,v ∈ Kr且不包含零元分量,α,β ∈kS.在第三章中,我们希望在拟D幂零矩阵中找出所有的Druzkowski矩阵,虽然这可归结为不可约的情形,但仍然比原来预想的要困难得多.我们给出拟D幂零矩阵是Druzkowski矩阵的充分必要条件,并且确定了几类特殊的Druzkowski矩阵,我们证明了,对于α ∈K,u,v∈ Kr,α,β∈Kn-r以及严格上三角矩阵U,矩阵A =（?）是Druzkowski矩阵当且仅v（uT）*3 = 0,或a＝ 0且 α（D2U）iβT且 = 0,<= 0,1,,n-r-1,其中D2 = diag（βTvX1 + UX2）*2,X1 =（x1,x2,,xr）T,X2 =（xr+1,xr+2,,xn）T.Tame生成子问题是否每个多项式自同构都是 tame 的?一个多项式自同构称为tame的,如果它是有限个仿射自同构和三角自同构的复合,其中三角自同构就是如下形式的自同构:F =（x1 + P1,x2 + P2,,xn + Pn）,其中对于所有1 ≤ n-1,Pi ∈ K[xi+1,xi+2，,xn]且Pn ∈K.Jung-van der Kulk定理肯定地解决了 2维Tame生成子问题.Shestakov和Umirbaev否定地解决了 3维Tame生成子问题.4维以上的Tame生成子问题仍然是公开的.多项式映射F称为可线性三角化的,如果存在一个可逆线性映射T∈GLn（K）使得T-1oFoT是三角自同构.若H是齐次多项式映射,则F = X +H满足雅可比条件det J= 1等价于JH是幂零的.这导致了幂零雅可比矩阵的研究.幂零雅可比矩阵非常复杂.因此,人们研究了幂零雅可比矩阵的一个子类:强幂零雅可比矩阵.Essen和Hubbers建立了线性三角化与强幂零之间的联系,证明了多项式映射F = X +H可线性三角化当且仅身JH是强幂零的.余解台证明了J 是强幂零的当且仅当雅可比矩阵集合JH（K）:= {JH（u）|u∈Kn 可（同时）三角化.矩阵集合的三角化在矩阵论中已被广泛研究,因此我们从矩阵三角化的角度来研究雅可比矩阵的强幂零性.现有的矩阵三角化的充分性条件基本上都是交换性的推广,因此我们研究了满足置换恒等式的矩阵集合.设S是矩阵集合.给定置换σ ∈ Snn,若对于所有a1,a2,,an ∈ S,有a1a2 …an = aσ（1）aσ（2）… aσ（n）.则5称为σ-置换的.如果有非恒等置换σ使得S是σ-置换的,则S称为可置换的.设 σ ∈Sn,令 d（σ）= gcd（σ（1）-1,σ（2）-2,,σr（n）-n）.在第四章中,我们通过研究置换性群的性质,给出了域K上可置换矩阵集合S可三角化的条件.1.设K是复数域.若存在置换σ使得S是σ置换的且d（σ）= 1,则S可三角化.2.设K是任意域,并且S是幂零矩阵的集合.则S可三角化当且仅当存在置换σ使得S是σ-置换的且d（σ）= 1.3.若K是特征0的域,并且S是幂零矩阵的一个线性空间.若S是可置换的,则S 可三角化.作为应用,我们给出了多项式映射可线性三角化的条件,推广了文献中若干结果.