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采样定理是信号分析中最强有力的基本结果之一，它给出了由信号(函数)在一些离散点的采样值重构原函数方法．应用中，由于受测量仪器的精度等物理因素的影响，实际测量得到的是信号在采样点附近的平均值．可以证明，当采样点和平均函数满足一定条件时，可以由局部平均值重构原始信号．实际应用中，平均函数性质往往不知道，我们只知道输出的采样值(f，uk)而不是具体的平均函数，这使平均函数理论在应用中受到很大限制．本文第一章就是通过检测信号来估计平均函数．在第一章第一节中，我们给出由局部平均重构信号的过程．第二节中，我们首先考虑频率区域里的平均函数，通过Fourier变换给出在一致平均采样和非一致平均采样情况下平均函数的具体公式．其次，我们给出了时间区域里平均函数的具体表达式．
经典Fourier函数集{e<2πint/T>：n∈z}是L<2>[-T/2，T/2]的标准正交基，这组基在信号分析领域中起着重要的作用．但这组基具有常数频率，在应用中受到限制．2006年，Liu和Xu研究了非常数频率的标准正交指数基，并引入谱序列的概念．在第二章中，我们继续研究空间L<2>[0，1]的分段线性谱序列．第一节中，我们讨论了当θ≠1/2时，分段线性函数gn(t)成为谱序列的必要条件．第二节中，我们将谱序列推广到谱框架，给出两个谱框架的具体形式，最后研究了gn(t)成为谱框架的必要条件．