无论从理论还是从实验上,都已经在几何阻挫磁体中发现了奇异的量子态,如自旋冰、自旋液体等行为。但对于具有阻挫的量子磁体,想要在理论计算和实验测量之间实现直接且精准的对比,依然是一个非常大的挑战。最近,一种新的量子阻挫磁性材料Tm Mg Ga O4（TMGO）在实验室中被成功合成,该材料独特的几何结构和原子性质使得它的磁性可被三角格子上的量子伊辛模型来描述,这就给实现理论和实验之间的直接对比带来了机会。我们利用指数张量重整化群数值方法拟合TMGO的热力学实验测量量,给出一组能精准描述TMGO磁性性质的量子伊辛模型参数,再使用量子蒙特卡洛数值方法计算该参数下的自旋激发谱,发现和中子散射实验结果高度一致,这证明了该组参数的正确性和准确性。根据该组量子伊辛模型参数,我们预测TMGO中很可能存在Kosterlitz–Thouless相变。接着,我们利用核磁共振实验技术来验证我们的预测,结果发现自旋-晶格弛豫率随温度的变化出现了一个平台。我们还利用量子蒙特卡洛方法辅以随机解析延拓技术计算了自旋-晶格弛豫率,发现和实验测量结果一致。这个平台代表着该温度区间内的磁涨落非常强,这可以被看成Kosterlitz–Thouless相变的独特性质。Kosterlitz–Thouless相变来源于二维自旋系统中的涡旋对激发,它是超越Landau-Ginzburg对称性破缺范式的第一个例子,而这种相变在我们的成果发表之前,从未直接在量子磁性晶体材料中被发现。我们的两个连续性成果为以后研究磁性晶体材料中的Kosterlitz–Thouless物理机制提供了一个理想的平台。此外,我们还利用随机级数展开量子蒙特卡洛和密度矩阵重整化群数值方法,进一步研究了三角格子上量子伊辛模型的“温度-外磁场”相图,发现该模型中存在二维Potts相变,并且这个相变将会通过一个三临界点转变成弱一级。这项工作可能会对未来TMGO的实验研究带来指导意义。在魔角石墨烯中发现带有拓扑性质的强关联绝缘体和非常规超导现象,为在二维系统中研究强关联电子性质和拓扑行为提供了一个相当不错的平台。相关理论进展在实空间内给出了两种能近似描述魔角石墨烯性质的拓展相互作用格点有效模型,我们的工作是在这些理论进展的基础上,采用无偏的、大规模的投影量子蒙特卡洛数值计算方法,研究这两种格点模型的基态性质,给出其基态相图。对于第一种格点有效模型,我们的数值结果显示,其基态相图由狄拉克半金属、牌匾状价键固体和圆柱状价键固体三种态组成,随着相互作用逐渐增大,三种基态依次出现。其中,狄拉克半金属到牌匾状价键固体的相变是连续相变,属于3维=4的Gross-Nevue手性XY普适类。牌匾状价键固体和圆柱状价键固体是绝缘体,他们之间的相变是一级相变。对于第二种拓展相互作用格点有效模型,在相互作用较小的情况下,我们的计算给出的系统基态为量子谷霍尔态,它是Haldane模型的一个变种,两个不同的谷自由度会各自带上值为±1的陈数。随着相互作用强度增大,谷间相干态和圆柱状价键固体态会依次出现,最后在强关联极限下再返回谷间相干态。谷间相干态是一种类铁磁序,具有平移对称性。这三种基态都是绝缘体态,它们之间的相变都是一级相变。我们的以上数值结果和魔角石墨烯的相关解析工作和实验现象有直接联系,有望指明魔角石墨烯低温下关联绝缘态的电子结构,并可能对理解魔角石墨烯中复杂的电子性质提供帮助。